supB=infA < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | [mm] A\subset \IR [/mm] eine nach unten beschränkte Menge, [mm] B={b\in\IR, b\leA}
[/mm]
Zeige: supB=infA |
| Aufgabe 2 | [mm] A\subset \IR [/mm] nach unten beschränkt. [mm] B={b\in \IR, b\le A}
[/mm]
Zeige: suB=infA |
Ich habe keine Ahnung wie man das zeigen soll!
Meine Idee dazu wäre:
b<a für alle [mm] a\in [/mm] A und für alle [mm] b\in [/mm] B. Dann folgt [mm] supB\le [/mm] a für alle [mm] b\in [/mm] B und es folgt weiterhin [mm] supB\le [/mm] infA
eine andere Idee hatte ich bisher nicht. Ich hoffe mir kann jemand Tipps geben.
Mathegirl
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Hallo,
bitte editiere deine Frage, Mengenklammen mache mit einem voranstehenden Backslash, also \{und \}
Außerdem lasse nötige Leerzeichen, etwa bei [mm]b\le a[/mm]: b \le a
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:38 Do 18.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> b<a
das muß [mm] $b\leq [/mm] a$ sein
>Dann folgt $ [mm] supB\le [/mm] $ a für alle $ [mm] b\in [/mm] $ B
wenn das [mm] $a\in [/mm] A$ sein sollte, dann stimmt die eine Richtung, aber eine kurze Begründung, warum da [mm] $\sup B\leq [/mm] a$ folgt wäre nett. ("Das Supremum ist die kleinste obere Schranke. Jedes a ist obere Schranke von B, also [mm] $a\geq\sup [/mm] B$" =)
Jetzt benutzt Du die gleiche Argumentation, nur gedreht, für [mm] $\inf A\geq [/mm] b$ [mm] $\forall b\in [/mm] B$
ciao
Stefan
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[mm] "\Rightarrow"
[/mm]
[mm] b\le [/mm] a für alle [mm] a\in [/mm] A und für alle [mm] b\in [/mm] B. Dann folgt [mm] supB\le [/mm] a für alle [mm] b\in [/mm] B und es folgt weiterhin [mm] supB\le [/mm] InfA. (Das Supremum ist die kleinste obere Schranke. Jedes a ist obere Schranke von B, also [mm] a\ge [/mm] supB)
[mm] "\Leftarrow"
[/mm]
[mm] b\le [/mm] a für alle [mm] a\in [/mm] A und für alle [mm] b\in [/mm] B. Dann folgt [mm] infA\ge [/mm] b für alle [mm] b\in [/mm] B und es folgt weiterhin [mm] infA\ge [/mm] supB. (Das Infimum ist die kleinste untereSchranke. Jedes a ist untere Schranke von B, also [mm] b\le [/mm] InfA)
Stimmt das so? Aber ist das nicht etwas zu kurz als Beweis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Do 18.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Dann folgt $ [mm] supB\le [/mm] $ a für alle $ [mm] b\in [/mm] $ B
Die Aussage ist so immer noch falsch, wie ich schon beim ersten Mal geschrieben hab. =)
> und es folgt weiterhin $ [mm] supB\le [/mm] $ InfA
und eine Begründung für diese Aussage (und ihr Gegenstück), wäre auch noch nett.
Außerdem ist das Infimum nicht die kleinste untere Schranke.
ciao
Stefan
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:28 Do 18.11.2010 | | Autor: | Mathegirl |
Was genau ist daran falsch? sorry aber ich sehe es selbst nicht! wie kann ich das begründen? formal irgendwie? Und dann ist die Frage wie..
Mathegirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 Do 18.11.2010 | | Autor: | Mathegirl |
Kann mir jemand Tipps geben, wie ich diese Aufgabe zuende bringe?
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Hallo,
die Aufgabe war
> > > [mm] A\subset \IR [/mm] eine nach unten beschränkte Menge, [mm] B=\{b\in\IR, b\le A\} [/mm]
> > > Zeige: supB=infA
> "[mm]\Rightarrow[/mm]"
Ich fänd's ganz entzückend, wenn Du dem Leser mal verraten würdest
> , welches die beiden Richtungen sind, die Du zeigen willst.
(Vielleicht wäre es sogar gt, wenn Du es selber wüßtest.)
Das erschließt sich nämlich nicht sofort, ich kann da oben in der zu zeigenden Aussage jedenfalls auf den ersten Blick kein "genau dann, wenn" entdecken, welches die Angelegenheit selbsterklärend machen würde.
>
> [mm]b\le[/mm] a für alle [mm] a\in [/mm] A und für alle [mm]b\in[/mm]B.
Das verstehe ich. Es ergibt sich aus der Definition von B.
> Dann folgt [mm]supB\le[/mm] a für alle [mm]b\in[/mm] B
Was meinst Du damit? Von welchem [mm] b\in [/mm] B redest Du?
Es ist allerdings, falls Du das meinstest, supB [mm] \le [/mm] a für alle [mm] a\in [/mm] A.
Dies mußt Du aber begründen, wie Dir bereits gesagt würde. (Sogar wie Du begründen kannst, wurde Dir gesagt, von daher fällt es mir schwer, Deine diesbezügliche Frage im anderen Post zu verstehen.)
Erwähnenswert wäre vielleicht auch, warum die Menge B überhaupt ein Supremum hat.
> und es folgt weiterhin [mm]supB\le[/mm] InfA.
> (Das Supremum ist die kleinste obere Schranke. Jedes
> a ist obere Schranke von B, also [mm]a\ge[/mm] supB)
Das in Klammern verstehe ich.
Aber wie folgt daraus [mm] "$supB\le$ [/mm] InfA" ?
Bisher hattest Du das Infimum ja gar nicht ins Spiel gebracht.
Warum kann nicht infA<supB sein?
>
> " [mm] \Leftarrow [/mm] "
Was möchtest Du jetzt zeigen?
> [mm] b\le [/mm] a für alle [mm] a\in [/mm] A und für alle [mm] b\in [/mm] B.
Das verstehe ich. Es ergibt sich aus der Def. von B.
> Dann folgt
> [mm]infA\ge[/mm] b für alle [mm]b\in[/mm] B
Das stimmt, aber warum? Ich würde eine Begründung erwarten - der Leser möchte nicht selbst nachdenken.
Könnte es nicht ein [mm] b'\in [/mm] B geben mit infA< b' ?
> und es folgt weiterhin [mm]infA\ge[/mm] supB.
Wie folgt das jetzt genau?
Dieselbe Folgerung hattest Du in der anderen Richtung übrigens auch, und ich frage mich, was Du jetzt meinst, bewiesen zu haben.
> (Das Infimum ist die kleinste untere Schranke.
Nein. Es gibt nämlich keine kleinste untere Schranke.
> Jedes a ist untere Schranke von B,
???
Bearbeitest Du jetzt eine andere Aufgabe?
> also [mm]b\le[/mm] InfA
für alle [mm] b\in [/mm] B?
Das stimmt.
>
> Stimmt das so? Aber ist das nicht etwas zu kurz als Beweis?
Die Länge oder Kürze ist keinerlei Indiz für die Richtigkeit eines Beweises.
Gruß v. Angela
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