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| Aufgabe | | betrachte [mm] S_4 [/mm] |
Ich kann mich leider gar nicht mit diesem Gruppenbegriff anfreunden. Hoffe ihr könnt da mal ein wenig Klarheit schaffen. Kann gleub ich nur besser werden.
Also sie symmetrische Gruppe [mm] S_4 [/mm] besteht aus der Menge der bij. Abb. auf sich selbst.
Dafür hat man die Permutationsschreibweise: z.B. [mm] \pmat{1&2&3&4\\x_1&x_2&x_3&x_4} x_n\in{1,2,3,4} [/mm] davon gibt es ja dann 4!=24 Stück. Muss ich denn jetzt eine Gruppentafel für alle 24 Elemente machen, wenn ich das weiter untersuchen möchte? Oder klassifiziere ich hier an hand andere Attribute? Wie komme ich jetzt zu dem Punkt, wo ich sage das sind UG und das Normalteiler?
id ist: [mm] \pmat{1&2&3&4\\1&2&3&4}? [/mm] (Dann ist mir auch klar wie das inverse El. aussieht)
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> betrachte [mm]S_4[/mm]
> Ich kann mich leider gar nicht mit diesem Gruppenbegriff
> anfreunden. Hoffe ihr könnt da mal ein wenig Klarheit
> schaffen. Kann gleub ich nur besser werden.
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> Also sie symmetrische Gruppe [mm]S_4[/mm] besteht aus der Menge der
> bij. Abb. auf sich selbst.
> Dafür hat man die Permutationsschreibweise: z.B.
> [mm]\pmat{1&2&3&4\\x_1&x_2&x_3&x_4} x_n\in{1,2,3,4}[/mm] davon gibt
> es ja dann 4!=24 Stück. Muss ich denn jetzt eine
> Gruppentafel für alle 24 Elemente machen, wenn ich das
> weiter untersuchen möchte?
Hallo,
diese Frage ist schwer zu beantworten, finde ich.
Das kommt darauf an, welche Vorkenntnisse Du hast.
Demnach, was Du oben schreibst: eher wenige.
Ich denke, daß in diesem Fall der Weg über eine Gruppentafel führt.
Du kannst Dir die Sache aber etwas vereinfachen, oder besser: veranschaulichen, wenn Du Dir klar machst, daß die Permutationen von 4 Elementen isomorph sind zu den Abbildungen eines Tetraeders auf sich.
Gruß v. Angela
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Ja. ok. mit der Tetraeder-Verdeutlichung ist mir das etwas klarer geworden.
-Ich habe also 12 Drehungen. Das sind die geraden Permutationen. Sie sind eine UG der [mm] S_4 [/mm] und zwar [mm] A_4 [/mm] (die Selbst wieder Gruppe ist).
-die ungeraden Permutationen sind 6 Spiegelungen an der Mittelebene und weitere 6 Drehspiegelungen. Die Stellen keine eigene Gruppe dar, weil ihre Hintereinanderausführug eine gerade Permutation ist?
Kann ich das alles auch an einem Quadrat betrachten, oder gibts da einen unterschied?
Das stimmt doch soweit?
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wie komme ich jetzt an die Normalteiler ran?
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> wie komme ich jetzt an die Normalteiler ran?
Hallo,
zu den Normalteilern gab's hieretwas.
Gruß v. Angela.
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> Ja. ok. mit der Tetraeder-Verdeutlichung ist mir das etwas
> klarer geworden.
>
> -Ich habe also 12 Drehungen. Das sind die geraden
> Permutationen. Sie sind eine UG der [mm]S_4[/mm] und zwar [mm]A_4[/mm] (die
> Selbst wieder Gruppe ist).
> -die ungeraden Permutationen sind 6 Spiegelungen an der
> Mittelebene und weitere 6 Drehspiegelungen. Die Stellen
> keine eigene Gruppe dar, weil ihre Hintereinanderausführug
> eine gerade Permutation ist?
Hallo,
genau, die ungeraden bilden keine Untergruppe.
Jede Untergruppe enthält nur gerade Permutationen oder ebensoviele ungerade wie gerade Permutationen.
Nun kannst Du Dich auf die Suche nach weiteren Untergruppen machen.
Der Satz v. Lagrange sagt Dir, daß Du nur solche zu suchen brauchst, deren Gruppenordnung 24 teilt.
Du findest sie überigens ![[]](/images/popup.gif) hier aufgelistet.
>
> Kann ich das alles auch an einem Quadrat betrachten, oder
> gibts da einen unterschied?
Nein, nicht wenn Du Dir das mit Spiegelungen und Drehungen verdeutlichen willst, weil Du hier keine findest, die nur einen Punkt fest lassen.
Gruß v. Angela
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