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| Aufgabe | Ein stoff besteht aus 72 % von R1 ,18% AUS r2 und 10 % aus r3.
aus den verschiedenen Teilen A;B;C soll mit möglichst wenig Zugabe von D eine Tonne des Stoffes hergestellt werden.
Lösen sie das Problem mit einem LGS UND deuten sie geometrisch!
A B C D
R1 70% 74% 78% 0%
R2 22% 18% 15% 0%
R3 8% 8% 7% 100% |
SO DURCH UMFORMEN komme ich auf die Gleichungen
x1+x2+x3+x4= 1
70x1+74x2+78x3+0x4=72
22x1+18x2+15x3+0=18
8x1+8x2+7x3+100x4=10
daraus folgt die erweiterte Koeefizientenmatrix
1 1 1 1 = 1
70 74 78 0 =-2
22 18 15 0 =18
8 8 7 100 =10
durch umformung erhältman:
1 1 1 1 = 1
0 -4 -8 70 =-2
0 0 -1 92 =2
0 0 0 20 =14
so und damit für x1= 49.95 x2=-112,05 x3=62,4
und x4= 0,7
okay und nun ist ja die aufgabenstellung eine Tonne des stoffes aus möglichst wenig vom Stoff D herzustellen.....wie lös ich das nun???kann mir das wer erklären??
und hmm geometrisch deuten???was gibt es da geometrisch zu deuten?????
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, alex,
> Ein stoff besteht aus 72 % von R1 ,18% AUS r2 und 10% aus r3.
> aus den verschiedenen Teilen A;B;C soll mit möglichst
> wenig Zugabe von D eine Tonne des Stoffes hergestellt
> werden.
> Lösen sie das Problem mit einem LGS UND deuten sie
> geometrisch!
> A B C D
> R1 70% 74% 78% 0%
> R2 22% 18% 15% 0%
> R3 8% 8% 7% 100%
> SO DURCH UMFORMEN komme ich auf die Gleichungen
>
> x1+x2+x3+x4= 1
> 70x1+74x2+78x3+0x4=72
> 22x1+18x2+15x3+0=18
> 8x1+8x2+7x3+100x4=10
>
> daraus folgt die erweiterte Koeefizientenmatrix
>
> 1 1 1 1 = 1
> 70 74 78 0 =-2 <----HIER STEHT ZUNÄCHST NOCH 72; ÄNDERT JEDOCH NICHTS!
> 22 18 15 0 =18
> 8 8 7 100 =10
>
> durch umformung erhältman:
>
> 1 1 1 1 = 1
> 0 -4 -8 70 =-2
> 0 0 -1 92 =2
> 0 0 0 20 =14
Die letzte Zeile ist FALSCH!
Richtig wäre, dass diese Zeile mit der vorletzten IDENTISCH ist, sodass man am Ende eine Nullzeile erhält.
Ergebnis: Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen!
Am besten, Du rechnest diese Lösungen zunächst mal (in Abhängigkeit von [mm] x_{4} [/mm] = d) aus!
Dann sehen wir weiter!
mfG!
Zwerglein
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okay ich habe als Lösung raus x1 = -1.5+73,5d
x2=4,5-166,5d x3=-2+92d x4=d herraus.......
aber wir sollen dies geometrisch deuten......kann mir da einer weiter helfen,was gibt es da geometrich zu deuten......und die aufgabe war ja mit möglichst wenig von D eine T von dem stoff herzustellen,wie erkenn ich da die lösung am ergebniss?
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Deine Lösung stimmt immer noch nicht.
Die Lösungsmatrix sieht so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 4 & -35 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -92 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
sei nun [mm] x_{4}=d [/mm] (ich hätte ja traditionell t genommen, aber egal)
Dann ist
[mm] x_{3}=92d-3
[/mm]
[mm] x_{2}=\bruch{1}{2}*(9-333d)
[/mm]
[mm] x_{1}=\bruch{1}{2}*(-3+147d)
[/mm]
Alle [mm] x_{i} [/mm] müssen aber positiv sein!
(Hier auch die geometrische Deutung - drei Geraden als Funktionen [mm] x_{i}(d); [/mm] was ist das kleinste d, so dass alle F'nswerte [mm] \ge0 [/mm] sind?)
I) aus [mm] x_{2} [/mm] folgt: [mm] d\le\bruch{1}{37}
[/mm]
II) aus [mm] x_{3} [/mm] folgt: [mm] d\ge\bruch{1}{46}
[/mm]
III) aus [mm] x_{4} [/mm] folgt: [mm] d\le\bruch{1}{49}
[/mm]
Die letzte Bedingung ist schwächer als II; III entfällt daher.
Es gilt also:
[mm] \bruch{1}{46} \le [/mm] d [mm] \le \bruch{1}{37}
[/mm]
Da d aber so klein wie möglich sein soll, gilt:
[mm] \bruch{1}{46} [/mm] = d
Da diese Angabe nach Deinem Ansatz eine Lösung in Prozent angibt, wäre ggf. noch umzurechnen - man braucht ca. 21,739 kg D.
Die Aufgabe ist leichter zu verstehen, wenn R1, R2, R3, A, B, C, D Namen erhalten.
