taylorpolynom < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Di 19.07.2011 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | | es sei f:]0, [mm] \infty[ [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] f(x)=lnx. geben sie das taylorpolynom 5. ordnung von f, also [mm] T_5(x,a) [/mm] bei entwicklung um a=1 an. bestimmen sie die lagrangesche form des restglieds [mm] R_5(x,1) [/mm] |
für das taylorpolynom hab ich das raus:
[mm] T_5(x)=\bruch{x-1}{x}-\bruch{(x-1)^2}{2x^2}+\bruch{3(x-1)^3}{6x^4}-\bruch{12(x-1)^4}{24x^5}+\bruch{60(x-1)^5}{120x^6}
[/mm]
ist das richtig? muss man das hier noch zusammenfassen?
danke!
ki
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> es sei f:]0, [mm]\infty[[/mm] -> [mm]\IR,[/mm] f(x)=lnx. geben sie das
> taylorpolynom 5. ordnung von f, also [mm]T_5(x,a)[/mm] bei
> entwicklung um a=1 an. bestimmen sie die lagrangesche form
> des restglieds [mm]R_5(x,1)[/mm]
> für das taylorpolynom hab ich das raus:
>
> [mm]T_5(x)=\bruch{x-1}{x}-\bruch{(x-1)^2}{2x^2}+\bruch{3(x-1)^3}{6x^4}-\bruch{12(x-1)^4}{24x^5}+\bruch{60(x-1)^5}{120x^6}[/mm]
> ist das richtig?
Nein. In einem Taylorpolynom kommt x nirgends
im Nenner vor.
Zeige bitte deine Überlegungen bzw. Rechnungen, damit
man sehen kann, was du falsch machst.
Du musst zwischen der Variablen x und der Entwicklungs-
stelle [mm] x_0 [/mm] (bzw. a) unterscheiden !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Di 19.07.2011 | | Autor: | kioto |
> > es sei f:]0, [mm]\infty[[/mm] -> [mm]\IR,[/mm] f(x)=lnx. geben sie das
> > taylorpolynom 5. ordnung von f, also [mm]T_5(x,a)[/mm] bei
> > entwicklung um a=1 an. bestimmen sie die lagrangesche form
> > des restglieds [mm]R_5(x,1)[/mm]
> > für das taylorpolynom hab ich das raus:
> >
> >
> [mm]T_5(x)=\bruch{x-1}{x}-\bruch{(x-1)^2}{2x^2}+\bruch{3(x-1)^3}{6x^4}-\bruch{12(x-1)^4}{24x^5}+\bruch{60(x-1)^5}{120x^6}[/mm]
> > ist das richtig?
>
> Nein. In einem Taylorpolynom kommt x nirgends
> im Nenner vor.
[mm] T_5(x)=0+\bruch{x^{-1}}{1}(x-1)+\bruch{x^{-2}}{2!}(x-1)^2+\bruch{3x^{-4}}{3!}(x-1)^3-\bruch{12x^{-5}}{4!}(x-1)^4+\bruch{60x^{-6}}{5!}(x-1)^5
[/mm]
.......ist das was falsch....?
>
> Zeige bitte deine Überlegungen bzw. Rechnungen, damit
> man sehen kann, was du falsch machst.
> Du musst zwischen der Variablen x und der Entwicklungs-
> stelle [mm]x_0[/mm] (bzw. a) unterscheiden !
>
> LG Al-Chw.
danke
ki
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Di 19.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib bitte mal genau auf, wie ein Taylorpolynom allgemein aussieht! (oder sieh es nach!)
ob du 1/x oder [mm] x^{-1} [/mm] schreibst ist egal!
ein polynom hat nur positive exponenten in x also [mm] x^n n\ge0
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Di 19.07.2011 | | Autor: | kioto |
> Hallo
> schreib bitte mal genau auf, wie ein Taylorpolynom
> allgemein aussieht! (oder sieh es nach!)
>
[mm] T_n(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^k
[/mm]
ich dachte ich habs so gemacht.....
ob du 1/x oder [mm]x^{-1}[/mm] schreibst ist egal!
> ein polynom hat nur positive exponenten in x also [mm]x^n n\ge0[/mm]
aber die zweite ableitung von f(x)=lnx ist doch negativ, also [mm] -\bruch{1}{x^4}, [/mm] was war mein denkfehler?
