symplektische Bilinearform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 So 13.06.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo zusammen,
ich hänge bei dieser Aufgabe. Könnt ihr mir helfen?
Eine nicht ausgeartete Binlinearform [mm]\Phi : V \times V \rightarrow K[/mm] auf einem endlich-dimensionalen K-Vektorraum V heißt symplektisch, falls [mm]\Phi(v,v)=0[/mm] für alle [mm]v\inV[/mm] gilt.
a) Zeigen Sie: Für alle [mm]v_1,v_2\inV \qquad gilt \quad \Phi(v_1,v_2)=-\Phi(v_2,v_1)[/mm].
Zeigen sie weiter, dass es im Fall [mm]dim(V) \ge 2[/mm] linear unabhängige Vektoren [mm]w_1,w_2\in V[/mm] mit der Eigenschaft [mm]\Phi(w_1,w_2)=1[/mm] gibt.
b)Beweisen Sie: Existiert auf dem endlich-dimensionalen Vektorraum V eine symplektische Bilinearform, so ist [mm]dim(V)[/mm] eine gerade Zahl, und es existiert eine Basis [mm](w_1,...,w_n)[/mm] von V, bezüglich der die Grammatrix von [mm]\Phi[/mm] die Gestalt
[mm]diag(S,...,S) mit S= \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{bmatrix} [/mm]
hat. Man nennt eine solche Basis symplektische Basis von [mm](V,\Phi)[/mm].
Hinweis: Zeigen SIe, dass für den Unterraum [mm]U:=\left\langle w_1,w_2 \right\rangle , w_1,w_2\in V [/mm] wie unter a) die Formel [mm]V= U\oplus U^{\mbox{senkrecht }}[/mm] gilt. Führen Sie eine Induktion nach der Dimension von V durch.
Bei a) habe ich das erste schon bewiesen, ich weiß nur nicht wie ich zeigen kann, dass im Fall [mm]dim(V) \ge 2[/mm] linear unabhängige Vektoren [mm]w_1,w_2\in V[/mm] mit der Eigenschaft [mm]\Phi(w_1,w_2)=1[/mm] gibt.
Und bei b) kann ich den Hinweis beweisen, nämlich:
Sei [mm]w_1\ne0[/mm] ein beliebiger Vektor aus V. Weil [mm]\Phi[/mm] nicht ausgeartet ist, gibt es einen Vektor [mm]w_2[/mm] mit [mm]\Phi(w_1,w_2)=1[/mm]. (wegen a)). Es sei dann [mm]U=\left\langle w_1,w_2 \right\rangle [/mm]. Dann hat die Einschränkung von [mm]\Phi[/mm] auf U von [mm]\Phi[/mm] auf U in bezug auf die Basis [mm](w_1,w_2)[/mm] von U die Grammatrix [mm] S= \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{bmatrix} [/mm]. Insbesondere ist [mm]\Phi[/mm] von U nicht ausgeartet und dann gilt [mm]V=U\oplus U^{\mbox{senkrecht }}[/mm].
Ich weiß jetzt nicht so ganz wie ich die Induktion weiterführen soll. Könnt ihr mir nen TIpp geben. Wahrscheinlich ist es einfach, aber ich das mal wieder nicht.
Bis denne Jessica
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:52 Mi 04.11.2015 | | Autor: | nkln |
Hey,
Sorry ,wenn heute viel frage. Ich hatte diesen Hinweis zur b) nicht . Wieso geht [mm] $V=U\oplus U^{perp} [/mm] $. wir hatten diesen Satz im skript nur fuer dimension. Also $dim (V)=dim [mm] (U)\oplus [/mm] dim [mm] (U^{perp}) [/mm] $. Oder sind die beiden saetze hier gleich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 06.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 So 13.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Jessica!
Ich habe die gleiche Aufgabe zu lösen,vermutlich das gleiche Übungsblatt!
Diese Aufgabe bereitet mir auch Probleme.
Ich weiss aber noch nicht einmal, wie ich ansetzen kann, um [mm]\Phi(v_1,v_2)=-\Phi(v_2,v_1)[/mm] zu zeigen.
Vielleicht kannst Du mir da mal einen Tip geben?
Gruss,
Wurzelpi!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 So 13.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo [mm] \wurzel{\pi}
[/mm]
> Hallo Jessica!
>
> Ich habe die gleiche Aufgabe zu lösen,vermutlich das
> gleiche Übungsblatt!