Es soll Brückenbeton gemischt werden. Die Ausgangsstoffe Sand (R1) und Zement (R2) sind aber nicht pur zu erhalten, nur Wasser (R3) kann beliebig bezogen werden, muss aber in Eimern herangetragen werden. Benötigt wird eine Tonne Brückenbeton, der sich wie folgt zusammensetzt: 72% Sand, 18% Zement, 10% Wasser.
Zur Verfügung stehen beliebige Mengen folgender angerührter Fertigmischungen, unter Angabe ihrer Zusammensetzung:
A Fundamentbeton - 70% Sand, 22% Zement, 8% Wasser
B Maurermörtel - 74% Sand, 18% Zement, 8% Wasser
C Fugenmörtel - 78%Sand, 15% Zement, 7% Wasser
und, wie schon gesagt D, reines Wasser (0% R1=Sand), 0% R2=Zement, 100% R3=Wasser).
Wenn eine Tonne Brückenbeton benötigt wird, welche Anteile von Fundamentbeton A, Maurermörtel B und Fugenmörtel C sind dann zu verwenden, sofern die noch zuzufügende Wassermenge D wegen der nötigen Beschaffungsarbeit so niedrig wie möglich sein soll?
Falls Du keinen vegetarischen Ekel verspürst, könntest Du auch als Ziel eine Salami aus Muskelfleisch (R1), Fett (R2) und Bindegewebe (R3) annehmen, so dass die Zufügung an teuren Gewürzen (R4) minimal wird. Dabei stehen die Zutaten nicht pur zur Verfügung, sondern nur als Thüringer Mett (A), Bratwurstbrät (B) und ungepökeltem, aber vorgewürztem Eisbein (C). In welchem Mengenverhältnis sind die dann zu verwenden? Und wie wenig Gewürze (D) brauche ich?
Martin
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du sagtest das aus x2 [mm] d\le [/mm] 1/37 folgt
aus x3 d [mm] \ge [/mm] 1/46
und aus x4 [mm] d\le [/mm] 1/49
Und das dadurch gilt [mm] 1/46\le [/mm] a [mm] \ge [/mm] 1/37,und das daraus da d so kleinw ie möglich sein soll ,3/46 herauskommt .........aber wie kommst du eigendlich für x2 und x3 und x4 auf diese brüche?????? also das x2 [mm] d\le [/mm] 1/37 IST ?????den schritt verstehe ich nicht okay das d größer als null sein muss und ziemlich klein sein muss ,ja das sind die bedingungen aber wie man dies mathematisch so formulierst wie du es geschildert hasst....dies verstehe ich nicht.....
wär sehr freundlich wenn du mir da weiter helfen könntest.,
danke
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Du hast Recht, das kann man gar nicht verstehen. Mein Ergebnis ist falsch abgetippt; war wohl doch schon zu spät gestern. Sorry.
Richtig war daran, dass jedes [mm] x_{i}\ge0 [/mm] sein muss.
Wenn also gilt
[mm] x_{3}=92d-2 [/mm] (wie in der Matrix, also nicht -3)
und [mm] x_{3}\ge0,
[/mm]
dann gilt [mm] x_{3}=92d-2\ge0
[/mm]
Vergiss [mm] x_{3} [/mm] vorerst und forme die Ungleichung um.
Es ergibt sich aus den Aussagen über [mm] x_{3}, [/mm] dass [mm] d\ge\bruch{1}{46}.
[/mm]
Genauso bei den anderen beiden, und da stimmte in meinem Beitrag der letzte Index nicht.
Aus den beiden Aussagen über [mm] x_{2} [/mm] folgt [mm] d\le\bruch{1}{37},
[/mm]
aus denen über [mm] x_{1} [/mm] (!) folgt [mm] d\ge\bruch{1}{49} [/mm] - und nicht [mm] \le
[/mm]
Gesucht ist das kleinstmögliche d, das alle drei Ungleichungen erfüllt, und das ist [mm] d=\bruch{1}{46}, [/mm] per definitionem zugleich [mm] x_{4}.
[/mm]
...und dafür kann man dann [mm] x_{1}, x_{2}, x_{3} [/mm] ausrechnen; war aber gar nicht gefragt.
Sorry nochmal für das Durcheinander; ich brauch meine Konzentration noch mehr für das Eintippen von Formeln als für ihre Aussage. So müsste es jetzt aber endlich mit meinen handschriftlichen Notizen übereinstimmen.
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ôkay das stimmt um x1 und soweiter zu berechnen muss ich doch d= 1/46 in die gleichungen für x1,x2 usw einstetzen und bekomme heraus :
x1 = 0,09783
x2=0,8804
x3=0
x4=1/46
gut aber das sind ja % angaben wie kann ich diese in tonnen bzw. kg angeben???
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Die vier [mm] x_{i} [/mm] müssen sich zu 1 addieren (deine erste Zeile der LGS-Matrix). Tun sie auch. Dabei steht die letzte 1 für für 1 Tonne.
Von [mm] x_{4} [/mm] brauchst Du also z.B. [mm] \bruch{1}{46}t.
[/mm]
Eine Tonne hat ja 1000kg...
Komm, echt, pack mal das Brett vorm Kopf weg, das brauchst Du nicht mehr. Wer ein lineares Gleichungssystem aus so einer Aufgabe aufstellen kann, kann das hier schon lange.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 Do 30.10.2008 | | Autor: | alex12456 |
.............ich bin auch müde ^^
hasst aber recht habe es gerade gemerkt........
aufjedenfallvielen dank!!!
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