supr, inf, schranke von folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Di 07.12.2010 | | Autor: | susanne3 |
| Aufgabe | | [mm] a_n= [/mm] 2/n +1 |
hallo,
bei dieser folge soll ich eine schranke und falls möglich ein supremum und infinum finden.
leider verstehe ich nicht so ganz wie das geht.
ich weiß das man das mit werten ausprobieren soll in dem man zahlen für das n einsetzt.
wenn ich jetzt zb 1 einsetze für n bekomme ich ja zb 3 als ergebnis und je größer die werte sind die ich einsetze desto kleiner wird das ergebnis aber was sagt mir das jetzt?
egal welche zahl ich einsetze das ergebnis wird ja nie höher als 1, also es wird nie 2 oder so.
und egal welche minus zahl ich einsetze es erreicht da nie die 1 wenn ich eine minus zahl einsetze..aber wie komme ich durch diese erkentnis auf die schranken??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 Di 07.12.2010 | | Autor: | abakus |
> [mm]a_n=[/mm] 2/n +1
> hallo,
>
> bei dieser folge soll ich eine schranke und falls möglich
> ein supremum und infinum finden.
>
> leider verstehe ich nicht so ganz wie das geht.
>
> ich weiß das man das mit werten ausprobieren soll in dem
> man zahlen für das n einsetzt.
> wenn ich jetzt zb 1 einsetze für n bekomme ich ja zb 3
> als ergebnis und je größer die werte sind die ich
> einsetze desto kleiner wird das ergebnis aber was sagt mir
> das jetzt?
> egal welche zahl ich einsetze das ergebnis wird ja nie
> höher als 1, also es wird nie 2 oder so.
Falsch. Wenn du für n eine 2 einsetzt, wird das Ergebnis genau 2.
> und egal welche minus zahl ich einsetze es erreicht da nie
Hallo, bei Zahlenfolgen werden für n nur natürliche Zahlen (keine "Minuszahlen" ) eingesetzt.
> die 1 wenn ich eine minus zahl einsetze..aber wie komme ich
> durch diese erkentnis auf die schranken??
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Do 13.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo. Ich habe aus Zufall dieses Thema gelesen und das scheint ja auch etwas länger her zu sein xD Ich möchts auch mal versuchen ;)
Also. Menge: $ M = [mm] {\bruch{2/n}+1 | n \in \IN}$ [/mm] Darf man das so aufschreiben?
Also, ich konzentriere mich erstmal aufs Infimum und kontrolliere dann, ob es auch das Minimum ist.
Fürs Infimum, etwa I, gelten zwei Bedingungen:
(1) I ist untere Schranke von M
(2) Für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gilt: I + [mm] \varepsilon [/mm] > n
Fast analog das Supremum ;)
So richtig?
Wie man jetzt alles formal aufschreibt, weiß ich aber auch nicht genau?
Hmm..so?
Ich probier erstmal ein paar Werte aus.
Also:
n=1 Dann kommt 3 raus.
n=2 Dann kommt 2 raus.
Vermutung: 3 ist Supremum
Kann man das so beweisen, dass man einfach sagt, dass sie obere Schranke von [mm] \bruch{2}{n} [/mm] 2 ist und deswegen (wegen +1) insgesamt 3 sein muss. Aber wie zeigt man den Teil für [mm] \bruch{2}{n}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Do 13.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo. Ich habe aus Zufall dieses Thema gelesen und das
> scheint ja auch etwas länger her zu sein xD Ich möchts
> auch mal versuchen ;)
>
> Also. Menge: [mm]M = {\bruch{2/n}+1 | n \in \IN}[/mm]
Ich habs mal lesbar gemacht: [mm]M = \{\bruch{2}{n}+1 | n \in \IN\}[/mm]
> Darf man das
> so aufschreiben?
Ja
>
> Also, ich konzentriere mich erstmal aufs Infimum und
> kontrolliere dann, ob es auch das Minimum ist.