> Diese Aufgabe bereitet mir auch Probleme.
> Ich weiss aber noch nicht einmal, wie ich ansetzen kann,
> um [mm]\Phi(v_1,v_2)=-\Phi(v_2,v_1)[/mm] zu zeigen.
> Vielleicht kannst Du mir da mal einen Tip geben?
Rechne mal aus, was [mm] $\Phi(v_1+v_2,v_2+v_1)$ [/mm] ist...
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 So 13.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Marc!
Leider weiss ich nicht so recht, wie ich das ausrechnen kann.Zu der angegebenen Bifo ist keine Vorschrift angegeben,also allgemein gehalten!
Gruss,
Wuzelpi!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 So 13.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Wurzelpi,
> Leider weiss ich nicht so recht, wie ich das ausrechnen
> kann.Zu der angegebenen Bifo ist keine Vorschrift
> angegeben,also allgemein gehalten!
Aber [mm] $\Phi$ [/mm] ist ja eine Bilinearform, d.h. es gilt u.a.: [mm] $\Phi(a+b,c)=\Phi(a,c)+\Phi(b,c)$ [/mm] und [mm] $\Phi(a,b+c)=\Phi(a,b)+\Phi(a,c)$.
[/mm]
Nun eine Idee?
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Di 15.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo [mm] Marcel=$\wurzel{\Pi}$! [/mm] 
Da du dich (bzgl. der folgenden Aufgabe) nicht zurückgemeldet hast (zumindest habe ich es nicht gesehen, falls doch, entschuldige ), gehe ich mal davon aus, dass die 'Aufgabe':
[mm]\Phi(v_1,v_2)=-\Phi(v_2,v_1)[/mm]
gelöst hast, ich schreibe jetzt aber dennoch für die Allgemeinheit die Lösung dazu hin.
Es gilt:
[mm] \Phi(v_1+v_2, v_1+v_2)=0[/mm] (Weil in der Definition von symplektischer Bilinearform, welche Jessica angegeben hat, steht (grob):
[mm]\Phi(v,v)=0[/mm] für alle $v$.). Also können wir folgern:
[mm] \Phi(v_1+v_2, v_1+v_2)=0
\Rightarrow
\Phi(v_1+v_2, v_2+v_1)=0
\Rightarrow
\Phi(v_1, v_2+v_1)+\Phi(v_2,v_2+v_1)=0
[/mm]
[mm]
\Rightarrow
\Phi(v_1,v_2)+\Phi(v_1,v_1)+\Phi(v_2,v_2)+\Phi(v_2,v_1)=0
\Rightarrow
\Phi(v_1,v_2)+0+0+\Phi(v_2,v_1)=0
\Rightarrow
\Phi(v_1,v_2)=-\Phi(v_2,v_1) [/mm]
Die einzelnen Schritte zu begründen dürfte eigentlich keine Probleme machen.
Das nur als kleine Ergänzung meinerseits.
Viele Grüße
[mm] Marcel$\not=\wurzel{\Pi}$ [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 So 13.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica,
> Eine nicht ausgeartete Binlinearform [mm]\Phi : V \times V \rightarrow K[/mm]
> auf einem endlich-dimensionalen K-Vektorraum V heißt
> symplektisch, falls [mm]\Phi(v,v)=0[/mm] für alle [mm]v\inV[/mm] gilt.
>
> a) Zeigen Sie: Für alle [mm]v_1,v_2\inV \qquad gilt \quad \Phi(v_1,v_2)=-\Phi(v_2,v_1)[/mm].
Klar.
> Zeigen sie weiter, dass es im Fall [mm]dim(V) \ge 2[/mm] linear
> unabhängige Vektoren [mm]w_1,w_2\in V[/mm] mit der Eigenschaft
> [mm]\Phi(w_1,w_2)=1[/mm] gibt.
Du hast es doch unten schon angedeutet.
Sei [mm] $w_1\in [/mm] V, [mm] w_1\not=0$
[/mm]
Da [mm] $\Phi$ [/mm] nicht ausgeartet ist, gibt es einen Vektor [mm] w_2 [/mm] mit [mm] $\Phi(w_1,w_2)\not=0$.
[/mm]
Dieser Vektor [mm] w_2 [/mm] muß linear unabhängig von [mm] w_1 [/mm] sein, da sonst ja [mm] w_2=r*w_1 [/mm] und [mm] $\Phi(w_1,w_2)=\Phi(w_1,r*w_1)=r*\Phi(w_1,w_1)=0$.
