surjektiv+bijektiv+injektiv < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:08 So 19.12.2004 | | Autor: | mimi94 |
Hallo Leute!
Ich muss diese 2 aufgaben lösen. Bei beiden müssen wir die Aussage beweisen oder mit einem beispiel widerlegen.
Ich weiß wie man die 3 begriffe definiert und hab auch keine probleme damit.
Probleme hab ich mit der Multiplikation der Funktionen und ihren Auswirkungen dann auf dieses (surjektv,...).
Funktionen f, g mit den Eigenschaften könnt ich finden, wüsst aber nicht wie es mit den Eigenschaften weiter geht, wenn es Mult. wird und überhaupt wie die 2 multipliziert werden.
Vielleicht könnte jemand von jeder Aufgabe 2 Teile rausfischen, wo man 1 mal beweisen und einmal gegenbeispiel nennen muss und mir diese jeweils erklären. Da die Aufgaben ähnlich sind, denke ich, dass ich den Rest dann selber lösen kann.
g*f:A [mm] \toC
[/mm]
1.
Seien A, B, C nichtleere Mengen und f : A → B, g : B → C Funktionen.
(a) Falls f und g injektiv sind, so ist auch g ◦ f injektiv.
(b) Falls g ◦ f injektiv ist, so sind auch f und g injektiv.
(c) Falls f und g surjektiv sind, so ist auch g ◦ f surjektiv.
(d) Falls g ◦ f surjektiv ist, so sind auch f und g surjektiv.
(e) Falls f und g bijektiv sind, so ist auch g ◦ f bijektiv.
(f) Falls g ◦ f bijektiv ist, so sind auch f und g bijektiv.
2.Seien A, B, C nichtleere Mengen und f : A → B, g : B → C Funktionen.
(a) Falls g ◦ f injektiv ist, so ist f injektiv.
(b) Falls g ◦ f injektiv ist, so ist g injektiv.
(c) Falls g ◦ f surjektiv ist, so ist g surjektiv.
(d) Falls g ◦ f surjektiv ist, so ist f surjektiv.
(e) Falls g ◦ f bijektiv ist, so ist f bijektiv.
(f) Falls g ◦ f bijektiv ist, so ist g bijektiv.
Würde mich sehr über die Hilfe freuen. Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 So 19.12.2004 | | Autor: | mimi94 |
Wenn ihr mir bei der Aufgabe nicht helfen könnt, vielleicht könnt ihr mir bloß zeigen wie Funktion multipliziert werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:58 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo mimi94,
> Wenn ihr mir bei der Aufgabe nicht helfen könnt, vielleicht
> könnt ihr mir bloß zeigen wie Funktion multipliziert
> werden.
habe keine Zeit, aber dieses Missverständnis wollte ich noch aufklären.
Mit [mm] $f\circ [/mm] g$ ist nicht die Multiplikation zweier Abbildungen gemeint (die ist ja unter Umständen gar nicht definiert in den einzelnen Räumen A bzw. B bzw. C), sondern die Hintereinanderausführung der beiden Abbildungen.
Zum Beispiel: [mm] f(x)=x^2 [/mm] und g(x)=x+1
Dann ist [mm] $(f\circ g)(x)=f(g(x))=(x+1)^2$ [/mm] und
[mm] $(g\circ f)(x)=g(f(x))=x^2+1$
[/mm]
Das sind nur zwei Beispiele, im allgemeinen kann man die Hinteranderausführung nicht derart vertauschen.
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 Di 21.12.2004 | | Autor: | Hexe |
So da ich nicht weiss ob dir Der Kommentar schon gereicht hat und ich grad zeit habe antworte ich mal.
Also das mit der Hintereinanderausführung ist hoffentlich klar Vorraussetzung für [mm] g\circ [/mm] f ist natürlich, dass f: A ->B und g: B->C, dass also Bildraum von f Urraum von g ist.
Nun zu den Aufgaben.
1c) z.z. [mm] g\circ [/mm] f surjectiv, also [mm] \forall c\in [/mm] C [mm] \exists a\in [/mm] A mit g(f(a))=c
Beweis
Sei [mm] c\in [/mm] C dann gibt es wegen g surjektiv ein [mm] b\in [/mm] B mit g(b)=c und wegen f surjektiv gibt es zu b ein a [mm] \in [/mm] A mit f(a)=b , also ist g(f(a))=g(b)=c für jedes c möglich
1d) Sei A= [mm] \IR [/mm] =B und [mm] C=\IR^{+} [/mm] Sei [mm] f(x)=x^2 [/mm] und g =id Dann ist [mm] g\circ [/mm] f : A->C surjektiv aber nicht f :A->B Dies geht auch als Antwort zu 2d
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