> Gruss leduart
danke
ki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Di 19.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
>
> [mm]T_n(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^k[/mm]
> ich dachte ich habs so gemacht.....
> ob du 1/x oder [mm]x^{-1}[/mm] schreibst ist egal!
> > ein polynom hat nur positive exponenten in x also [mm]x^n n\ge0[/mm]
>
> aber die zweite ableitung von f(x)=lnx ist doch negativ,
> also [mm]-\bruch{1}{x^4},[/mm] was war mein denkfehler?
Du hast nirgends f(a), bei dir f(1) eingesetzt! sondern einfach f(x) bzw die Ableitungen !
das tolle an den TP ist doch dass man eine funktion schon recht gut bestimmen kann, wenn man sie und ihre Ableitungen an EINER Stelle kennt!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Di 19.07.2011 | | Autor: | kioto |
> Hallo
>
> >
> > [mm]T_n(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^k[/mm]
> > ich dachte ich habs so gemacht.....
> > ob du 1/x oder [mm]x^{-1}[/mm] schreibst ist egal!
> > > ein polynom hat nur positive exponenten in x also
> [mm]x^n n\ge0[/mm]
> >
> > aber die zweite ableitung von f(x)=lnx ist doch negativ,
> > also [mm]-\bruch{1}{x^4},[/mm] was war mein denkfehler?
> Du hast nirgends f(a), bei dir f(1) eingesetzt! sondern
> einfach f(x) bzw die Ableitungen !
> das tolle an den TP ist doch dass man eine funktion schon
> recht gut bestimmen kann, wenn man sie und ihre Ableitungen
> an EINER Stelle kennt!
danke!
[mm] =(x-1)-0.5(x-1)^2+0.5(x-1)^3-0.5(x-1)^4+0.5(x-1)^5
[/mm]
stimmt es jetzt?
> Gruss leduart
>
>
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> > Hallo
> >
> > >
> > > [mm]T_n(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^k[/mm]
> > > ich dachte ich habs so gemacht.....
> > > ob du 1/x oder [mm]x^{-1}[/mm] schreibst ist egal!
> > > > ein polynom hat nur positive exponenten in x also
> > [mm]x^n n\ge0[/mm]
> > >
> > > aber die zweite ableitung von f(x)=lnx ist doch negativ,
> > > also [mm]-\bruch{1}{x^4},[/mm] was war mein denkfehler?
> > Du hast nirgends f(a), bei dir f(1) eingesetzt! sondern
> > einfach f(x) bzw die Ableitungen !
> > das tolle an den TP ist doch dass man eine funktion
> schon
> > recht gut bestimmen kann, wenn man sie und ihre Ableitungen
> > an EINER Stelle kennt!
> danke!
> [mm]=(x-1)-0.5(x-1)^2+0.5(x-1)^3-0.5(x-1)^4+0.5(x-1)^5[/mm]
> stimmt es jetzt?
Im Wesentlichen geht es darum, dass du die Formel
$ [mm] T_n(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^k [/mm] $
richtig lesen und verstehen kannst. Überall, wo da ein a
drin steckt, wird es durch die Stützstelle (hier [mm] x_0=1)
[/mm]
ersetzt.
Und du musst dich nochmals genau mit den Ableitungen
[mm] f^{k}(x) [/mm] und [mm] f^{k}(a) [/mm] beschäftigen. Dass die falsch waren
(bzw. nur teilweise richtig), habe ich vorher auch leider nicht
einmal bemerkt im Schatten des viel schlimmeren anderen
Fehlers ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Di 19.07.2011 | | Autor: | kioto |
> > > Hallo
> > >
> > > >
> > > >
> [mm]T_n(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^k[/mm]
> > > > ich dachte ich habs so gemacht.....
> > > > ob du 1/x oder [mm]x^{-1}[/mm] schreibst ist egal!
> > > > > ein polynom hat nur positive exponenten in x
> also
> > > [mm]x^n n\ge0[/mm]
> > > >
> > > > aber die zweite ableitung von f(x)=lnx ist doch negativ,
> > > > also [mm]-\bruch{1}{x^4},[/mm] was war mein denkfehler?
> > > Du hast nirgends f(a), bei dir f(1) eingesetzt!
> sondern
> > > einfach f(x) bzw die Ableitungen !