[/mm]
Jetzt setze ich [mm] $w_3:=\bruch{1}{\Phi(w_1,w_2)}*w_2$, [/mm] dann gilt [mm] $\Phi(w_1,w_3)=1$.
[/mm]
> b)Beweisen Sie: Existiert auf dem endlich-dimensionalen
> Vektorraum V eine symplektische Bilinearform, so ist [mm]dim(V)[/mm]
> eine gerade Zahl, und es existiert eine Basis [mm](w_1,...,w_n)[/mm]
> von V, bezüglich der die Grammatrix von [mm]\Phi[/mm] die Gestalt
>
> [mm]diag(S,...,S) mit S= \begin{bmatrix}
> 0 & 1 \\
> -1 & 0
> \end{bmatrix}[/mm]
>
>
> hat. Man nennt eine solche Basis symplektische Basis von
> [mm](V,\Phi)[/mm].
> Hinweis: Zeigen SIe, dass für den Unterraum
> [mm]U:=\left\langle w_1,w_2 \right\rangle , w_1,w_2\in V[/mm] wie
> unter a) die Formel [mm]V= U\oplus U^{\mbox{senkrecht }}[/mm] gilt.
> Führen Sie eine Induktion nach der Dimension von V durch.
Hierzu habe ich noch keine Idee, ich habe erst durch die diese Antwort gesehen, dass es [mm]V= U\oplus U^{\mbox{senkrecht }}[/mm] (und nicht [mm]V= U^{\mbox{senkrecht }}[/mm], wie es vorher da stand).
Ich bleibe aber dran und melde mich wieder 
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 So 13.06.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo Marc
ich habe ne Frage warum gilt [mm]\Phi (w_1,w_3)=1[/mm],
wenn [mm]w_3:=\bruch{1}{\Phi (w_1,w_3)}[/mm].
Könntest du mir das erklären?
Bis denne
Jessica
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 So 13.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica,
> ich habe ne Frage warum gilt [mm]\Phi (w_1,w_3)=1[/mm],
> wenn [mm]w_3:=\bruch{1}{\Phi (w_1,w_3)}[/mm].
>
> Könntest du mir das erklären?
ich hatte etwas vergessen (und du hast dich bei einem Index vertan) (ich habe das in meinem ursprünglichen Posting ergänzt)
[mm] w_3 [/mm] soll so definiert sein:
[mm] $w_3:=\bruch{1}{\Phi(w_1,w_2)}\red{*w_2}$
[/mm]
Damit folgt die Behauptung sofort:
[mm] $\Phi(w_1,w_3)=\Phi(w_1,\bruch{1}{\Phi(w_1,w_2)}*w_2)=\bruch{1}{\Phi(w_1,w_2)}*\Phi(w_1,w_2)=1$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Mi 04.11.2015 | | Autor: | nkln |
Hallo,
ich arbeite gerade an dieser Aufgabe auch!:) Mir ist klar,dass man die Definition von einer ausgearteten Bilinearform nutzen kann,um zu zeigen ,was schon getan worde, dass [mm] $w_1$ [/mm] und [mm] $w_2$ [/mm] lin.unabh. sind
Zitat: " Du hast es doch unten schon angedeutet.
Sei $ [mm] w_1\in [/mm] V, [mm] w_1\not=0 [/mm] $
Da $ [mm] \Phi [/mm] $ nicht ausgeartet ist, gibt es einen Vektor $ [mm] w_2 [/mm] $ mit $ [mm] \Phi(w_1,w_2)\not=0 [/mm] $.
Dieser Vektor $ [mm] w_2 [/mm] $ muß linear unabhängig von $ [mm] w_1 [/mm] $ sein, da sonst ja $ [mm] w_2=r\cdot{}w_1 [/mm] $ und $ [mm] \Phi(w_1,w_2)=\Phi(w_1,r\cdot{}w_1)=r\cdot{}\Phi(w_1,w_1)=0 [/mm] $. "
jedoch ist dieser schritt mir nicht ganz klar,wie man das einfach so setzen kann?
"Jetzt setze ich $ [mm] w_3:=\bruch{1}{\Phi(w_1,w_2)}\cdot{}w_2 [/mm] $, dann gilt $ [mm] \Phi(w_1,w_3)=1 [/mm] $."
