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Forum "Schul-Analysis" - tangentengleichung
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tangentengleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:20 Mi 07.12.2005
Autor: der_puma

hi,

ich hab da ma ne frage unnd zwar wenn ich eine funktion gegeben hab ,zb f(x) = x²+1 und den zb den punt P(-1/0) ,wie kann ich dann die gerade bestimmen ,die für f(x) eine tangente ist und druch den punkt P geht?

kann mir da jemnad helfen ,wie das geht oder zumdenst einen ansatz geben?

danke
christopher

        
Bezug
tangentengleichung: Punkt-Steigungs-Form
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:55 Mi 07.12.2005
Autor: Loddar

Hallo Christopher!


Wir suchen also eine Gerade [mm] $y_t [/mm] \ = \ [mm] m_t*x+n$, [/mm] bei der wir einen Punkt kennen, hier: $P \ (-1; \ 0)$, und die als Tangente die genannte Funktion berühren soll.


Das heißt ja, dass unsere gesuchte Gerade im Berührpunkt $B \ [mm] (x_b; [/mm] \ [mm] y_b)$ [/mm] dieselbe Steigung haben muss wie die Kurve:

[mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] f'(x_b) [/mm] \ = \ [mm] 2*x_b$ [/mm]


Dies setzen wir nun in die Punkt-Steigungs-Form für Geraden ein:

[mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y_b-y_P}{x_b-x_P}$ [/mm]

[mm] $f'(x_b) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{f(x_b)-0}{x_b-(-1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x_b^2+1-0}{x_b+1} [/mm] \ = \ [mm] 2*x_b$ [/mm]


Aus dieser Gleichung kannst Du nun zunächst den x-Wert [mm] $x_b$ [/mm] der Berührstelle von Tangente und Kurve ermitteln und anschließend die Geradengleichung.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
tangentengleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 Mi 07.12.2005
Autor: der_puma


> Hallo Christopher!
>  
>
> Wir suchen also eine Gerade [mm]y_t \ = \ m_t*x+n[/mm], bei der wir
> einen Punkt kennen, hier: [mm]P \ (-1; \ 0)[/mm], und die als
> Tangente die genannte Funktion berühren soll.
>  
>
> Das heißt ja, dass unsere gesuchte Gerade im Berührpunkt [mm]B \ (x_b; \ y_b)[/mm]

> dieselbe Steigung haben muss wie die Kurve:
>  
> [mm]m_t \ = \ f'(x_b) \ = \ 2*x_b[/mm]
>  
>
> Dies setzen wir nun in die Punkt-Steigungs-Form für Geraden
> ein:
>  
> [mm]m_t \ = \ \bruch{y_b-y_P}{x_b-x_P}[/mm]
>  
> [mm]f'(x_b) \ = \ \bruch{f(x_b)-0}{x_b-(-1)} \ = \ \bruch{x_b^2+1-0}{x_b+1} \ = \ 2*x_b[/mm]
>  
>
> Aus dieser Gleichung kannst Du nun zunächst den x-Wert [mm]x_b[/mm]
> der Berührstelle von Tangente und Kurve ermitteln und
> anschließend die Geradengleichung.
>  
>
> Gruß
>  Loddar
>  

danke schonma ,aber irgendwie hilft mir das noch net so gnaz ,ich versteh das soweit nur warum kann man den punkt P in f´(x) einsetzen kann ,denn f gehet doch gar net durch den punkt?
[mm]f'(x_b) \ = \ \bruch{f(x_b)-0}{x_b-(-1)} \ = \ \bruch{x_b^2+1-0}{x_b+1} \ = \ 2*x_b[/mm]

un wenn ich dann soweit bin ,wie kann ich dann weiterrechnen,welche gleichung muss ich denn dann mit welcher g´leichsetzen?

gruß christopher


Bezug
                        
Bezug
tangentengleichung: Erläuterung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:16 Mi 07.12.2005
Autor: Loddar

Hallo Christopher!


> ich versteh das soweit nur warum kann man den punkt P
> in f´(x) einsetzen kann ,denn f gehet doch gar net durch
> den punkt?

Denn Punkt bzw. die Koordinaten des Punktes $P_$ setzen wir ja gar nicht ein in die Ableitungsfunktion, sondern einen anderen (= zweiten) noch unbekannten Punkt: den Berührpunkt $B_$, an welchem sich die gesuchte Gerade und die Kurve berühren.

Und in diesem Punkt $B_$ müssen ja sowohl die Funktionswerte als auch die Steigungen (= Ableitungen) von Gerade und Kurve übereinstimmen. Sonst wäre es ja keine Tangente.


[mm]f'(x_b) \ = \ \bruch{f(x_b)-0}{x_b-(-1)} \ = \ \underbrace{\bruch{x_b^2+1-0}{x_b+1} \ = \ 2*x_b}_{= \ Bestimmungsgleichung \ f"ur \ x_b}[/mm]
  

> un wenn ich dann soweit bin ,wie kann ich dann
> weiterrechnen,welche gleichung muss ich denn dann mit
> welcher g´leichsetzen?

Diese oben genannte ist schon Deine Bestimmungsgleichung, um zunächst den x-Wert [mm] $x_b$ [/mm] des Berührpunktes $B_$ zu ermitteln.

Also diese Gleichung, die ich mit der geschwiften Klammer markiert habe, nun nach [mm] $x_b$ [/mm] umstellen und auflösen. Anschließend kannst Du dann mit diesem Wert Deine gesuchte Tangentengleichung bestimmen.


Nun klar(er) und [lichtaufgegangen] ?


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
tangentengleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:42 Mi 07.12.2005
Autor: der_puma


>  
> Diese oben genannte ist schon Deine Bestimmungsgleichung,
> um zunächst den x-Wert [mm]x_b[/mm] des Berührpunktes [mm]B_[/mm] zu
> ermitteln.
>  
> Also diese Gleichung, die ich mit der geschwiften Klammer
> markiert habe, nun nach [mm]x_b[/mm] umstellen und auflösen.
> Anschließend kannst Du dann mit diesem Wert Deine gesuchte
> Tangentengleichung bestimmen.
>  
>
> Nun klar(er) und [lichtaufgegangen] ?
>  
>
> Gruß
>  Loddar
>  

ok das is klar
aber wenn ich deise bestimmungsgelcihun nach [mm] x_b [/mm] auflöse komme ich auf
[mm] 2x_b²+2x_b=x_b²+1 [/mm]
[mm] x_b²+2x_b-1=0 [/mm]
hier komme ich aber auf zwei lsungen ,aber das kann doch nicht sein weil dei tangente doch nur einen berührungspunkt mit dem graphen ahben kann oder?

gruß
christopher

Bezug
                                        
Bezug
tangentengleichung: Skizze
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:54 Mi 07.12.2005
Autor: Loddar

Hallo Christopher!


Sieh mal hier:


[Dateianhang nicht öffentlich]


Für diese Funktion und diesen Punkt kann ich also wirklich zwei verschiedene Tangenten anlegen. Daher natürlich auch zwei Lösungen für die betreffenden Berührpunkte [mm] $B_1$ [/mm] und [mm] $B_2$ [/mm] .


Gruß
Loddar


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                
Bezug
tangentengleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:07 Mi 07.12.2005
Autor: der_puma

danke war ne schwer geburt^^

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