symm. Bilinearform 2 < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 So 23.09.2012 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | [mm] A=\pmat{ a & 1-b \\ 1-b & a },\; a\in\IR\setminus\{0\}, b\in\IR.
[/mm]
Es sei [mm] H_{a,b}=\{ \vektor{x\\y}\in\IR^2\mid (x\; y)A\vektor{x\\y}=1 \}. [/mm] Bestimme alle Paare (x,y) für die [mm] H_{a,b} [/mm] eine Ellipse ist. |
Hallo,
zunächst habe ich die Frage, ob die Aufgabenstellung so korrekt sein kann? Meiner Meinung nach müsste es lauten
"... alle Paare (a,b)...".
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 So 23.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]A=\pmat{ a & 1-b \\ 1-b & a },\; a\in\IR\setminus\{0\}, b\in\IR.[/mm]
>
> Es sei [mm]H_{a,b}=\{ \vektor{x\\y}\in\IR^2\mid (x\; y)A\vektor{x\\y}=1 \}.[/mm]
> Bestimme alle Paare (x,y) für die [mm]H_{a,b}[/mm] eine Ellipse
> ist.
>
> Hallo,
>
> zunächst habe ich die Frage, ob die Aufgabenstellung so
> korrekt sein kann? Meiner Meinung nach müsste es lauten
> "... alle Paare (a,b)...".
Da hast Du völlig recht.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:13 So 23.09.2012 | | Autor: | triad |
Ok, ich kenne zwar das Verfahren zur Bestimmung des "Typs" von H (Hyperflächen 2. Ordnung), aber das ist hier ja nicht gefragt. Wie ist hier die Vorgehensweise? Muss man doch dieses Verfahren anwenden und a und b durch die Rechnung ziehen?
[mm] (x\; y)A\vektor{x\\y}=1 [/mm] ausgerechnet ergibt [mm] $ax^2+(1-b)xy+(1-b)xy+ay^2=1$. [/mm] Die Ellipsenform sieht so aus: [mm] \bruch{x^2}{a_1^2}+\bruch{y^2}{a_2^2}=1.
[/mm]
Kann man jetzt einfach sagen b muss 1 sein (damit die gemischten Glieder wegfallen) und a muss z.B. [mm] \bruch{1}{a_1^2} [/mm] (oder eben [mm] $\bruch{1}{a_2^2}$) [/mm] sein.
Dann wäre das genau diese Form [mm] \bruch{x^2}{a_1^2}+\bruch{y^2}{a_1^2}=1. [/mm] Da [mm] a_1=a_2 [/mm] ist, ist das die "Kreisform", macht aber nichts, da ein Kreis ein Spezialfall einer Ellipse ist.
Damit wäre H eine Ellipse für [mm] (a,b)=(\bruch{1}{a_1^2},1).
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Di 25.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Mi 26.09.2012 | | Autor: | triad |
OK. Ich habe es selbst gelöst bekommen.
Man muss zunächst die Diagonalmatrix [mm] S^{-1}AS=D=\pmat{a+1-b & 0 \\ 0 & a-1+b} [/mm] bestimmen. Diese dann in die Gleichung für A einsetzen (eigentlich ist es das Ersetzen von x durch [mm] S*\tilde{x}), [/mm] so dass die gemischten Glieder wegfallen, also sieht die neue Form jetzt so aus:
$(x [mm] y)D\vektor{x\\y}=(a+1-b)x^2+(a-1+b)y^2=1$.
[/mm]
Die Lösung wäre dann $a>0$ und $1-a<b<a+1$ damit die Koeffizienten vor [mm] x^2 [/mm] und [mm] y^2 [/mm] nicht negativ oder Null werden.
|
|
|
|