Insbesondere nur der Teil "Jetzt setze ich $ [mm] w_3:=\bruch{1}{\Phi(w_1,w_2)}\cdot{}w_2 [/mm] $,....."
könnte mir das vielleicht jmd. bitte sagen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Mi 04.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich arbeite gerade an dieser Aufgabe auch!:) Mir ist
> klar,dass man die Definition von einer ausgearteten
> Bilinearform nutzen kann,um zu zeigen ,was schon getan
> worde, dass [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] lin.unabh. sind
>
> Zitat: " Du hast es doch unten schon angedeutet.
> Sei [mm]w_1\in V, w_1\not=0[/mm]
> Da [mm]\Phi[/mm] nicht ausgeartet ist,
> gibt es einen Vektor [mm]w_2[/mm] mit [mm]\Phi(w_1,w_2)\not=0 [/mm].
Ein solches [mm] w_2 [/mm] ex. , weil [mm] \PHi [/mm] nicht ausgeartet ist.
> Dieser
> Vektor [mm]w_2[/mm] muß linear unabhängig von [mm]w_1[/mm] sein, da sonst
> ja [mm]w_2=r\cdot{}w_1[/mm] und
> [mm]\Phi(w_1,w_2)=\Phi(w_1,r\cdot{}w_1)=r\cdot{}\Phi(w_1,w_1)=0 [/mm].
Auch das dürfte klar sein, denn [mm] \Phi [/mm] ist symplektisch und daher ist [mm] \Phi(w_1,w_1)=0.
[/mm]
> "
>
>
> jedoch ist dieser schritt mir nicht ganz klar,wie man das
> einfach so setzen kann?
>
> "Jetzt setze ich [mm]w_3:=\bruch{1}{\Phi(w_1,w_2)}\cdot{}w_2 [/mm],
> dann gilt [mm]\Phi(w_1,w_3)=1 [/mm]."
>
> Insbesondere nur der Teil "Jetzt setze ich
> [mm]w_3:=\bruch{1}{\Phi(w_1,w_2)}\cdot{}w_2 [/mm],....."
Da hattte einer eine gute Idee, denn obiges [mm] w_3 [/mm] leistet das Gewünschte.
FRED
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>
>
> könnte mir das vielleicht jmd. bitte sagen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Mi 04.11.2015 | | Autor: | nkln |
fred geht das denn ? ich weiß nicht,wie man darauf kommt und das macht mich wahnsinnig,wieso geht das ? Man kann doch nicht einfach $ [mm] w_3:=\bruch{1}{\Phi(w_1,w_2)}\cdot{}w_2 [/mm] $ setzten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Mi 04.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> fred geht das denn ? ich weiß nicht,wie man darauf kommt
> und das macht mich wahnsinnig,wieso geht das ? Man kann
> doch nicht einfach [mm]w_3:=\bruch{1}{\Phi(w_1,w_2)}\cdot{}w_2[/mm]
> setzten?
Ja, warum denn nicht ?? Was stört Dich daran ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Mi 04.11.2015 | | Autor: | nkln |
ich seh den Zusammenhang nicht,wenn ich jetzt die Aufgabe mache und würde diesen Lösungenansatz wählen $ [mm] w_3:=\bruch{1}{\Phi(w_1,w_2)}\cdot{}w_2 [/mm] $ und einer meiner Komilitonen fragt micht oder mein Tutor wieso hast du [mm] $w_3$ [/mm] jetzt so gewählt ,könnte ich das nicht rechtfertigen vor ihm/sie . Ich verstehe [mm] \bruch{1}{\Phi(w_1,w_2)},dass [/mm] das geht ,weil wie vorher schon festgelegt ist ja [mm] \Phi(w_1,w_2)\neq [/mm] 0 durch die nicht-ausgeartetheit. aber wo diese [mm] w_2 [/mm] herkommt keine ahnung..:/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Mi 25.11.2015 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> ich seh den Zusammenhang nicht,wenn ich jetzt die Aufgabe
> mache und würde diesen Lösungenansatz wählen
> [mm]w_3:=\bruch{1}{\Phi(w_1,w_2)}\cdot{}w_2[/mm] und einer meiner
> Komilitonen fragt micht oder mein Tutor wieso hast du [mm]w_3[/mm]
> jetzt so gewählt ,könnte ich das nicht rechtfertigen vor