> > > das tolle an den TP ist doch dass man eine funktion
> > schon
> > > recht gut bestimmen kann, wenn man sie und ihre Ableitungen
> > > an EINER Stelle kennt!
> > danke!
> > [mm]=(x-1)-0.5(x-1)^2+0.5(x-1)^3-0.5(x-1)^4+0.5(x-1)^5[/mm]
> > stimmt es jetzt?
>
>
> Im Wesentlichen geht es darum, dass du die Formel
>
> [mm]T_n(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^k[/mm]
>
> richtig lesen und verstehen kannst. Überall, wo da ein a
> drin steckt, wird es durch die Stützstelle (hier [mm]x_0=1)[/mm]
> ersetzt.
> Und du musst dich nochmals genau mit den Ableitungen
> [mm]f^{k}(x)[/mm] und [mm]f^{k}(a)[/mm] beschäftigen. Dass die falsch
> waren
> (bzw. nur teilweise richtig), habe ich vorher auch leider
> nicht
> einmal bemerkt im Schatten des viel schlimmeren anderen
> Fehlers ...
>
ich weiß........ zu viele schlimme fehler......
aber jetzt hab ichs doch richtig, oder doch nicht.........?
danke für die hilfe, trotz meiner vielen schlimmen fehlern.....
> LG Al-Chw.
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> > > [mm]=(x-1)-0.5(x-1)^2+0.5(x-1)^3-0.5(x-1)^4+0.5(x-1)^5[/mm]
> > > stimmt es jetzt?
> >
> >
> > Im Wesentlichen geht es darum, dass du die Formel
> >
> > [mm]T_n(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^k[/mm]
> >
> > richtig lesen und verstehen kannst. Überall, wo da ein a
> > drin steckt, wird es durch die Stützstelle (hier
> [mm]x_0=1)[/mm]
> > ersetzt.
> > Und du musst dich nochmals genau mit den Ableitungen
> > [mm]f^{k}(x)[/mm] und [mm]f^{k}(a)[/mm] beschäftigen. Dass die falsch
> > waren
> > (bzw. nur teilweise richtig), habe ich vorher auch
> leider
> > nicht
> > einmal bemerkt im Schatten des viel schlimmeren anderen
> > Fehlers ...
> >
> ich weiß........ zu viele schlimme fehler......
> aber jetzt hab ichs richtig, oder nicht?
Nein, das obige Ergebnis ist nicht richtig. Ich gebe dir mal
das richtige an:
$\ [mm] T_5(x)\ [/mm] =\ [mm] (x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}-\frac{(x-1)^4}{4}+\frac{(x-1)^5}{5}$
[/mm]
Nun kannst du schauen, wo dir da noch ein Fehler passiert
ist. Möglicherweise war es nur ein kleiner Irrtum (Index um
1 "verrutscht").
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:26 Mi 20.07.2011 | | Autor: | kioto |
danke danke! ich hab jetzt erst gesehen dass ich systematisch falsch abgeleitet hab.......
jetzt brauch ich noch das restglied [mm] R_5 [/mm] (x,1)
also
= [mm] \bruch{ln^{6}(\mu)}{6!}(0)^6
[/mm]
dann kommt ja nur 0 raus, macht das sinn? oder hab ich schon wieder was falsch gemacht.....
hab einfach [mm] \mu [/mm] genommen weil ich dass andere unten nicht gefunden hab
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Guten Tag !
> jetzt brauch ich noch das restglied [mm]R_5[/mm] (x,1)
> also
> = [mm]\bruch{ln^{6}(\mu)}{6!}(0)^6[/mm]
> dann kommt ja nur 0 raus, macht das sinn? oder hab ich
> schon wieder was falsch gemacht.....
