supremum, infimum, beweis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich habe nun noch ein Problem und hoffe ihr könnt helfen. Ich tu mich immer besonder schwer mit Beweisen jeglicher Art.
Nun soll ich beweisen bzw. widerlegen, dass :
sup ( -A ) = - inf ( A) . Hierbei ist A [mm] \subset [/mm] R, A [mm] \not= [/mm] eine leere Menge. Unter - A versteht man die Menge {-x [mm] \varepsilon [/mm] R / x [mm] \varepsilon [/mm] A }
Ich knobel nun schon seit langem, habe auch folgendes versucht nzw. notiert:
-A ist eine nicht leere Menge, da A ungleich einer leeren Menge ist.
Für alle x [mm] \varepsilon [/mm] A müsste ( damit es ein Supremum gibt ) gelten: t1 < x < t2
, damit es ein infiumum gibt müsste gelten t1 >x >t2.
Eine weitere Überlegung war dass -A ein Supremum und / bzw. ein Infimum besitzt nach dem ASupremums bzw. dem Infimumsaxiom.
Aber ich weiß gar nicht ob meine üBERLEGUNGEN BIS HIERHER STIMMEN BZW: WIE ICH BEI SOETWAS NUN WEITER GEHEN SOLL :( wäre sehr dankbar wenn jemand von euch mir mal einen kleinschrittigen Beweis evtl. auch mit Erkläung vorführen könnte! Denn sowas muss ich mit Sicherheit in der Klausur lösen!"!"!!
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Fr 24.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi!
> Für alle x [mm]\varepsilon[/mm] A müsste ( damit es ein Supremum
> gibt ) gelten: t1 < x < t2
> , damit es ein infiumum gibt müsste gelten t1 >x >t2.
>
> Eine weitere Überlegung war dass -A ein Supremum und / bzw.
> ein Infimum besitzt nach dem ASupremums bzw. dem
> Infimumsaxiom.
Wunderbar, bist ja schon beinahe fertig.
statt "<" waere aber "[mm]\le[/mm]" besser, da das Supremum bzw. Infimum auch in er Menge A enthalten sein darf, aber nicht unbedingt muss.
[mm]t1 \le x \le t2 \qquad \forall x \in A[/mm]
t1 soll die groesste dieser Zahlen aus [mm]\IR[/mm] sein, daraus folgt t1 ist Infimum(A).
Multiplikation mit (-1) ergibt
[mm] -t1 \ge -x \ge -t2 \qquad \forall (-x) \in (-A)[/mm]
somit ist nun (-t1) die kleinste Zahl aus [mm]\IR[/mm] fuer die diese Ungleichung gilt, somit ist (-t1) Supremum(-A)
wegen
[mm] - t1 = (-t1) [/mm]
folgt
[mm] - inf(A) = sup(-A) [/mm]
lG
Peter
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und das war dann wirklich schon alles??? Das glaube ich ja fast nicht....
aber vielen dank!
liebe grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Fr 24.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi!
ich denk schon.
Vielleicht muss man ein bisserl naeher ins Detail gehen bei der Behauptung wegen t1=inf(A) und [mm] (-t1) \ge (-x) \qquad \forall (-x) \in (-A) [/mm] folgt (-t1)=sup(-A)
vielleicht mit einem Widerspruch:
[mm] (-t1) > s \ge (-x) \qquad \forall (-x) \in (-A) ; t1,s \in \IR [/mm]
multiplizieren mit (-1)
[mm] t1 < (-s) \le x \qquad \forall x \in A [/mm]
dann waere aber (-s)=inf(A), da es ja groesser als t1 ist, Widerspruch zur Annahme, dass t1=inf(A) !!!
somit ist (-t1) die kleinste Zahl mit
[mm] (-t1) \ge (-x) \qquad \forall (-x) \in (-A) [/mm]
also (-t1)=sup(-A)
aber sonst sollte doch alles passen
lG
Peter
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danke nochmal. aber leider weiß ich nicht so recht wie du auf die ungleichung kommst du beim widerspruch steht? das kann ich nicht ganz nachvollziehen. dennoch vielen lieben dank!
habe eine weitere zu beweisen, da werde ich mich nachher mal dransetzen. vielleicht schaust du dann im laufe des we nochmal, ob ich es richtig ge,macht habe?
liebe grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:30 Sa 25.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Also ich hab mir den Widerspruch so vorgestellt:
t1 soll das inf(A) sein somit ist -t1 eine obere Schranke vom -A (das sieht man durch multiplizieren der Ungleichung mit (-1)). Aber es koennte ja eventuell sein, dass -t1 nur eine obere Schranke von -A ist, aber nicht das sup(-A). dann muesste es ja ein s geben, welches kleiner als t1 ist und auch obere Schranke von (-A) ist (daher die Ungleichung mit s). Doch durch multiplizieren mit (-1) sieht man, dass (-s) dann auch untere Schranke von A sein muss und (-s) groesser als t1, das kann aber nicht sein, da ja t1=inf(A), somit darf es ja keine untere Schranke von A geben, die groesser als t1 ist (inf ist die groesste untere Schranke, sup die kleineste obere Schranke).
Alles klar?
lG
Peter
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