> ihm/sie . Ich verstehe [mm]\bruch{1}{\Phi(w_1,w_2)},dass[/mm] das
> geht ,weil wie vorher schon festgelegt ist ja
> [mm]\Phi(w_1,w_2)\neq[/mm] 0 durch die nicht-ausgeartetheit. aber wo
> diese [mm]w_2[/mm] herkommt keine ahnung..:/
Leider weiß ich nicht mehr genau, was ich vor 11 Jahren gedacht hatte
Vielleicht das hier:
Wir müssen zwei Vektoren [mm] $w_1$ [/mm] und [mm] $w_2$ [/mm] finden, so dass
[mm] $\Phi(w_1,w_3)=1$
[/mm]
Nun ist aber ja auf jeden Fall
[mm] $\frac1{\Phi(w_1,w_2)}\cdot \Phi(w_1,w_2)=1$
[/mm]
Woraus man durch Ausnutzung der Bilinearität von [mm] $\Phi$ [/mm] machen kann:
[mm] $\Phi(w_1,\frac{1}{\Phi(w_1,w_2)}\cdot w_2)=1$
[/mm]
Nun ist doch klar, dass man für [mm] $w_3$ [/mm] den Vektor in der zweiten Komponente wählen kann:
[mm] $\Phi(w_1,w_3)=1$
[/mm]
Wahrscheinlich habe ich damals einfach mehrere Sachen ausprobiert, bis ich auf diese Überlegung kam. Diese vorbereitenden Gedanken sind schwer nachvollziehbar zu erklären, aber zum Glück gehören sie ja auch nicht zur Lösung/Beweis (d.h., niemand außer deinen Kommilitonen werden dich danach fragen). Für die Lösung reicht es ja zu zeigen, dass das (irgendwie gefundene) [mm] $w_3$ [/mm] das Verlangte leistet.
Viele Grüße
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 Do 26.11.2015 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> ...
> Wahrscheinlich habe ich damals einfach mehrere Sachen
> ausprobiert, bis ich auf diese Überlegung kam. Diese
> vorbereitenden Gedanken sind schwer nachvollziehbar zu
> erklären, aber zum Glück gehören sie ja auch nicht zur
> Lösung/Beweis (d.h., niemand außer deinen Kommilitonen
> werden dich danach fragen).
da hast Du aber Glück, dass ich ihn jetzt nicht danach frage, denn ansonsten
würde ich den Wahrheitsgehalt Deiner Aussage zerstören.
Ob Fred mal nachfragt? :D
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:37 Fr 27.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Marc,
>
> > Hallo Marcel!
> >
> > > da hast Du aber Glück, dass ich ihn jetzt nicht danach
> > > frage, denn ansonsten
> > > würde ich den Wahrheitsgehalt Deiner Aussage
> > zerstören.
> > >
> >
> > Das heißt, du weißt, dass nkln ohne zeitliche
> > Überschneidung mit dir an deiner Uni studiert hat?
>
> ne, ich weiß ja noch nicht mal, ob er studiert (hat). :P
>
> > > Ob Fred mal nachfragt? :D
> >
> > Selbst dann könnte der Wahrheitsgehalt meiner Aussage
> > bestehen bleiben
>
> Du glaubst, das ist ein Kommilitone von Fred? :D
Was ist los ? Ja, nkln kenne ich: norddeutscheklassenlotterieniete
(http://www.nkl.de/nkl_static_content/html/index.html)
FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Di 01.12.2015 | | Autor: | nkln |
ich studier rwth. höre gerade LA 2
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 So 13.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Marc!
Eine Frage zu Deiner Antwort:
> > Zeigen sie weiter, dass es im Fall [mm]dim(V) \ge 2[/mm] linear
>
> > unabhängige Vektoren [mm]w_1,w_2\in V[/mm] mit der Eigenschaft
> > [mm]\Phi(w_1,w_2)=1[/mm] gibt.
>
> Du hast es doch unten schon angedeutet.
> Sei [mm] $w_1\in [/mm] V, [mm] w_1\not=0$
[/mm]
> Da [mm] $\Phi$ [/mm] nicht ausgeartet ist, gibt es einen Vektor [mm] w_2 [/mm]
> mit [mm] $\Phi(w_1,w_2)\not=0$.
