surjektiv stetige Abbildung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es gibt keine surjektive stetige Abbildung
g: [0,1] --> R. |
Hallo,
ich bin bei meiner Klausurvorbereitung auf die obige Aufgabe gestoßen. Ich habe mir überlegt, dass man das damit begründen könnte, dass stetige Funktionen auf kompakten Intervallen (und das ist [0,1] ja zweifelsohne) ihr Minimum und Maximum annehmen. Dass f also beschränkt bleibt. Ich weiß nur nicht genau, wie ich das jetzt formell mit der surjektivität hinschreibe. Mein Problem ist, dass ich keine Lineare algebra hatte und mir daher ein paar Grundlagen fehlen. Würde mich über ein wenig hilfe freuen. danke
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Hallo,
ja das ist genau der richtige Gedanke. Die Funktion hat also ihr Maximum im Punkt [mm] x_0 [/mm] mit Funktionswert [mm] f(x_0):=M. [/mm] Dann wird offensichtlich M+1 nicht angenommen. Aber mit M ist auch M+1 [mm] \in\IR. [/mm] Also kann f nicht surjektiv sein.
Gruß Patrick
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Super ;). Ich hätte aber noch eine Frage. Wenn die Aufgabe genauso lauten würden, aber es um eine Abbildung g ginge, die so aussieht:
g: [0,1] --) [mm] [0,1]\cup[2,3] [/mm] . Müsste ich dann etwas an meiner Argumentation ändern bzw. wie würde ich das dann aufschreiben? Danke dir.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 So 28.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> g: [0,1] --) [mm][0,1]\cup[2,3][/mm] . Müsste ich dann etwas an
> meiner Argumentation ändern bzw. wie würde ich das dann
> aufschreiben?
Das topologische Argument ist natürlich: Das Bild zusammenhängender Mengen unter stetigen Abbildungen ist zusammenhängend. Elementarer ist der Zwischenwertsatz: Da f surjektiv ist, gibt es [mm] $x,y\in[0,1]$ [/mm] mit $f(x)=1$ und $f(y)=2$, also müsste es [mm] $z\in[0,1]$ [/mm] geben mit $f(z)=1.5$, was ja nicht sein kann.
Gruß, Robert
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Zusammenhängend haben wir komplett nicht behandelt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 So 28.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Alternativ: Das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Abbildung ist kompakt, wenn es also so eine Abbildung gäbe, wäre [mm] $\IR$ [/mm] kompakt - Widerspruch.
Gruß, Robert
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