topol. ringe, inverser limes < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Mi 30.11.2011 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | 1) Definiere für [mm] m\in \IN
[/mm]
[mm] \IZ_{m}:=\limes_{n}(\IZ/m^{n}\IZ)
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \IZ_{m} [/mm] und [mm] \produkt_{p|m}\IZ_{p} [/mm] isomorph sind als topologische Ringe.
2) Sei [mm] \overset{=}{\IZ}:=\limes_{n}(\IZ/n\IZ) [/mm] der sogenannte Prüfering. Zeigen Sie, dass [mm] \overset{=}{\IZ} [/mm] isomorph ist zu [mm] \produkt_{p: prim}\IZ_{p} [/mm] |
Hallo,
also erstens: "isomorph als topologische Ringe" - heißt das, man muss einen Isomorphismus hinschreiben, der auch ein Homöomorphismus ist? Nun gut, doch dafür braucht man wohl eine Topologie auf den Ringen und ich weiß nicht wie die aussieht...
Kann man die Aussage vielleicht über die Anzahl Primfaktoren zeigen? Ist m selbst prim, so ist sie trivial. Aber wie soll man da den Induktionsschritt machen? Wäre [mm] \limes_{n}(\IZ/(m*p)^{n}\IZ) \cong \limes_{n}(\IZ/m^{n}\IZ)\times \limes_{n}(\IZ/p^{n}\IZ) [/mm] so wäre man doch fertig, aber warum sollte das so sein?
Zur zweiten Aufgabe: Nun, da muss man wohl anders herangehen...
Irgendwie versteh ich auch noch nicht so ganz, wie dieser Prüferring so aussieht :/
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Do 01.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> 1) Definiere für [mm]m\in \IN[/mm]
>
> [mm]\IZ_{m}:=\limes_{n}(\IZ/m^{n}\IZ)[/mm]
> Zeigen Sie, dass [mm]\IZ_{m}[/mm] und [mm]\produkt_{p|m}\IZ_{p}[/mm]
> isomorph sind als topologische Ringe.
>
> 2) Sei [mm]\overset{=}{\IZ}:=\limes_{n}(\IZ/n\IZ)[/mm] der
> sogenannte Prüfering. Zeigen Sie, dass [mm]\overset{=}{\IZ}[/mm]
> isomorph ist zu [mm]\produkt_{p: prim}\IZ_{p}[/mm]
>
> also erstens: "isomorph als topologische Ringe" - heißt
> das, man muss einen Isomorphismus hinschreiben, der auch
> ein Homöomorphismus ist?
Genau.
> Nun gut, doch dafür braucht man
> wohl eine Topologie auf den Ringen und ich weiß nicht wie
> die aussieht...
Nun, auf [mm] $\IZ/m^n\IZ$ [/mm] etc. hast du die diskrete Topologie, d.h. jede Teilmenge ist offen.
Jetzt ist [mm] $\varprojlim_n R_n$ [/mm] definiert (also: eine Moeglichkeit das zu tun geht so  ) als Menge aller Folgen [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit [mm] $a_n \in R_n$ [/mm] mit einer bestimmten Eigenschaft [mm] ($\pi_n(a_{n_1}) [/mm] = [mm] a_n$, [/mm] wobei [mm] $\pi_n [/mm] : [mm] R_{n+1} \to R_n$); [/mm] der Produktraum [mm] $\prod_n R_n$ [/mm] hat eine natuerliche Topologie (![[]](/images/popup.gif) Produkttopologie), und [mm] $\varprojlim_n R_n$ [/mm] hat als Teilmenge davon die Spurtopologie. Wenn ich mich richtig erinnere, hast du auf [mm] $\varprojlim_n R_n$ [/mm] die Initialtopologie, also die groebste Topologie so das die Abbildungen [mm] $\varprojlim_n R_n \to R_i$ [/mm] fuer alle $i$ stetig sind.
Hier hat [mm] $R_i [/mm] = [mm] \IZ/m^i\IZ$ [/mm] wieder die diskrete Topologie: die Topologie auf [mm] $\varprojlim_n \IZ/m^n\IZ$ [/mm] wird also erzeugt von Mengen von Folgen, von denen die ersten $k$ Folgenglieder vorgegeben sind (wobei $k$ nur von dieser konkreten Menge abhaengt) und danach alle beliebigen Werte stehen duerfen. Der Durchschnitt zweier solcher Erzeuger ist ebenfalls vom gleichen Typ, und jede offene Menge ist nun beliebige Vereinigung von solchen Grundmengen.
> Kann man die Aussage vielleicht über die Anzahl
> Primfaktoren zeigen? Ist m selbst prim, so ist sie trivial.
> Aber wie soll man da den Induktionsschritt machen? Wäre
> [mm]\limes_{n}(\IZ/(m*p)^{n}\IZ) \cong \limes_{n}(\IZ/m^{n}\IZ)\times \limes_{n}(\IZ/p^{n}\IZ)[/mm]
> so wäre man doch fertig, aber warum sollte das so sein?