[/mm]
> Dieser Vektor [mm] w_2 [/mm] muß linear unabhängig von [mm] w_1 [/mm] sein, da
> sonst ja [mm] w_2=r*w_1 [/mm] und
> [mm] $\Phi(w_1,w_2)=\Phi(w_1,r*w_1)=r*\Phi(w_1,w_1)=0$.
[/mm]
>
> Jetzt setze ich [mm] $w_3:=\bruch{1}{\Phi(w_1,w_2)}*w_2$, [/mm] dann
> gilt [mm] $\Phi(w_1,w_3)=1$.
[/mm]
>
>
Warum wählst du den Vektor so und nicht anders und warum ist [mm] $\Phi(w_1,w_3)=1$?
[/mm]
Gruss,
Wurzelpi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:27 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo,
ich habe die Aufgabe jetzt nur überflogen, daher frage ich jetzt mal vorsichtig nach, wo das Problem liegt. Die Aufgabe ist doch jetzt vollständig gelöst. (?)
Die Induktion: Für $n=1$ gibt es keine symplektische Bilinearform (denn die wäre ausgeartet) und für $n=2$ folgt der (noch zu zeigende Teil der) Behauptung aus a).
Den Induktionsschluss wendet man jetzt (mit dem Hinweis, der ja aus a) folgt) auf
[mm] $\Phi_{U^{\perp} \times U^{\perp}}$ [/mm]
an...
Das ist nicht-ausgeartet und symplektisch. Dann ist [mm] $dim(U^{\perp})$ [/mm] gerade, also auch $dim(V)$.
Übersehe ich da gerade etwas?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Vielleicht kann man die Induktion so durchfühen:
Es dimV=n und [mm]\Phi[/mm] symplektische.
Für n=1 ex. keine symplektische Bifo, denn sonst wäre [mm]\Phi[/mm] die Nullabbildung.
Für n=2 hat man alles schon im Hinweis gezeigt.
Nun zum Induktionsschritt:
Sei also n-1 aus den natürliche Zahlen so, dass die BEh. für dieses n-1 gelte.
Demnach e. eine [mm] Basis(w_1,...,W_{n-1}) [/mm] mit [mm]\Phi(w_i,w_{i+1} = 0[/mm] für i = 1,...n-2.
Für die Gram-Matrix von [mm]\Phi[/mm] kann man doch nun die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h., ich habe zunächst einmal eine (n-1)[mm]\times[/mm](n-1) Matrix mit kannter Gestalt, also diag(S,....S). Nun brauche ich mir doch nur den letzen Fall anzuschauen.
Fertig.
So, mein Problem ist jetzt nur noch:
Wieso ist dimV gerade?
Stimmt die Größe der Matrix überhaupt?
Gruss, [mm]\wurzel{\Pi}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Di 15.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Wurzelpi!
> Hallo zusammen!
>
> Vielleicht kann man die Induktion so durchfühen:
>
> Für n=1 ex. keine symplektische Bifo, denn sonst wäre [mm]\Phi[/mm] die Nullabbildung.
> [mm]Für n=2[/mm] hat man alles schon im Hinweis gezeigt.[
Das hatte ich ja auch alles schon geschrieben.
> Nun zum Induktionsschritt:
> Sei also n-1 aus den natürliche Zahlen so, dass die BEh. für dieses $n-1$ gelte.
Falscher Ansatz. Du musst voraussetzen, dass es für alle $k [mm] \in \{1,\ldots,n-1\}$ [/mm] bereits gezeigt ist, nicht nur für $n-1$ (sonst bekommst du Probleme).
So, jetzt machst du es genau so, wie ich gesagt habe, Du betrachtest den zweidimensionalen Teilraum $U$ nach a) und wendest auf [mm] $U^{\perp}$ [/mm] die Induktionsvoraussetzung an.
Dann steht die Behauptung sofort da.
> Wieso ist $dim\ V$ gerade?
Das musst du mit in die Induktion packen! Dann steht es sofort da, da ja eine gerade Zahl plus 2 wieder eine gerade Zahl ist.
Willst du es noch einmal versuchen?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Di 15.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Okay,letzter Versuch!
Also ich habe da wie folg jetzt gemacht:
Induktionsanfang:
n=1: Es gibt keine symplektischen Bifo´s.
n=2: siehe Beweis des Hinweises.
Induktionsschritt:
Sei also n-2 aus den natürlichen Zahlen, so dass für dieses n-2 die Behauptung gelte.
Jetzt zeige ich zunächst, dass sowohl n aus den geraden natürlichen Zahlen sein muss und somit auch n-2!