>
> hab einfach [mm]\mu[/mm] genommen weil ich dass andere unten nicht
> gefunden hab
Aha, du meinst \xi : [mm]\bruch{ln^{6}(\xi)}{6!}(0)^6[/mm]
und die 6 beim ln muss in Klammern stehen
(kein Exponent, sondern 6. Ableitung): [mm]\bruch{ln^{(6)}(\xi)}{6!}(0)^6[/mm]
Die zugrunde liegende Formel wäre aber:
$\ [mm] R_{n}(x)\ [/mm] =\ [mm] \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}*(x-a)^{n+1}$ [/mm] mit $\ n=5$ und $\ a=1$, also
$\ [mm] R_{5}(x)\ [/mm] =\ [mm] \frac{f^{(6)}(\xi)}{(6)!}*(x-1)^{6}$
[/mm]
mit $\ f(x)=ln(x)$ , d.h. [mm] f^{(6)}(\xi)=-\,\frac{120}{\xi^6}
[/mm]
Zusammengesetzt ergibt dies dann:
$\ [mm] R_{5}(x)\ [/mm] =\ [mm] -\,\frac{1}{6*\xi^6}*(x-1)^{6}$
[/mm]
und insgesamt heißt dies:
$\ ln(x)\ =\ [mm] \underbrace{(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}-\frac{(x-1)^4}{4}+\frac{(x-1)^5}{5}}_{T_5(x)}\ [/mm] \ [mm] \underbrace{-\ \frac{1}{6*\xi^6}*(x-1)^{6}}_{R_{5}(x)} [/mm] $
(für ein ξ zwischen 1 und x , und natürlich x>0)
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Di 26.07.2011 | | Autor: | kioto |
hallo,
> > jetzt brauch ich noch das restglied [mm]R_5[/mm] (x,1)
> > also
> > = [mm]\bruch{ln^{6}(\mu)}{6!}(0)^6[/mm]
> > dann kommt ja nur 0 raus, macht das sinn? oder hab ich
> > schon wieder was falsch gemacht.....
> >
> > hab einfach [mm]\mu[/mm] genommen weil ich dass andere unten nicht
> > gefunden hab
>
> Aha, du meinst [mm][code]\xi[/code][/mm] :
> [mm]\bruch{ln^{6}(\xi)}{6!}(0)^6[/mm]
>
> und die 6 beim ln muss in Klammern stehen
> (kein Exponent, sondern 6. Ableitung):
> [mm]\bruch{ln^{(6)}(\xi)}{6!}(0)^6[/mm]
>
> Die zugrunde liegende Formel wäre aber:
>
> [mm]\ R_{n}(x)\ =\ \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}*(x-a)^{n+1}[/mm]
> mit [mm]\ n=5[/mm] und [mm]\ a=1[/mm], also
>
> [mm]\ R_{5}(x)\ =\ \frac{f^{(6)}(\xi)}{(6)!}*(x-1)^{6}[/mm]
>
> mit [mm]\ f(x)=ln(x)[/mm] , d.h. [mm]f^{(6)}(\xi)=-\,\frac{120}{\xi^6}[/mm]
>
> Zusammengesetzt ergibt dies dann:
>
> [mm]\ R_{5}(x)\ =\ -\,\frac{1}{6*\xi^6}*(x-1)^{6}[/mm]
>
> und insgesamt heißt dies:
>
> [mm]\ ln(x)\ =\ \underbrace{(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}-\frac{(x-1)^4}{4}+\frac{(x-1)^5}{5}}_{T_5(x)}\ \ \underbrace{-\ \frac{1}{6*\xi^6}*(x-1)^{6}}_{R_{5}(x)}[/mm]
ich hab die aufgabe nochmal gerechnet, versteh aber nicht, wie ich von [mm] f^{(6)}(\xi)=-\bruch{120}{\xi^6} [/mm] mach [mm] -\bruch{1}{\xi^6} [/mm] kommt, [mm] \xi [/mm] steht doch neben f, also oberhalb vom bruchstrich, wieso ist das dann jetzt unten?
> (für ein ξ zwischen 1 und x , und natürlich x>0)
>
> LG Al-Chw.
>
danke!
ki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Di 26.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> hallo,
> > > jetzt brauch ich noch das restglied [mm]R_5[/mm] (x,1)
> > > also
> > > = [mm]\bruch{ln^{6}(\mu)}{6!}(0)^6[/mm]
> > > dann kommt ja nur 0 raus, macht das sinn? oder hab
> ich
> > > schon wieder was falsch gemacht.....
