tan(t/2) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Mi 01.02.2012 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | | [mm] \integral{\bruch{1}{(sint)^3}dx} [/mm] |
In der Übung habe ich mir aufgeschrieben, dass wir folgendes substituiert haben: z=tan(t/2), dass macht man ja scheinbar immer bei trigonometrischen Funktionen?
aber wie komme ich drauf, dass dann sint= [mm] \bruch{2z}{1+z^2} [/mm] ist???
Also ich finde keine Additionstheoreme, die mcih dahin führen.
Genauso, wie cos(x) bei der Substitution dann = [mm] \bruch{1-(tan(t/2))^2}{1+(tan(t/2))^2} [/mm] sein soll??
Bitte erklärt mir das einer!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Mi 01.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\integral{\bruch{1}{(sint)^3}dx}[/mm]
>
>
> In der Übung habe ich mir aufgeschrieben, dass wir
> folgendes substituiert haben: z=tan(t/2), dass macht man ja
> scheinbar immer bei trigonometrischen Funktionen?
man macht immer "etwas, was sich anbietet" und "hofft, Glück gehabt zu haben" und nicht etwas übersehen zu haben. Warum sich das hier anbietet, sehe ich gerade auch nicht. Aber gut: Irgendjemand hat's gesehen und schlägt's nun mal vor, also schauen wir mal, ob er gut geguckt hat! (Vielleicht hat er ja auch erstmal in die Additionstheoreme geguckt und kam' dann auf die Idee...)
> aber wie komme ich drauf, dass dann sint= [mm]\bruch{2z}{1+z^2}[/mm]
> ist???
> Also ich finde keine Additionstheoreme, die mcih dahin
> führen.
Es gilt
[mm] $$\sin(t)=\sin(\;t/2\,+\,t/2\;)=2*\sin(t/2)\cos(t/2)=2*\underbrace{\tan(t/2)}_{=z}*\cos^2(t/2)\,,$$
[/mm]
so dass nur noch
[mm] $$\cos^2(t/2)=1/(1+z^2)$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$(1+z^2)*\cos^2(t/2)=1$$
[/mm]
nachzurechnen ist:
Es gilt
[mm] $$(1+z^2)*\cos^2(t/2)=\left(\frac{\cos^2(t/2)+\sin^2(t/2)}{\cos^2(t/2)}\right)*\cos^2(t/2)\,.$$
[/mm]
Siehst Du's nun? (Trigo. Pyth.!)
> Genauso, wie cos(x)
Da steht hoffentlich [mm] $\red{\cos(t)}$!
[/mm]
> bei der Substitution dann =
> [mm]\bruch{1-(tan(t/2))^2}{1+(tan(t/2))^2}[/mm] sein soll??
Rechne es nach:
[mm] $$\frac{1-\tan^2(t/2)}{1+\tan^2(t/2)}=\frac{\frac{\cos^2(t/2)-\sin^2(t/2)}{\cos^2(t/2)}}{\frac{\cos^2(t/2)+\sin^2(t/2)}{\cos^2(t/2)}}=\cos^2(t/2)-\sin^2(t/2)\,.$$
[/mm]
Also soll [mm] $\cos^2(t/2)-\sin^2(t/2)=\cos(t)$ [/mm] gelten. Dafür ist es toll, dass man
[mm] $$\cos(t)=\cos(\;t/2\,+\,t/2\;)$$
[/mm]
schreiben kann. Hilft Dir das?
Gruß,
Marcel
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