supremumsungleichung martingal < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Sa 13.04.2013 | | Autor: | hula |
Hallöchen!
Wenn ich ein rechtsseitig-stetiges Martingal $M$ habe, mit stetigem Parameter [mm] $t\ge [/mm] 0$, welches beschränkt in [mm] $L^2$ [/mm] ist, i.e. [mm] $\sup_t EM_t^2<\infty$. [/mm] Dann weiss ich, dass [mm] $M_t\to M_\infty$ [/mm] konvergiert. Nun bin ich an folgender Gleichung interssiert:
[mm] $\sup_tEM_t^2=EM_\infty^2$
[/mm]
Die Ungleichung [mm] $"\ge [/mm] "$ ist klar. Ich muss also nur [mm] $"\le [/mm] "$ zeigen. Ich wollte dies so machen:
[mm] $EM_t^2\le E(\sup_tM_t)^2\le 4EM_\infty^2$
[/mm]
wobei ich Doob benutzt habe. Naja, aber irgendwie stört ja diese Konstante, ich möchte ja:
[mm] $EM_t^2\le EM_\infty^2$
[/mm]
dann folgt [mm] $\sup_tEM_t^2\le EM_\infty^2$. [/mm] WIe kann ich also das zeigen?
Grüsschen
hula
|
|
| |
|
Hiho,
es gilt doch mit Jensen:
[mm] $E\left[M_\infty^2 | \mathcal{F}_t\right] \ge \left(E\left[M_\infty | \mathcal{F}_t\right]\right)^2 [/mm] = [mm] M_t^2$
[/mm]
edit: Trotzdem würde mich mal interessieren, warum [mm] "\ge" [/mm] für dich klar ist 
Gruß,
Gono,
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Sa 13.04.2013 | | Autor: | hula |
Hallo Gono
Danke für deine Hilfe! Zur Ungleichung, welche klar sein sollte: ist das nicht trivial, da wir das Supremum über [mm] $t\ge [/mm] 0$ nehmen? Also für beliebig grosse $t$'s? Oder wie würde man denn sonst das zeigen?
Gruss
hula
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Danke für deine Hilfe! Zur Ungleichung, welche klar sein sollte: ist das nicht trivial, da wir das Supremum über [mm]t\ge 0[/mm] nehmen? Also für beliebig grosse [mm]t[/mm]'s? Oder wie würde man denn sonst das zeigen?
die Aussage stimmt schon, so ists nicht, aber dann solltest du das auch zeigen können!
MFG,
Gono.
|
|
|
|