> > >
> > > hab einfach [mm]\mu[/mm] genommen weil ich dass andere unten nicht
> > > gefunden hab
> >
> > Aha, du meinst [mm][code]\xi[/code][/mm] :
> > [mm]\bruch{ln^{6}(\xi)}{6!}(0)^6[/mm]
> >
> > und die 6 beim ln muss in Klammern stehen
> > (kein Exponent, sondern 6. Ableitung):
> > [mm]\bruch{ln^{(6)}(\xi)}{6!}(0)^6[/mm]
> >
> > Die zugrunde liegende Formel wäre aber:
> >
> > [mm]\ R_{n}(x)\ =\ \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}*(x-a)^{n+1}[/mm]
> > mit [mm]\ n=5[/mm] und [mm]\ a=1[/mm], also
> >
> > [mm]\ R_{5}(x)\ =\ \frac{f^{(6)}(\xi)}{(6)!}*(x-1)^{6}[/mm]
> >
> > mit [mm]\ f(x)=ln(x)[/mm] , d.h. [mm]f^{(6)}(\xi)=-\,\frac{120}{\xi^6}[/mm]
> >
> > Zusammengesetzt ergibt dies dann:
> >
> > [mm]\ R_{5}(x)\ =\ -\,\frac{1}{6*\xi^6}*(x-1)^{6}[/mm]
> >
> > und insgesamt heißt dies:
> >
> > [mm]\ ln(x)\ =\ \underbrace{(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}-\frac{(x-1)^4}{4}+\frac{(x-1)^5}{5}}_{T_5(x)}\ \ \underbrace{-\ \frac{1}{6*\xi^6}*(x-1)^{6}}_{R_{5}(x)}[/mm]
>
> ich hab die aufgabe nochmal gerechnet, versteh aber nicht,
> wie ich von [mm]f^{(6)}(\xi)=-\bruch{120}{\xi^6}[/mm] mach
> [mm]-\bruch{1}{\xi^6}[/mm] kommt, [mm]\xi[/mm] steht doch neben f, also
> oberhalb vom bruchstrich, wieso ist das dann jetzt unten?
Was ist ? Es ist doch
$ [mm] f^{(6)}(\xi)=-\,\frac{120}{\xi^6} [/mm] $
Das mußt Du noch durch 6! teilen und dann haben wir
$- [mm] \frac{1}{6*\xi^6}$
[/mm]
FRED
> > (für ein ξ zwischen 1 und x , und natürlich x>0)
> >
> > LG Al-Chw.
> >
> danke!
> ki
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Di 26.07.2011 | | Autor: | kioto |
ich mein, das erste teil der formel ist ja [mm] \bruch{f^{(6)}(\xi)}{(6!)}, [/mm] das [mm] \xi [/mm] ist doch oben, die 6. ableitung mit a=1 ist ja -120, dann wär doch [mm] \bruch{-120(\xi)}{(6!)}, [/mm] und nicht [mm] \bruch{1}{(6!\xi)}, [/mm] was mache ich denn falsch?
> > > Die zugrunde liegende Formel wäre aber:
> > >
> > > [mm]\ R_{n}(x)\ =\ \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}*(x-a)^{n+1}[/mm]
> > > mit [mm]\ n=5[/mm] und [mm]\ a=1[/mm], also
> > >
> > > [mm]\ R_{5}(x)\ =\ \frac{f^{(6)}(\xi)}{(6)!}*(x-1)^{6}[/mm]
> >
> >
> > > mit [mm]\ f(x)=ln(x)[/mm] , d.h. [mm]f^{(6)}(\xi)=-\,\frac{120}{\xi^6}[/mm]
> > >
> > > Zusammengesetzt ergibt dies dann:
> > >
> > > [mm]\ R_{5}(x)\ =\ -\,\frac{1}{6*\xi^6}*(x-1)^{6}[/mm]
> > >
> > > und insgesamt heißt dies:
> > >
> > > [mm]\ ln(x)\ =\ \underbrace{(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}-\frac{(x-1)^4}{4}+\frac{(x-1)^5}{5}}_{T_5(x)}\ \ \underbrace{-\ \frac{1}{6*\xi^6}*(x-1)^{6}}_{R_{5}(x)}[/mm]
>
> >
> > ich hab die aufgabe nochmal gerechnet, versteh aber nicht,
> > wie ich von [mm]f^{(6)}(\xi)=-\bruch{120}{\xi^6}[/mm] mach
> > [mm]-\bruch{1}{\xi^6}[/mm] kommt, [mm]\xi[/mm] steht doch neben f, also
> > oberhalb vom bruchstrich, wieso ist das dann jetzt unten?
