supremum,infimum,maximum,minim < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Habe nun meine erste aufgabe gelöst und bitte um Korrektur!
Ich soll für die Menge M das supM,maxM,minM und infM ( bzw. deren Nichtexistenz) bestimmen
M:={ [mm] -1^n [/mm] + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] } für n e N.
Ich habe folgendes gemacht:
Ich muss ja zwei Fälle unterscheiden. Für n ungerade bekomme ich immer :-1 + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] heraus.
und für n gerade bekomme ich : 1 + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
wenn ich bei fall 1 ( ungerade ) nun die 1 einsetze erhalte ich als ergebnis - 0,5.
setze ich bei fall 2 die 2 ein bekomme ich [mm] \bruch{7}{6} [/mm] raus. Ich habe diese Werte gewählt, da alle anderen Zahlen die ich einsetze, ja kleinere Werte ergeben müssten ( da [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ja nunmal gößer als [mm] \bruch{1}{4} [/mm] ist ect. )
Dann hätte ich am Ende also dort stehen :
[mm] \bruch{7}{6} \le x_{n} \le [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Demnach wäre mein Supremum = Maximum = -0,5
Infimum=Minimum=7/6 .
Stimmt das??? Oder ab wann bin ich falsch?
Und zum Schluss noch eine Frage : Wenn ich M:= [mm] x^{-2} [/mm] < 0,25 habe ( hier ist x e R ohne null! ) . Wie gehe ich dann vor? Hätte ich [mm] x^2 [/mm] dann könnte ich erst die Wurzel ziehen und dann könnte ich mit [mm] \vmat{ x } [/mm] = [mm] \wurzel{0,25}. [/mm] Aber so bin ich leider ratlos :( DANKE!!!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Fr 24.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo rotespinne!
[mm] $x^{-2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] \ < \ [mm] \bruch{1}{4} [/mm] \ = \ 0,25$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{x^2} [/mm] \ < \ [mm] \bruch{1}{4}$ [/mm] $| \ [mm] *x^2 [/mm] \ > \ 0$ $| \ *4$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$4 \ < \ [mm] x^2$
[/mm]
Den Rest schaffst Du ja jetzt alleine, oder?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 Fr 24.06.2005 | | Autor: | rotespinne |
danke :) ja den Rest schaffe ich nun! Und die andere Aufgabe ist so okay? oder hast du da nicht drübergeschaut? DANKE!!!!!!!!!!
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Hallo.
Erstmal was prinzipielles:
Es ist vielleicht die sicherste Reihenfolge, erstmal das supremum und das infimum einer Menge in [mm] \IR [/mm] zu bestimmen.
Wenn die Menge nämlich beschränkt ist, so existiert dies immer.
Wenn man dann diese "Kandidaten" hat, ist es meist leicht, zu bestimmen, ob diese Werte innerhalb der Menge auch angenommen werden oder nicht.
Um bei dem Beispiel zu bleiben: Du hast für das supremum [mm] \frac{7}{6} [/mm] raus, was richtig ist.
Wird dieser Wert auch angenommen? Die Antwort lautet: ja, für n=1.
Also liegt sogar ein Maximum vor, weil das supremum angenommen wird.
Deine Überlegungen zum infimum solltest Du allerdings nochmal überdenken: Wann wird dein Ausdruck denn besonders klein?
Na zum einen für sehr große n, denn da gehen die Brüche gegen 0.
Zum anderen: Für ungerades n, denn dann wird [mm] (-1)^n [/mm] zu -1, was den Ausdruck noch ein Stückchen kleiner macht.
Dein infimum wäre damit also -1.
Die Preisfrage ist jetzt: Wird dieser Wert auch angenommen, d.h. handelt es sich um ein Minimum?
Gruß,
Christian
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Hallo!
Danke für die Rückmeldung :) Kannst du mir denn mal sagen wie ich am leichtesten das infimum bzw. das supremum bestimmen kann?? und wie ich dann daraus sehen kann ob es ein maximum bzw. minimum gibt? so ganz habe ich das nämlich noch nicht raus glaube ich. das wäre super lieb!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Mo 27.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo rotespinne!
Hier gibt es kein Patentrezept. Wichtig ist, dass man sich immer die Monotoniebereiche anschaut und die Grenzübergänge.
Hier sind ja die Werte für gerades $n$ größer als die für ungerades $n$. Also brauche ich mir zur Bestimmung des Supremums/Maximums auf jeden Fall nur die Folgenglieder für gerade $n$ anzuschauen. Und bei den Werten sehe ich dann, dass diese monoton fallend sind.
Naja, dann ist ja klar, dass für $n=2$ das Maximum angenommen wird (und dies dann zugleich das Supremum ist).
Zur Bestimmung des Infimums/Minimums brauche ich mir dementsprechend nur die Folgenglieder für ungerades $n$ anzuschauen. Diese bilden ebenfalls eine monoton fallende Folge. Dann ist aber klar, dass das Minimum nicht existieren kann, denn die Werte werden ja immer, immer kleiner. Aber das Infimum existiert, weil der Grenzwert der ungeraden Folgenglieder, nämlich
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} a_{2n+1}$,
[/mm]
existiert und gleich $-1$ ist.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:40 Di 28.06.2005 | | Autor: | annaL |
Das Supremum ist hier doch 7/6. das Maximum ist dementsprechend 2!
Aber christian19 schrieb es sei 1, Julius sagte das das Maximum gleich dem Supremum also 2 sei. Das stimmt so doch nicht!
Ich habe als supremum 7/6 raus und als Maximum 2!
Bitte um rückmeldung!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Di 28.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Es stimmt alles so: Das Supremum/Maximum ist gleich [mm] $\frac{7}{6}$ [/mm] und wird für $n=2$ angenommen. Verwechsel hier bitte nichts.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Di 28.06.2005 | | Autor: | annaL |
genau das hatte ich ja so. aber oben wurde gesagt dass das maximum gleich dem supremum ist, da war ich etwas durcheinander :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Di 28.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo ...
> genau das hatte ich ja so. aber oben wurde gesagt dass das
> maximum gleich dem supremum ist, da war ich etwas
> durcheinander
In diesem Falle stimmt es ja auch:
Supremum und Maximum stimmen in diesem Falle vom Zahlenwert überein, nämlich: [mm] $\bruch{7}{6}$ [/mm] !
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 Di 28.06.2005 | | Autor: | annaL |
das infimum von - 1 wird meiner meinung nach nicht angenommen.
denn dafür müsste n schon null srein, was aber aufgrund des zweiten gliedes der aufgabe nicht sein darf, da der nenner nie null werden darf!
demnach gibt es kein minimum!
oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Di 28.06.2005 | | Autor: | annaL |
das infimum von - 1 wird nicht angenommen nach meinen rechnungen. denn - 1 könnte nur entstehen wenn n null wäre, was jedoch nicht sein darf!
stimmt das so? bitte um antwort!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Di 28.06.2005 | | Autor: | annaL |
dasheißt ich habe nun also als infimum -1 und ein minimum existiert in meinem falle nicht. richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Di 28.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
> dasheißt ich habe nun also als infimum -1 und ein minimum
> existiert in meinem falle nicht.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Du siehst also, Infinum und Minimum sind nicht dasselbe (so wie Supremum und Maximum)!
Gruß
Loddar
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Fast ...
