surjektivität < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:35 So 10.09.2006 | | Autor: | AriR |
(Frage zuvor nicht gestellt)
hey leute
angenommen V ist ein VR und U in Unterraum von V und man hat die kanonische Projektion [mm] \pi:V\to [/mm] V/U mit [mm] v\mapsto [/mm] v+U
man sieht ja eigentlich sofort, dass diese abb. [mm] \pi [/mm] surjektiv ist, nur wie kann man das streng formal beweisen?
also zu zeigen ist ja [mm] \forall v+U\in [/mm] V/U [mm] \exists v\inV [/mm] : [mm] \pi(v)=v+U
[/mm]
und das gilt ja offensichtlich nach konstruktion von [mm] \pi [/mm] aber das ist wohl kaum ein beweis oder? :D
gruß ari
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Hallo AriR,
es ist ja zunächst mal per definitionem [mm] v+U=\{w\in V|v-w\in U\}.
[/mm]
Weiterhin ist [mm] V\slash U=\{v+U|v\in V\}= [/mm] Menge der Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation
[mm] R_U:=\{(u,v)|u-v\in U\}\subseteq V\times [/mm] V, insbesondere also [mm] V\slash [/mm] U=_{def.} [mm] V\slash R_U.
[/mm]
Beweisformulierung 1: Es sei [mm] v+U\in V\slash [/mm] U mit [mm] v\in [/mm] V, dann gilt nach Definition [mm] \pi(v)=v+U, [/mm] also insgesamt die Surjektivität von [mm] \pi.
[/mm]
Beweisformulierung 2: Es sei [mm] A\in V\slash U=V\slash R_U, [/mm] dann ist [mm] A\neq \empyset, [/mm] wähle [mm] a\in [/mm] A, dann gilt nach Definition von [mm] \pi [/mm]
[mm] \pi(a)=A, [/mm] also ist [mm] \pi [/mm] surjektiv.
Gruss,
Mathias
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