>
>
> Was ist ? Es ist doch
>
> [mm]f^{(6)}(\xi)=-\,\frac{120}{\xi^6}[/mm]
>
> Das mußt Du noch durch 6! teilen und dann haben wir
>
>
> [mm]- \frac{1}{6*\xi^6}[/mm]
>
> FRED
>
>
> > > (für ein ξ zwischen 1 und x , und natürlich x>0)
danke
ki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Di 26.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> ich mein, das erste teil der formel ist ja
> [mm]\bruch{f^{(6)}(\xi)}{(6!)},[/mm] das [mm]\xi[/mm] ist doch oben, die 6.
> ableitung mit a=1 ist ja -120, dann wär doch
> [mm]\bruch{-120(\xi)}{(6!)},[/mm] und nicht [mm]\bruch{1}{(6!\xi)},[/mm] was
> mache ich denn falsch?
Ich glaub es nicht. Was bedeutet denn [mm] f^{(6)}(\xi) [/mm] ???
Das ist die 6. Ableitung von f an der Stelle [mm] \xi. [/mm]
Anderes Beispiel: f(x) = sin(x). Dann ist [mm] f^{(4)}(\xi)= cos(\xi)
[/mm]
Edit: es ist natürlich: [mm] f^{(4)}(\xi)= sin(\xi)
[/mm]
FRED
> > > > Die zugrunde liegende Formel wäre aber:
> > > >
> > > > [mm]\ R_{n}(x)\ =\ \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}*(x-a)^{n+1}[/mm]
> > > > mit [mm]\ n=5[/mm] und [mm]\ a=1[/mm], also
> > > >
> > > > [mm]\ R_{5}(x)\ =\ \frac{f^{(6)}(\xi)}{(6)!}*(x-1)^{6}[/mm]
> >
> >
> > >
> > > > mit [mm]\ f(x)=ln(x)[/mm] , d.h. [mm]f^{(6)}(\xi)=-\,\frac{120}{\xi^6}[/mm]
> > > >
> > > > Zusammengesetzt ergibt dies dann:
> > > >
> > > > [mm]\ R_{5}(x)\ =\ -\,\frac{1}{6*\xi^6}*(x-1)^{6}[/mm]
> > >
> >
> > > > und insgesamt heißt dies:
> > > >
> > > > [mm]\ ln(x)\ =\ \underbrace{(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}-\frac{(x-1)^4}{4}+\frac{(x-1)^5}{5}}_{T_5(x)}\ \ \underbrace{-\ \frac{1}{6*\xi^6}*(x-1)^{6}}_{R_{5}(x)}[/mm]
>
> >
> > >
> > > ich hab die aufgabe nochmal gerechnet, versteh aber nicht,
> > > wie ich von [mm]f^{(6)}(\xi)=-\bruch{120}{\xi^6}[/mm] mach
> > > [mm]-\bruch{1}{\xi^6}[/mm] kommt, [mm]\xi[/mm] steht doch neben f, also
> > > oberhalb vom bruchstrich, wieso ist das dann jetzt unten?
> >
> >
> > Was ist ? Es ist doch
> >
> > [mm]f^{(6)}(\xi)=-\,\frac{120}{\xi^6}[/mm]
> >
> > Das mußt Du noch durch 6! teilen und dann haben wir
> >
> >
> > [mm]- \frac{1}{6*\xi^6}[/mm]
> >
> > FRED
> >
> >
> > > > (für ein ξ zwischen 1 und x , und natürlich x>0)
> danke
> ki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Di 26.07.2011 | | Autor: | kioto |
naja, eigentlich hab ich das nicht gefragt, aber jetzt siehe ichs:
zuerst [mm] \bruch{120}{6!} [/mm] kürzen dann siehts so aus
danke trotzdem
ki
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> Ich glaub es nicht. Was bedeutet denn [mm]f^{(6)}(\xi)[/mm] ???
>
> Das ist die 6. Ableitung von f an der Stelle [mm]\xi.[/mm]
>
> Anderes Beispiel: f(x) = sin(x). Dann ist [mm]f^{(4)}(\xi)= \red{cos(\xi)}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
... ich bin mir aber zu 168.7% sicher, dass du [mm] sin(\xi) [/mm] gemeint hast
(oder nicht die 4. Ableitung ...) 
LG Al
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