supM < inf => supM - e < x < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:49 Sa 24.10.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
| Aufgabe | | Zeige [mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \subset \IR: supM-\varepsilon [/mm] < x$, wenn $sup M < [mm] \infty$ [/mm] |
(sup ist der superior)
Meine Annahme:
$sup M < [mm] \infty \Rightarrow [/mm] sup M = a [mm] \in \IR$
[/mm]
Sei $x := a - [mm] \varepsilon [/mm] + 1$ so gilt:
[mm] $supM-\varepsilon [/mm] < x [mm] \gdw a-\varepsilon [/mm] < a - [mm] \varepsilon [/mm] + 1 [mm] \gdw [/mm] 0 < 1$ womit das x gefunden wäre.
Ist dem wirklich so oder ist das kein Beweis?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Sa 24.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeige [mm]\forall \varepsilon > 0 \exists x \in M \subset \IR: supM-\varepsilon < x[/mm],
> wenn [mm]sup M < \infty[/mm]
>
> (sup ist der superior)
Supremum.
>
> Meine Annahme:
>
> [mm]sup M < \infty \Rightarrow sup M = a \in \IR[/mm]
> Sei [mm]x := a - \varepsilon + 1[/mm]
> so gilt:
> [mm]supM-\varepsilon < x \gdw a-\varepsilon < a - \varepsilon + 1 \gdw 0 < 1[/mm]
> womit das x gefunden wäre.
>
> Ist dem wirklich so oder ist das kein Beweis?
Das stimmt so nicht, denn es ist nicht gezeigt, dass [mm] $x\in [/mm] M$ ist.
Gegenbeispiel:
[mm] M = (1/2,1) [/mm]
also ein offenes Intervall der Länge 1/2. Es ist offensichtlich [mm] $\sup [/mm] M=1$. In deiner Argumentation wäre also [mm] $x=-\varepsilon \notin [/mm] M$. Du darfst x nicht frei wählen, sondern musst die Definition des Supremums als kleinste obere Schranke von M benutzen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Sa 24.10.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
Danke. Wie sollte man mit der Definition argumentieren?
sup M < [mm] $\infty \Rightarrow$ [/mm] Es gibt eine obere Schranke
Sei x genau diese kleinste obere Schranke folgt
$x - [mm] \varepsilon [/mm] < x$
(Erscheint mir ziemlich komisch.)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Sa 24.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke. Wie sollte man mit der Definition argumentieren?
>
> sup M < [mm]\infty \Rightarrow[/mm] Es gibt eine obere Schranke
> Sei x genau diese kleinste obere Schranke folgt
> [mm]x - \varepsilon < x[/mm]
Das sollst du zeigen. Mach einen Widerspruchsbeweis! Nimm an, es gebe kein solches x. Also:
Annnahme: Für ein [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ gilt: es gibt kein [mm] $x\in [/mm] M$ mit $x > [mm] \sup [/mm] M [mm] -\varepsilon$. [/mm] Mit anderen Worten: alle [mm] $x\in [/mm] M$ sind [mm] $\le \sup [/mm] M [mm] -\varepsilon$. [/mm] Kann dann [mm] $\sup [/mm] M$ die kleinste obere Schranke sein?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Sa 24.10.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
Ok stimmt. Das kann garnicht für alle x gelten, da die Menge dann nicht nach oben beschränkt wäre. Finds schwer die Gedanken formal aufzuschreiben.
Sei für alle x: $x [mm] \le [/mm] sup M - [mm] \varepsilon \gdw x+\varepsilon \le [/mm] sup M$, so muss für beliebige [mm] $\varepsilon \in \IR$ [/mm] $supM = [mm] \infty$ [/mm] was ein Widerspruch zur Annahme ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Sa 24.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ok stimmt. Das kann garnicht für alle x gelten, da die
> Menge dann nicht nach oben beschränkt wäre. Finds schwer
> die Gedanken formal aufzuschreiben.
>
> Sei für alle x: [mm]x \le sup M - \varepsilon \gdw x+\varepsilon \le sup M[/mm],
> so muss für beliebige [mm]\varepsilon \in \IR[/mm] [mm]supM = \infty[/mm]
> was ein Widerspruch zur Annahme ist.
Das stimmt nicht ganz, denn die Annahme war (als Negation der Voraussetzung), dass es ein solches [mm] $\varepsilon$ [/mm] gibt, für das es kein [mm] $x\in [/mm] M$ gibt mit $x > [mm] \sup [/mm] M [mm] -\varepsilon$. [/mm] Dann sind alle $x [mm] \le \sup [/mm] M [mm] -\varepsilon$. [/mm] Damit ist [mm] $\sup M-\varepsilon [/mm] < [mm] \sup [/mm] M$ eine obere Schranke. Das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass [mm] $\sup [/mm] M$ die kleinste obere Schranke ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Sa 24.10.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
Hammer. Wieso kann mein Kopf so etwas offensichtliches nicht einfach ausspucken? Beschämend.
Jetzt sehe ich wie die Definition verwendet wurde! Es ist furchtbar logisch, aber wie gesagt: Formal hink ich hinterher.
Vielen Dank!
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