>
> Fürs Infimum, etwa I, gelten zwei Bedingungen:
>
> (1) I ist untere Schranke von M
>
> (2) Für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gilt: I + [mm]\varepsilon[/mm] > n
Das ist doch Unfug !
Richtig:zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gibt es ein m [mm] \in [/mm] M mit: I + [mm]\varepsilon[/mm] > m
>
> Fast analog das Supremum ;)
Dann formuliere das mal !
>
> So richtig?
Siehe oben
>
> Wie man jetzt alles formal aufschreibt, weiß ich aber auch
> nicht genau?
>
> Hmm..so?
>
> Ich probier erstmal ein paar Werte aus.
>
> Also:
>
> n=1 Dann kommt 3 raus.
>
> n=2 Dann kommt 2 raus.
>
> Vermutung: 3 ist Supremum
>
> Kann man das so beweisen, dass man einfach sagt, dass sie
> obere Schranke von [mm]\bruch{2}{n}[/mm] 2 ist und deswegen (wegen
> +1) insgesamt 3 sein muss. Aber wie zeigt man den Teil für
> [mm]\bruch{2}{n}?[/mm]
>
>
>
>
Für n [mm] \in \IN [/mm] ist n [mm] \ge [/mm] 1, also 1/n [mm] \le [/mm] 1 und damit 2/n+1 [mm] \le [/mm] 3.
Fazit: m [mm] \le [/mm] 3 für jedes m [mm] \in [/mm] M.
Da 3 [mm] \in [/mm] M ist, folgt: sup M = max M = 3
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Do 13.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
> Das ist doch Unfug !
> Richtig:zu jedem $ [mm] \varepsilon [/mm] $ > 0 gibt es ein m $ [mm] \in [/mm] $ M mit: I + $
> [mm] \varepsilon [/mm] $ > m
Danke für den Hinweis.
Das Supremum, etwa S, ist wie folgt definiert:
(1) S ist obere Schranke von M.
(2) [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 gilt: [mm] \exists [/mm] m [mm] \in [/mm] M mit S - [mm] \varepsilon [/mm] < m
So?
Gut, den Beweis des Supremums hab ich jetzt verstanden und das mit dem Maximum ist mir nun auch klar. ;) Danke.
Aber wie sieht das jetzt mit dem Infimum aus?
Vermutung: I = 1
Also: 1 ist untere Schranke von M, da [mm] \bruch{2}{n} [/mm] + 1 [mm] \ge [/mm] 1
zz. ist nun noch Bedingung 2.
Kann man das über einen Widerspruchsbeweis machen? Also so?
Also 1 + [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \bruch{2}{n} [/mm] +1 mit [mm] \varepsilon [/mm] > 0
Dann gilt: [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \bruch{2}{n}
[/mm]
Ist der Ansatz schonmal ok?
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> Vermutung: I = 1
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> Also: 1 ist untere Schranke von M, da [mm]\bruch{2}{n}[/mm] + 1 [mm]\ge[/mm]
> 1
soweit schonmal schön.
>
> zz. ist nun noch Bedingung 2.
>
> Kann man das über einen Widerspruchsbeweis machen? Also
> so?
>
> Also 1 + [mm]\varepsilon[/mm] < [mm]\bruch{2}{n}[/mm] +1 mit [mm]\varepsilon[/mm] > 0
>
> Dann gilt: [mm]\varepsilon[/mm] < [mm]\bruch{2}{n}[/mm]
>
> Ist der Ansatz schonmal ok?
>
Der Ansatz würde dich zu einem richtigen Ergebnis führen, er ist aber nicht vollständig formal formuliert (was ordentlich Haue geben könnte.^^)
Du musst noch an einigen Stellen sagen "für alle Epsilon", "für alle n", "..."
Dann musst du das ganze noch auf einen tatsächlichen Widerspruch führen...
