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| Aufgabe | Es seien
[mm] A=\pmat{ -2 & 0 & -2 \\ -1 & -2 & -1 \\ 2 & 0 & 2 } B=\pmat{ 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 } C=\pmat{ 3 & -1 \\ -1 & 3 } D=\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 }
[/mm]
(a) Welche dieser Matrizen sind symmetrisch, positiv definit, negativ definit, bzw. orthogonal?
(b) Was weiß man damit jeweils über die Diagonalisierbarkeit und die Eigenwerte der jeweiligen Matrix? |
(a)Symmetrie ist ganz einfach: B,C,D
orthogonal, wenn [mm] AA^T=E, [/mm] müsst ich in ruhe mal nachrechnen
aber wie rechne ich pos def aus?
"positiv definit, falls alle Eigenwerte größer als Null sind" würde zu (b)gehören
"Für positiv definite Matrizen gilt offensichtlich Kern (A) = 0" soll ich vll überprüfen ob die matrix vollrang hat? ist wohl eher ein notwendiges statt hinreichendes kriterium???
"Eine symmetrische Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn alle Determinanten >0" problem ist das symmetrie vorrausgesetzt wird
und
"pos def [mm] \Rightarrow [/mm] x^TAx>0" hilft mir nicht weiter
wenn ich pos def hinkriege dann auch neg def mit "Eine Matrix A ist genau dann positiv definit wenn -A negativ definit ist"
(b)glaube mich dran erinnern zu können "alle symm. matrizen sind Diag'bar"
was fehlt hier noch?
zu ew hab ich schon was geschrieben.
aber ist auch noch nicht komplett
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> Es seien
> [mm]A=\pmat{ -2 & 0 & -2 \\ -1 & -2 & -1 \\ 2 & 0 & 2 } B=\pmat{ 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 } C=\pmat{ 3 & -1 \\ -1 & 3 } D=\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 }[/mm]
>
> (a) Welche dieser Matrizen sind symmetrisch, positiv
> definit, negativ definit, bzw. orthogonal?
> (b) Was weiß man damit jeweils über die
> Diagonalisierbarkeit und die Eigenwerte der jeweiligen
> Matrix?
> (a)Symmetrie ist ganz einfach: B,C,D
> orthogonal, wenn [mm]AA^T=E,[/mm] müsst ich in ruhe mal
> nachrechnen
Hallo,
wenn man nicht so gerne Matrizen mutlipliziert, kann man auch nachgucken, ob die Spalten paarweise orthogonal sind und die Länge 1 haben. Mit Länge 1 sieht's in Deinen Beispielen schlecht aus, aber B ist ein Vielfaches einer orthogonalen Matrix.
> aber wie rechne ich pos def aus?
> "positiv definit, falls alle Eigenwerte größer als Null
> sind" würde zu (b)gehören
Stop! Das Kriterium, welches Du nennst, gilt nur für symmetrische Matrizen!
> "Für positiv definite Matrizen gilt offensichtlich Kern
> (A) = 0" soll ich vll überprüfen ob die matrix vollrang
> hat? ist wohl eher ein notwendiges statt hinreichendes
> kriterium???
Ja.
> "Eine symmetrische Matrix A ist genau dann positiv
> definit, wenn alle Determinanten >0" problem ist das
> symmetrie vorrausgesetzt wird
Wie beim EW-Kriterium.
> und
> "pos def [mm]\Rightarrow[/mm] x^TAx>0" hilft mir nicht weiter
(Die einzige Matrix, für die Eigenwerte und Hauptminoren nicht funktionieren, ist ja die erste.)
Was Du schreibst, sollte Dir schon weiterhelfen, jedenfalls, wenn du es vervollständigst:
A ist pos. def <==> x^TAx>0 für alle [mm] x\not=0.
[/mm]
Rechne doch x^TAx mal aus und schau nach, ob das für alle x positiv ist, oder ob Du auch Vektoren findest, für die das negativ ist.
