supremum abschätzen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Mo 06.04.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
ich bin gerade am Grübeln:
Seien A und B reelle [mm] n\times [/mm] n Matrizen und v [mm] \in \IR^n
[/mm]
darf ich dann wie folgt abschätzen?
[mm] sup(||Av||+||Bv||)\le [/mm] sup(||Av||)+sup(||Bv||)
Gefühlsmäßig würde ich auf jeden Fall ja sagen, da ich die Menge über welcher ich das Supremum nehme ja vergrößere.
Wie kann an das richtig begründen?
Gruß,
Rutzel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 Mo 06.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Rutzel,
> Hallo,
>
> ich bin gerade am Grübeln:
>
> Seien A und B reelle [mm]n\times[/mm] n Matrizen und v [mm]\in \IR^n[/mm]
>
> darf ich dann wie folgt abschätzen?
>
> [mm]sup(||Av||+||Bv||)\le[/mm] sup(||Av||)+sup(||Bv||)
>
> Gefühlsmäßig würde ich auf jeden Fall ja sagen, da ich die
> Menge über welcher ich das Supremum nehme ja vergrößere.
ganz einfach: ist [mm] $s_1:=\sup \|Av\|$ [/mm] und [mm] $s_2:=\sup \|Bw\|$, [/mm] so gilt nach Definition des Supremums:
[mm] $$s_1+s_2 \ge (\|Av\|+\|Bw\|)$$ [/mm]
für alle betrachteten Paare [mm] $(v,w)\,$ [/mm] des [mm] $\IR^n \times \IR^n\,.$
[/mm]
Insbesondere gilt also (setze [mm] $w=v\,$)
[/mm]
[mm] $$\|Av\|+\|Bv\| \le s_1+s_2$$
[/mm]
für alle betrachteten Vektoren $v [mm] \in \IR^n$ [/mm] und damit auch
[mm] $$\sup \{\|Av\|+\|Bv\|\} \le \sup \{s_1+s_2\}=s_1+s_2\,.$$
[/mm]
P.S.:
Ich habe für alle betrachteten $v [mm] \in \IR^n$ [/mm] etc. geschrieben, weil ich nicht glaube, dass bei Dir [mm] $\sup \|Av\|=\sup \{\|Av\|:\;v \in \IR^n\}$ [/mm] meint, sondern ich vermute:
[mm] $\sup \|Av\|:=\sup \{\|Av\|:\;v \in \Omega\}$ [/mm] für eine gewisse (beschränkte?) Menge [mm] $\Omega \subset \IR^n\,.$
[/mm]
Wenn das so stimmt, dann solltest Du Aussagen wie "für alle betrachteten Paare $(v,w) [mm] \in \IR^n \times \IR^n$..." [/mm] dann interpretieren als:
"für alle $v,w [mm] \in \Omega$..." [/mm] (oder: "für alle Paare $(v,w) [mm] \in \Omega \times \Omega$")
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