Also es geht durchaus so, du musst halt nur höllisch vorsichtig sein wie du das formal richtig aufschreibst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Fr 14.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke erstmal.
Ich versuchs nochmal. Also, Widerspruchsbeweis:
Angenommen, I wäre nicht Infimum. Dann:
[mm] \forall \varepsilon \in \IR_{+} [/mm] und [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
1 + [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \bruch{2}{n} [/mm] + 1
[mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \bruch{2}{n}
[/mm]
[mm] \varepsilon \* [/mm] n < 2
Jedoch gibt es nach dem Archimedischen Prinzip ein n [mm] \in \IN, [/mm] sodass
[mm] \varepsilon \* [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2
Das ist der gwünschte Widerspruch. Folglich ist I das Infímum.
Geht das so?
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du kannst nicht aus der Annahme, dass 1 nicht das Infimum ist, deine Aussage für alle Epsilon und alle n folgern...
Nimm dir Epsilon = 3, n = 1 und schon ist die Aussage:
3 +1 = 4 < 2 +1 = 3
falsch
Du müsstest sagen:
Für alle n ist [mm] $\frac{2}{n} [/mm] + 1 > 1 + [mm] \varepsilon$
[/mm]
Der Rest folgt dann wie du es geschrieben hast.
Aber damit es formal schön wird schreib dir nochmal die Aussage 2) komplett hin und verneine sie ganz nach den Vorschriften der logischen Verneinung (aus [mm] $\forall$ [/mm] wird [mm] $\exists$,...)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Fr 14.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Du meinst folgendes (?):
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0: I + [mm] \varepsilon [/mm] > x
Logische Verneinung:
Dann sollte ich so mit dem Widerspr.-beweis anfangen (?):
[mm] \neg [/mm] ( [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0: I + [mm] \varepsilon [/mm] > x )
[mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0: I + [mm] \varepsilon \le [/mm] x )
Meinst du das? Dann folgt natürlich der Rest.
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naja, fast
du musst noch das n reinbringen
also:
$ [mm] \forall \varepsilon [/mm] $ > 0 [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IN: [/mm] I + $ [mm] \varepsilon [/mm] > [mm] \frac{2}{n} [/mm] + 1$
Natürlich darfst du nicht vergessen vorher zu zeigen, dass dein I eine untere Schranke ist. ;)
An sonsten ist der Rest aber soweit richtig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Sa 15.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..danke. Kann man das denn so einfach zeigen (?):
[mm] \bruch{2}{n} [/mm] + 1 [mm] \ge [/mm] 1
[mm] \bruch{2}{n} \ge [/mm] 0 | * n, n [mm] \ge [/mm] 1
2 [mm] \ge [/mm] 0
Naja und das ist erfüllt. Geht das so? Oder gibts da prinzipiell einen anderen und besseren Weg?
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Auf diese Art kannst du zeigen, dass 1 eine untere Schranke ist.
Du zeigst ja, dass alle Folgeglieder [mm] $\ge$ [/mm] 1 sind, was genau die Bedingung für eine untere Schranke ist.
Und um das zu zeigen ist dieser Weg schon ganz gut, ja.
Für das Infimum (also die größte untere Schranke) musst du aber noch etwas mehr zeigen.
Du kannst dafür entweder das aus meinem vorherigen Post nehmen, oder, wenn dir das leichter fällt, du überlegst dir wieso die Aussage
"1 ist Infimum" äquivalent zur Aussage " [mm] $\lim [/mm] n [mm] \to \infty \frac{2}{n} [/mm] + 1 = 1$" ist.
Der Grenzwert dürfte leicht zu folgern sein; du müsstest halt nur hieb und stichfest darlegen warum die beiden Aussagen äquivalent sind (und vorher zeigen, dass 1 eine untere Schranke ist, sonst sind die nämlich eben nicht äquivalent^^).
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