Woran scheiterst Du, falls Du scheiterst?
> wenn ich pos def hinkriege dann auch neg def mit "Eine
> Matrix A ist genau dann positiv definit wenn -A negativ
> definit ist"
>
> (b)glaube mich dran erinnern zu können "alle symm. matrizen
> sind Diag'bar"
Es ist noch schöner: sie sind sogar orthogonal diagonalisierbar, was aber gar nciht gefragt ist.
Den Zusammenhang zwischen den Eigenwerten und der Definitheit hast Du oben schon angesprochen.
Orthogonale Matrizen können nur die Eigenwerte [mm] \pm1 [/mm] haben, und damit weiß man schon, welche Eigenwerte für B überhaupt nur infrage kommen. (Die Länge der Spaltenvektoren hat man ja schnell berechnet.)
> was fehlt hier noch?
> zu ew hab ich schon was geschrieben.
> aber ist auch noch nicht komplett
Das kannst Du ja noch vervollständigen.
Bei A sieht man auf einen Blick, daß die Matrix nicht invertierbar ist, welchen Eigenwert hat sie also auf jeden Fall?
Ein weiterer Eigenwert springt einem ins Auge.
Gruß v. Angela
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Hallo v.Angela, wie immer ein dankeschön für deine antwort
> wenn man nicht so gerne Matrizen mutlipliziert, kann man
> auch nachgucken, ob die Spalten paarweise orthogonal sind
> und die Länge 1 haben. Mit Länge 1 sieht's in Deinen
> Beispielen schlecht aus, aber B ist ein Vielfaches einer
> orthogonalen Matrix.
habs am pc ausgerechnet, klar das 3fache, habs verstanden
> Was Du schreibst, sollte Dir schon weiterhelfen,
> jedenfalls, wenn du es vervollständigst:
>
> A ist pos. def <==> x^TAx>0 für alle [mm]x\not=0.[/mm]
>
> Rechne doch x^TAx mal aus und schau nach, ob das für alle
> x positiv ist, oder ob Du auch Vektoren findest, für die
> das negativ ist.
>
> Woran scheiterst Du, falls Du scheiterst?
ich probiers ma aus, ich weiß von C das sie pos def, wenn ich dann herausfinde woran ich scheiter, versteh ich das bestimmt
> Orthogonale Matrizen können nur die Eigenwerte [mm]\pm1[/mm] haben,
> und damit weiß man schon, welche Eigenwerte für B überhaupt
> nur infrage kommen. (Die Länge der Spaltenvektoren hat man
> ja schnell berechnet.)
ja -3 und 3, ist logisch, habs auch verstanden
> Bei A sieht man auf einen Blick, daß die Matrix nicht
> invertierbar ist, welchen Eigenwert hat sie also auf jeden
> Fall?
> Ein weiterer Eigenwert springt einem ins Auge.
du meinst wegen invertierbar den EW 0??
und du siehst den EW -2, aber warum? ich würde eher sehn, das der in der 1. zeile gleich dem in der 3. zeile ist, dann könnt ich glaub ich sagen in der 2. ist der -2?
Gruß kinghenni
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> > Bei A sieht man auf einen Blick, daß die Matrix nicht
> > invertierbar ist, welchen Eigenwert hat sie also auf jeden
> > Fall?
> > Ein weiterer Eigenwert springt einem ins Auge.
> du meinst wegen invertierbar den EW 0??
Hallo,
ja.
> und du siehst den EW -2, aber warum? ich würde eher sehn,
> das der in der 1. zeile gleich dem in der 3. zeile ist,
???
> dann könnt ich glaub ich sagen in der 2. ist der -2?
In die zweite Spalte muß man gucken. Da haben wir [mm] \vektor{0\\-2\\0}, [/mm] daß bedeutet, daß unser zweiter Basisvektor duch Multiplikation mit der matrix auf das -2-fache von sich selbst abgebildet wird. Also ist -2 Eigenwert.
Gruß v. Angela
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