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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Murx |
| Aufgabe | Sei f : R³ [mm] \to [/mm] R gegeben durch f(x) := [mm] x^{T}Ax, [/mm] wobei
A := [mm] \pmat{ 1 & -3 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 } \in \IR^{3} \times \IR^{3}
[/mm]
(a) Bestimmen Sie eine symmetrische Matrix [mm] \overline{A} [/mm] mit der Eigenschaft f(x) = [mm] xT\overline{A}x.
[/mm]
(b) Berechnen Sie den Gradienten grad f(x) |
Hallo,
leider komme ich mit der Aufgabe gar nicht zurecht.
Irgendwie stehe ich da wohl auf dem Schlauch...
Hab zuerst gedacht ich müsste die Diagonalmatrix von A berechnen. Dabei bekommt man aber nur ein charakteristisches Polynom heraus, was sich nur mit Computer lösen lässt und sehr unschöne Nullstellen bei raus kommen. Das kann ja nicht der Sinn gewesen sein.
Habt ihr vielleicht ne Idee wie man da am besten rangehen soll???
Zudem weiß ich nicht wie ich den Gradienten berechnen soll, wenn ich x ja gar nicht gegeben hab. Muss ich dann für x [mm] x=(x_{1}, x_{2}, x_{3}) [/mm] setzen???
Ich wäre echt sehr dankbar für ein paar Tipps.
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Hallo Murx,
> Sei f : R³ [mm]\to[/mm] R gegeben durch f(x) := [mm]x^{T}Ax,[/mm] wobei
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> A := [mm]\pmat{ 1 & -3 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 } \in \IR^{3} \times \IR^{3}[/mm]
>
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> (a) Bestimmen Sie eine symmetrische Matrix [mm]\overline{A}[/mm] mit
> der Eigenschaft f(x) = [mm]xT\overline{A}x.[/mm]
>
> (b) Berechnen Sie den Gradienten grad f(x)
> Hallo,
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> leider komme ich mit der Aufgabe gar nicht zurecht.
> Irgendwie stehe ich da wohl auf dem Schlauch...
>
> Hab zuerst gedacht ich müsste die Diagonalmatrix von A
> berechnen. Dabei bekommt man aber nur ein
> charakteristisches Polynom heraus, was sich nur mit
> Computer lösen lässt und sehr unschöne Nullstellen bei raus
> kommen. Das kann ja nicht der Sinn gewesen sein.
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> Habt ihr vielleicht ne Idee wie man da am besten rangehen
> soll???
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> Zudem weiß ich nicht wie ich den Gradienten berechnen soll,
> wenn ich x ja gar nicht gegeben hab. Muss ich dann für x
> [mm]x=(x_{1}, x_{2}, x_{3})[/mm] setzen???
Ja.
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> Ich wäre echt sehr dankbar für ein paar Tipps.
>
Multipliziere [mm]f\left(x\right)=x^{T}*A*x[/mm] aus.
Dann bekommst Du eine Gleichung 2. Grades, die auch gemischtquadratische Glieder enthält. Diese lautet:
[mm]\summe_{i=1}^{3}\summe_{j=1}^{3}a_{ij}*x_{i}*x_{j}[/mm]
[mm]=a_{11}*x_{1}x_{1}+a_{12}*x_{1}x_{2}+a_{13}*x_{1}x_{3}[/mm]
[mm]+a_{21}*x_{2}x_{1}+a_{22}*x_{2}x_{2}+a_{23}*x_{2}x_{3}[/mm]
[mm]+a_{31}*x_{3}x_{1}+a_{32}*x_{3}x_{2}+a_{33}*x_{3}x_{3}[/mm]
Da [mm]x_{i}*x_{j}=x_{j}x_{i}, \ 1 \le i < j[/mm] gilt, kann man diese Glieder zusammenfassen.
[mm]=a_{11}*x_{1}x_{1}+\left(a_{12}+a_{21}\right)*x_{1}x_{2}+\left(a_{13}+a_{31}\right)*x_{1}x_{3}[/mm]
[mm]+a_{22}*x_{2}x_{2}+\left(a_{23}+a_{32}\right)*x_{2}x_{3}[/mm]
[mm]+a_{33}*x_{3}x_{3}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Murx |
Hallo,
danke schonmal. Das klingt ja ganz gut.
Hab das jetzt mal gemacht und folgende Matrix raus:
[mm] \overline{A}= \pmat{ 1 & -4 & 3 \\ -4 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 }
[/mm]
Ist diese Matrix nun korrekt aufgestellt?? Symmetrisch ist sie ja schonmal...
Danke.
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Hallo Murx,
> Hallo,
>
> danke schonmal. Das klingt ja ganz gut.
>
> Hab das jetzt mal gemacht und folgende Matrix raus:
>
> [mm]\overline{A}= \pmat{ 1 & -4 & 3 \\ -4 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 }[/mm]
>
> Ist diese Matrix nun korrekt aufgestellt?? Symmetrisch ist
> sie ja schonmal...
Ist aber nicht ganz korrekt:
[mm]\overline{A}= \pmat{ 1 & \blue{\bruch{-4}{2}} & \blue{\bruch{3}{2} } \\ \blue{\bruch{-4}{2}} & 2 & \blue{\bruch{1}{2}} \\ \blue{\bruch{3}{2}} & \blue{\bruch{1}{2}} & 1 }[/mm]
>
> Danke.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Murx |
Hallo Mathepower,
mir ist noch nicht ganz klar warum ich noch die Koeffizienten [mm] a_{12}, a_{21}, a_{23}, a_{32}, a_{13} [/mm] und [mm] a_{31} [/mm] jeweils nochmal durch 2 teilen muss.
Ich dachte wenn [mm] a_{12} [/mm] = [mm] a_{21} [/mm] ist, kann ich den Wert einfach in die Matrix übernehmen.
Wär nett, wenn du mir noch kurz erklären könntest warum man das macht.
DANKE.
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Hallo Murx,
> Hallo Mathepower,
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> mir ist noch nicht ganz klar warum ich noch die
> Koeffizienten [mm]a_{12}, a_{21}, a_{23}, a_{32}, a_{13}[/mm] und
> [mm]a_{31}[/mm] jeweils nochmal durch 2 teilen muss.
Na ja, da die Matrix [mm]\overline{A}[/mm] symmetrisch sein soll, muß [mm]\overline{a_{ij}}=\overline{a_{ji}}, \ 1 \le i < j[/mm] gelten.
[mm]\overline{a_{ij}} + \overline{a_{ji}}=2*\overline{a_{ij}}[/mm]
Demnach gilt [mm]2*\overline{a_{ij}}=a_{ij}+a_{ji}[/mm]
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> Ich dachte wenn [mm]a_{12}[/mm] = [mm]a_{21}[/mm] ist, kann ich den Wert
> einfach in die Matrix übernehmen.
Ja, wenn [mm]a_{12}=a_{21}[/mm] gilt, dann kannst den Wert übernehmen.
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> Wär nett, wenn du mir noch kurz erklären könntest warum man
> das macht.
>
> DANKE.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Murx |
Danke Mathepower,
das hat mir wirklich geholfen. Jetzt hab ich's verstanden.
Danke, Murx
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