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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Di 18.10.2011 | | Autor: | Fry |
Hallo,
ich würde gerne folgende Gleichung nachvollziehen.
[mm]\frac{\tanh(\frac{a}{n})+b}{1+b*\tanh(\frac{a}{n})}=b+\frac{a}{n}(1-b^2)+O(\frac{a^2}{n^2})[/mm]
wobei O das große Omikron (Landausymbol) seien soll, n soll Variable sein, a,b Konstanten [mm]\in\IR[/mm].
Meine Überlegungen:
Hab den Bruch mit [mm]1-b*\tanh(\frac{a}{n})[/mm] erweitert.
Also
[mm]\frac{\tanh(\frac{a}{n})+b}{1+b*\tanh(\frac{a}{n})}=\frac{1}{1-b^2*\tanh^2(\frac{a}{n})}*\left(b+\tanh(\frac{a}{n})(1-b^2)-\tanh^2(\frac{a}{n})*b\right)[/mm]
Hab mir gedacht, dass man dann weiter machen könnte mit der Taylorentwicklung von [mm]tanh(x)=x+O(x^3)[/mm]
bzw [mm]tanh^2(x)=x^2+O(x^4)[/mm] (stimmt das?)
also [mm]\tanh(\frac{a}{n})=\frac{a}{n}+O(\frac{a^2}{n^2})[/mm]
(mit leichter Veränderung)
[mm]\tanh^2(\frac{a}{n})=\frac{a^2}{n^2}+O(\frac{a^2}{n^2})[/mm]
Mit den Omicronsymbolen steh ich etwas auf Kriegsfuß.
Bin ich auf dem Holzweg? Bzw falls es stimmt, wie ich kann ich begründen, dass man dann so auch auf das Ergebnis kommt?
Würde mich über eure Hilfe freuen! Danke.
LG
Fry
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Hallo Fry,
> Hallo,
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> ich würde gerne folgende Gleichung nachvollziehen.
>
>
> [mm]\frac{\tanh(\frac{a}{n})+b}{1+b*\tanh(\frac{a}{n})}=b+\frac{a}{n}(1-b^2)+O(\frac{a^2}{n^2})[/mm]
>
> wobei O das große Omikron (Landausymbol) seien soll, n
> soll Variable sein, a,b Konstanten [mm]\in\IR[/mm].
>
>
>
> Meine Überlegungen:
> Hab den Bruch mit [mm]1-b*\tanh(\frac{a}{n})[/mm] erweitert.
> Also
>
> [mm]\frac{\tanh(\frac{a}{n})+b}{1+b*\tanh(\frac{a}{n})}=\frac{1}{1-b^2*\tanh^2(\frac{a}{n})}*\left(b+\tanh(\frac{a}{n})(1-b^2)-\tanh^2(\frac{a}{n})*b\right)[/mm]
>
> Hab mir gedacht, dass man dann weiter machen könnte mit
> der Taylorentwicklung von [mm]tanh(x)=x+O(x^3)[/mm]
> bzw [mm]tanh^2(x)=x^2+O(x^4)[/mm] (stimmt das?)
>
Ja.
> also [mm]\tanh(\frac{a}{n})=\frac{a}{n}+O(\frac{a^2}{n^2})[/mm]
> (mit leichter Veränderung)
> [mm]\tanh^2(\frac{a}{n})=\frac{a^2}{n^2}+O(\frac{a^2}{n^2})[/mm]
>
> Mit den Omicronsymbolen steh ich etwas auf Kriegsfuß.
> Bin ich auf dem Holzweg? Bzw falls es stimmt, wie ich kann
> ich begründen, dass man dann so auch auf das Ergebnis
> kommt?
>
>
Einfachere Vorgehensweise:
Entwickle zunächst den Bruch [mm]\frac{1}{1+b*\tanh(\frac{a}{n})}[/mm] in eine Taylorreihe um 0.
Dann kannst Du [mm]tanh(x)=x+O(x^3)[/mm] verwenden.
> Würde mich über eure Hilfe freuen! Danke.
> LG
> Fry
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Di 18.10.2011 | | Autor: | Fry |
Hey mathepower,
vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Hier mein Versuch
[mm]\frac{\tanh(\frac{a}{n})+b}{1+b\cdot{}\tanh(\frac{a}{n})}=\sum_{i=0}^{\infty}(-b)^i*\(\tanh(\frac{a}{n}))^i*(\tanh(\frac{a}{n})+b)
=\tanh(a/n)+b-b*(\tanh(a/n)^2-b^2*\tanh(a/n)+O((a/n)^2)=...[/mm]
Stimmts?
Dann muss noch zusätzlich $|b|<1$ gelten, oder? ($|tanh(x)|<1 $gilt ja)
Gilt, dann auch (salopp aufgeschrieben [mm] $O(a/n^3)=O(a^2/n^2)$ [/mm] ?
[mm] $a^2$ [/mm] ist ja größer als a, oder sind Konstanten sowieso egal aufgrund der Def.?
LG
Fry
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> Hier mein Versuch
>
> [mm]\frac{\tanh(\frac{a}{n})+b}{1+b\cdot{}\tanh(\frac{a}{n})}=\sum_{i=0}^{\infty}(-b)^i*\(\tanh(\frac{a}{n}))^i*(\tanh(\frac{a}{n})+b)
=\tanh(a/n)+b-b*(\tanh(a/n)^2-b^2*\tanh(a/n)+O((a/n)^2)=...[/mm]
>
> Stimmts?
Ja. Man kann dann aber den Teilterm [mm] \tanh(a/n)^2 [/mm] auch noch in
den Restterm [mm] O((a/n)^2) [/mm] einbeziehen.
> Dann muss noch zusätzlich [mm]|b|<1[/mm] gelten, oder?
> ([mm]|tanh(x)|<1 [/mm]gilt ja)
> Gilt, dann auch (salopp aufgeschrieben [mm]O(a/n^3)=O(a^2/n^2)[/mm]
> ?
> [mm]a^2[/mm] ist ja größer als a,
Dies stimmt allerdings nicht, falls 0<a<1 !
> oder sind Konstanten sowieso
> egal aufgrund der Def.?
>
> LG
> Fry
LG Al-Chw.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:24 Mi 19.10.2011 | | Autor: | Fry |
Kannst du das bitte noch genauer erklären?
Frage mich halt, wie man dann auf die Behauptung kommt.
LG
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 Mi 19.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh nicht, warum du das Ganze jetzt nicht mal als Potrnzreihe in x=a/n hinschreibst. bisher hab ich von dir nur darstellungen gesehen, in denen noch tanh vorkommt!
Gruss leduart
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> [mm]\frac{\tanh(\frac{a}{n})+b}{1+b*\tanh(\frac{a}{n})}=b+\frac{a}{n}(1-b^2)+O(\frac{a^2}{n^2})[/mm]
Ich würde empfehlen, von vorne weg die Substitution
$\ [mm] x:=\frac{a}{n}$
[/mm]
zu verwenden. Nachher geht es um eine Taylorentwicklung.
LG Al-Chw.
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