Denn für ein ungerades n besitzt die Grammatrix nicht die gewünschte Form.
Somit mache ich den Induktionsschritt vo n-2 auf n:
Nach Induktionsvorraussetzung existiert somit eine Basis mit n-2 Elementen und [mm]\Phi(w_i,w_{i+1}[/mm]=1 für i=1,3,...n-3.
Ich betrachte also im nächten Schritt eine Basis mit n Elementen.
Dann hat die Grammatrix vollen Rang, da [mm]\Phi[/mm]nicht ausgeartet ist.
NAch Induktionsvoraussetzung kenne ich für die Untermatrix vom Format (n-2)x(n-2) den Aufbau. Sie besitzt also die gewünschte Form.
ICh brauche also nur noch die letzten beiden Zeilen und Spalten zu betrachten:
Nach der Bildungsvorschrif von [mm]\Phi(w_i,w_{i+1}[/mm] kann ich also die letzten Spalten auffüllen.
Und fertig.
Ich habe die günschte Matrix.
So, das ist für mich jetzt die beste und verständlichste Lösung.
ICh hoffe,dass ich das so machen kann!
Gruss,
Wurzelpi!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nein, das ist immer noch nicht so, wie es sein sollte.
Ich mache es jetzt mal vor:
Ich zeige mit vollständiger Induktion nach $n [mm] \in \IN$, [/mm] dass ein symplektischer, nicht-ausgearteter Vektorraum [mm] $(V,\Phi)$ [/mm] im Falle gerader Dimension [mm] $\dim(V)=2n$ [/mm] eine Gram-Matrix der angegebenen Art besitzt und dann anschließend, dass es im Falle ungerade Dimension [mm] $\dim(V)=2n-1$ [/mm] keine symplektische, nicht-ausgeartete Bilinearform auf $V$ gibt.
Den Induktionsanfang haben wir schon mehrmals aufgeschrieben.
Es sei nun [mm] $\dim(V)=2n$. [/mm] Dann wählen wir [mm] $w_1$ [/mm] und [mm] $w_2$ [/mm] wie in a), setzen [mm] $U:=Span(w_1,w_2)$ [/mm] und schließen wie in a) (oder wo auch immer das war), dass
$V = U + [mm] U^{\perp}$
[/mm]
gilt. Dann hat die Gram-Matrix die Gestalt (kann ich jetzt nicht aufmalen: also links oben [mm] $\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, [/mm] dann in den dazu gehörigen Zeilen und Spalten nur $0$en und rechts unten die Gram-Matrix von [mm] $\Phi$, [/mm] eingeschränkt auf [mm] $U^{\perp} \times U^{\perp}$. [/mm]
Da [mm] $\Phi\vert_{U^{\perp} \times U^{\perp}}$ [/mm] symplektisch und nicht-ausgeartet ist, kann man auf [mm] $U^{\perp}$ [/mm] mit [mm] $\dim(U^{\perp})=2n-2$ [/mm] die Induktionsvoraussetzung anwenden. Insgesamt hat dann die Gram-Matrix von [mm] $\Phi$ [/mm] die gewünschte Gestalt
Es sei nun [mm] $\dim(V)=2n-1$. [/mm] Wir zeigen, dass es auf $V$ keine symplektische, nicht-ausgeartete Bilinearform gibt. Wir nehmen mal es gibt eine solche (und führen das zum Widerspruch). Dann wählen wir [mm] $w_1$ [/mm] und [mm] $w_2$ [/mm] wie in a), setzen [mm] $U:=Span(w_1,w_2)$ [/mm] und schließen wie in a) (oder wo auch immer das war), dass
$V = U + [mm] U^{\perp}$
[/mm]
gilt. Dann müsste auch [mm] $\Phi\vert_{U^{\perp} \times U^{\perp}}$ [/mm] symplektisch und nicht-ausgeartet sein. Es gilt aber : [mm] $dim(U^{\perp})=2n-3$, [/mm] und nach Induktionsvoraussetzung darf es auf [mm] $U^{\perp}$ [/mm] keine symplektische und nicht-ausgeartete Bilinearform geben. Damit war die Annahme, dass es auf $V$ eine solche gibt, falsch.
Alles ist damit gezeigt.
Das muss man jetzt noch schöner und ausführlicher aufschreiben, dann passt es.
Liebe Grüße
Stefan
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