tn cauchyfolge dann auch sn CF < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 So 21.04.2013 | | Autor: | dietrina |
| Aufgabe | (an)n [mm] \in \IN [/mm] und (bn)n [mm] \in \IN [/mm] seien Folgen, dabei an [mm] \le [/mm] bn für all n und sn:= [mm] \summe_{k=1}^{n}ak [/mm] tn:= [mm] \summe_{k=1}^{n}bk [/mm] .
Beweisen Sie: wenn (tn) Cauchyfolge ist, dann auch (sn). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo ihr Lieben, ich verzweifel hier gerade. Ich versteh das einfach gar nicht. Kann das irgendwer so erklären, dass auch Leute ohne Ahnung von Reihen und Folgen das verstehen? Hab schon von zwei Freunden die Lösung gesehen, aber sehe da keinen Sinn dahinter.
Ich weiß das ich da irgendwas abschätzen muss. Aber mit dem abschätzen kann ich gar nichts anfangen.
Bitte helft mir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 So 21.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> (an)n [mm]\in \IN[/mm] und (bn)n [mm]\in \IN[/mm] seien Folgen, dabei an [mm]\le[/mm]
> bn für all n und sn:= [mm]\summe_{k=1}^{n}ak[/mm] tn:=
> [mm]%5Csumme_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7Dbk[/mm] .
>
> Beweisen Sie: wenn (tn) Cauchyfolge ist, dann auch (sn).
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo ihr Lieben, ich verzweifel hier gerade. Ich versteh
> das einfach gar nicht. Kann das irgendwer so erklären,
> dass auch Leute ohne Ahnung von Reihen und Folgen das
> verstehen?
Nun, du solltest schon wissen, was eine Cauchyfolge ist.
Du weisst, dass [mm] t_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}b_{k} [/mm] eine solche Folge ist. Was bedeutet das?
Außerdem weisst du, dass
[mm] s_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}\stackrel{a_k
Was bedeutet das wiederum für [mm] s_n?
[/mm]
> Hab schon von zwei Freunden die Lösung gesehen,
> aber sehe da keinen Sinn dahinter.
Kannst du die Lösung evtl mal skizzieren, evtl sogar in eigenen Worten?
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> Ich weiß das ich da irgendwas abschätzen muss. Aber mit
> dem abschätzen kann ich gar nichts anfangen.
>
> Bitte helft mir
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 So 21.04.2013 | | Autor: | dietrina |
Wir haben als Ansatz in unsere Übung den Tipp bekommen die Definition zu nutzen. Also haben wir damit begonnen
Voraussetzung: [mm] |an|\le|bn| [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
sn:= (summenzeichen) tn:= (summenzeichen)
Zu zeigen: wenn tn CF dannn auch sn
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0 ObdA n>m
|sn-sm|= | [mm] \summe_{k=1}^{n}ak [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{m}ak [/mm] |=| [mm] \summe_{k=m+1}^{n}ak [/mm] | [mm] \le [/mm] ..... dann sollen wir an der stelle abschätzen (was ich nicht kann, da ich das noch nie gemacht habe und ich mir darunter nichts vorstellen kann) und die Voraussetzung verwenden. Das Ganze soll dann < [mm] \varepsilon [/mm] sein.
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Hallo,
irgendetwas bei der Aufgabe stimmt noch nicht.
Wenn du die Summen
[mm] $s_n [/mm] := [mm] \sum_{k=0}^{n}a_n$, $t_n [/mm] := [mm] \sum_{k=0}^{n}b_n$
[/mm]
hast mit [mm] $|a_n| \le |b_n|$, [/mm] und [mm] $(t_n)$ [/mm] eine Cauchy-Folge ist, dann kann [mm] $(s_n)$ [/mm] auch keine Cauchy-Folge sein.
Beispiel: [mm] $b_n [/mm] = [mm] (-1)^{n}/n$, $a_n [/mm] = 1/n$.
Lautet die Voraussetzung vielleicht [mm] $|a_n| \le b_n$ [/mm] ??
> Wir haben als Ansatz in unsere Übung den Tipp bekommen die
> Definition zu nutzen. Also haben wir damit begonnen
>
> Voraussetzung: [mm]|an|\le|bn|[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
>
> sn:= (summenzeichen) tn:= (summenzeichen)
>
> Zu zeigen: wenn tn CF dannn auch sn
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] >0 ObdA n>m
>
> |sn-sm|= | [mm]\summe_{k=1}^{n}ak[/mm] - [mm]\summe_{k=1}^{m}ak[/mm] |=|
> [mm]\summe_{k=m+1}^{n}ak[/mm] | [mm]\le[/mm] ..... dann sollen wir an der
> stelle abschätzen
Was hier genau abgeschätzt werden kann ist erst klar, wenn die Voraussetzungen klar sind.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 So 21.04.2013 | | Autor: | dietrina |
ja die Voraussetzung ist so wie du sie formuliert hast. Habe mich vertippt.
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Hallo,
Dann machen wir da weiter, wo du warst: Für $n > m$ gilt
[mm] $\left|s_n-s_m\right| [/mm] = [mm] \left|\sum_{k=0}^{n}a_k - \sum_{k=0}^{m}a_k\right| [/mm] = [mm] \left|\sum_{k=m+1}^{n}a_k\right|$
[/mm]
Das wichtigste Werkzeug in der Analysis zum Abschätzen ist die Dreiecksungleichung! Diese sagt: $|a+b| [mm] \le [/mm] |a|+|b|$. Es geht also so weiter:
[mm] $\le \sum_{k=m+1}^{n}|a_k|$
[/mm]
Nun kannst du die Voraussetzung [mm] $|a_n| \le b_n$ [/mm] benutzen!
[mm] $\le \sum_{k=m+1}^{n}b_k$
[/mm]
Aus der Voraussetzung folgt auch, dass alle [mm] $b_n \ge |a_n| \ge [/mm] 0$ sind. Daher:
[mm] $\le \left|\sum_{k=m+1}^{n}b_k\right|$
[/mm]
(Der Betrag macht nichts, weil eh alle Zahlen die aufsummiert werden positiv sind, damit auch die Summe). Zur Motivation: Wir haben durch die [mm] b_n [/mm] nach oben abgeschätzt, weil wir über diese was wissen. Im Beweis musst du immer deine Unbekannten Variablen durch Bekanntes ersetzen, worüber du was aussagen kannst.
Weil [mm] $(t_n)$ [/mm] eine Cauchy-Folge ist, gilt: Für beliebiges [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gibt es ein $N [mm] \in \IN$, [/mm] sodass für alle $n > m$ gilt:
[mm] $\left|t_n - t_m\right| [/mm] = [mm] \left|\sum_{k=m+1}^{n}b_k\right| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Mit obigen Rechnungen folgt für alle $n > m [mm] \ge [/mm] N$:
[mm] $\left|s_n-s_m\right| \le \left|\sum_{k=m+1}^{n}b_k\right| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Damit ist auch [mm] $(s_n)$ [/mm] eine Cauchy-Folge.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 So 21.04.2013 | | Autor: | dietrina |
Vielen Dank. Das macht Sinn, ich würde nur nie von selbst drauf kommen.
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