Du musst die universelle Eigenschaft von [mm] $\varprojlim$ [/mm] verwenden. Wenn du zu jedem $n [mm] \in \IN$ [/mm] einen Homomorphismus [mm] $\varphi_n [/mm] : [mm] R_n \to S_n$ [/mm] gegeben hast, der mit den Projektionen [mm] $\pi_n [/mm] : [mm] R_{n+1} \to R_n$ [/mm] und [mm] $\hat{\pi}_n [/mm] : [mm] S_{n+1} \to S_n$ [/mm] kompatibel ist (d.h. es gilt [mm] $\hat{\pi}_n \circ \varphi_{n+1} [/mm] = [mm] \varphi_n \circ \pi_n$ [/mm] fuer alle $n$), dann erhaelst du einen eindeutig bestimmten Homomorphismus [mm] $\varphi [/mm] := [mm] \varprojlim \varphi_n$ [/mm] mit [mm] $\varphi [/mm] : [mm] \varprojlim R_n \to \varprojlim S_n$ [/mm] (er ist eindeutig, da er vertraeglich mit [mm] $\varprojlim R_n \to R_i$ [/mm] und [mm] $\varprojlim S_n \to S_i$ [/mm] und [mm] $\varphi_i [/mm] : [mm] R_i \to S_i$ [/mm] ist: das Diagramm wo man alle diese vier Homomorphismen einzeichnet fuer jedes $i$ kommutiert). Dieser ist automatisch stetig, falls alle [mm] $\varphi_n$ [/mm] stetig sind. (Da hier die [mm] $R_n$ [/mm] und [mm] $S_n$ [/mm] mit der diskreten Topologie versehen sind, sind alle Abbildungen [mm] $R_n \to S_n$ [/mm] stetig, womit [mm] $\varphi$ [/mm] ebenfalls stetig ist.)
Dies kannst du jetzt ausnutzen, um [mm] $\IZ_m \to \prod_{i=1}^k \IZ_{p_i^{e_i}}$ [/mm] zu konstruieren, falls $n = [mm] \prod_{i=1}^k p_i^{e_i}$ [/mm] die Primfaktorzerlegung von $n$ ist. Als naechstes kannst du [mm] $\IZ_{p_i^{e_i}} \cong \IZ_{p_i}$ [/mm] zeigen (ebenfalls topologisch), und dann bekommst du den gesuchten Isomorphismus.
> Zur zweiten Aufgabe: Nun, da muss man wohl anders
> herangehen...
> Irgendwie versteh ich auch noch nicht so ganz, wie dieser
> Prüferring so aussieht :/
Ziemlich haesslich, irgendwie
Du kannst ihn dir Vorstellen als die Menge aller ganzzahligen Folgen [mm] $(a_n)_n$, [/mm] wobei [mm] $a_n \in \IZ/n\IZ$ [/mm] ist und wo fuer alle $n, m$ mit $n [mm] \mid [/mm] m$ gilt [mm] $a_m \equiv a_n \pmod{n}$.
[/mm]
Bei dieser Aufgabe hilft es evtl., [mm] $\IZ_p$ [/mm] anders darzustellen. Fuer eine Zahl $n [mm] \in \IN$ [/mm] sei [mm] $\nu_p(n)$ [/mm] der hoechste Exponent mit [mm] $p^{\nu_p(n)} \mid [/mm] n$. Definiere nun [mm] $R_{p,n} [/mm] := [mm] \IZ/p^{\nu_p(n)}\IZ$, [/mm] und betrachte [mm] $\varprojlim_n R_{p,n}$, [/mm] wobei es nur Abbildungen [mm] $\pi [/mm] : [mm] R_{p,m} \to R_{p,n}$ [/mm] gibt falls $n [mm] \mid [/mm] m$ ist. Zeige zuerst, dass [mm] $\varprojlim_n R_{p,n} \cong \IZ_p$ [/mm] ist.
Als naechstes beachte [mm] $\IZ/n\IZ \cong \prod_p R_{p,n}$ [/mm] fuer alle $n$. Ist $n [mm] \mid [/mm] m$, so entspricht die Abbildung [mm] $\IZ/m\IZ \to \IZ/n\IZ$ [/mm] der Abbildung [mm] $\prod_p R_{p,m} \to \prod_p R_{p,n}$. [/mm] Nimmst du nun den inversen Limes, so bekommst du einen Isomorphismus [mm] $\varprojlim \IZ/n\IZ \to \varprojlim \prod_p R_{p,m}$. [/mm] Du musst jetzt noch zeigen, dass [mm] $\varprojlim \prod_p R_{p,m} \cong \prod_p \varprojlim R_{p,m}$ [/mm] ist, dann bekommst du durch Zusammensetzen aller Isomorphien den gesuchten Isomorphismus.
LG Felix
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