topologischer Raum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei (X, [mm] \mathcal{X}) [/mm] ein topologischer Raum. Beweise die folgenden Formeln für eine Familie [mm] (A_{i})_{i \in I} [/mm] von Teilmengen von X:
[mm] \bigcup_{i \in I} A_{i} \circ \subset (\bigcup_{i \in I} A_{i}) \circ [/mm] ,
[mm] (\bigcap_{i \in I} A_{i}) \circ \subset \bigcap_{i \in I} A_{i} \circ [/mm]
Gin Beispiele an, in denen die auftretenden Mengeninklusionen echt sind. |
Hier habe ich wieder ein ähnliches Problem, ich weiß nicht, wie ich hier vorgehen soll?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Mi 14.11.2012 | | Autor: | huzein |
Zur ersten Inklusion:
nehme ein $x$ aus der ersten Menge und zeige, dass es auch in der zweiten Menge enthalten ist. Wenn [mm] $x\in\bigcup_{i=0} A^\circ_i$ [/mm] dann weißt du, dass es einen Index [mm] $i_0$ [/mm] gibt, sodass [mm] $x\in A_{i_0}^\circ$ [/mm] gilt. Jetzt kannst du die Menge [mm] $A_{i_0}$ [/mm] vergrößern, indem du noch die anderen [mm] $A_j$ [/mm] dazu nimmst, aber das $x$ bleibt immernoch in dieser Menge, die dann das Innere der vereinigten Mengen [mm] $A_1,A_2,...,A_{i_0},...$ [/mm] ist. Schreibe das formal korrekt auf.
Die zweite Inklusion geht analog.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Mi 14.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo huzein,
> Zur ersten Inklusion:
> nehme ein [mm]x[/mm] aus der ersten Menge und zeige, dass es auch
> in der zweiten Menge enthalten ist. Wenn [mm]x\in\bigcup_{i\red{=0}\green{\in I}} A^\circ_i[/mm]
> dann weißt du, dass es einen Index [mm]i_0[/mm] gibt, sodass [mm]x\in A_{i_0}^\circ[/mm]
> gilt
> Jetzt kannst du die Menge [mm]A_{i_0}[/mm] vergrößern, indem
> du noch die anderen [mm]A_j[/mm] dazu nimmst, aber das [mm]x[/mm] bleibt
> immernoch in dieser Menge, die dann das Innere der
> vereinigten Mengen [mm]A_1,A_2,...,A_{i_0},...[/mm] ist. Schreibe
> das formal korrekt auf.
Du benutzt, dass [mm] $A\subseteq B\subseteq [/mm] X$ bereits [mm] $A^\circ\subseteq B^\circ$ [/mm] impliziert. Ich gehe davon aus, dass das auch noch bewiesen werden muss.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Mi 14.11.2012 | | Autor: | huzein |
ja weiß ich, dass ich das benutze. Ging davon aus, dass das bekannt ist. Falls nicht, hast du recht, muss das auch erst gezeigt werden.
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was meinst du mit den andern [mm] A_{j}, [/mm] die ich dazunehmen soll, damit ich die Menge vergrößern kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Mi 14.11.2012 | | Autor: | huzein |
damit sind alle [mm] $A_j$ [/mm] mit [mm] $j\neq i_0$ [/mm] gemeint.
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könntest du vielleicht, die erste formel mathematisch aufschreiben, damit ich mir ein bild von der schreibweise machen kann?
Wäre echt super lieb..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Do 15.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Zu
$ [mm] \bigcup_{i \in I} A_{i}^{ \circ} \subset (\bigcup_{i \in I} A_{i})^{\circ} [/mm] $ :
Sei x [mm] \in \bigcup_{i \in I} A_{i}^{ \circ}. [/mm] Dann gibt es ein i [mm] \in [/mm] I mit: x [mm] \in A_{i}^{ \circ}.
[/mm]
Also gibt es eine Umgebung U von x mit U [mm] \subset A_i.
[/mm]
Dan ist auch $U [mm] \subset \bigcup_{i \in I} A_{i}$, [/mm] folglich ist $x [mm] \in (\bigcup_{i \in I} A_{i})^{\circ}.$
[/mm]
Fertig.
FRED
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vielen Dank.
Hab das für den zweiten versucht:
[mm] (\bigcap_{i \in I} A_{i}) \circ \subset \bigcap_{i \in I} A_{i} \circ
[/mm]
Sei x [mm] \in (\bigcap_{i \in I} A_{i}) \circ [/mm] . Dann gibt es ein i [mm] \in [/mm] I mit x [mm] \in A_{i} \circ [/mm] . Also gibt es eine Umgebung U von x mit U [mm] \subset A_{i} [/mm] . Dann ist auch U [mm] \subset (\bigcap_{i \in I} A_{i}) \circ [/mm] , folglich ist x [mm] \in \bigcap_{i \in I} A_{i} \circ.
[/mm]
Kann man das so machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Do 15.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> vielen Dank.
> Hab das für den zweiten versucht:
>
> [mm](\bigcap_{i \in I} A_{i}) \circ \subset \bigcap_{i \in I} A_{i} \circ[/mm]
>
> Sei x [mm]\in (\bigcap_{i \in I} A_{i}) \circ[/mm] . Dann gibt es
> ein i [mm]\in[/mm] I mit x [mm]\in A_{i} \circ[/mm] . Also gibt es eine
> Umgebung U von x mit U [mm]\subset A_{i}[/mm] . Dann ist auch U
> [mm]\subset (\bigcap_{i \in I} A_{i}) \circ[/mm] , folglich ist x
> [mm]\in \bigcap_{i \in I} A_{i} \circ.[/mm]
>
> Kann man das so machen?
Nein. Du hast ohne jeden Sinn und Verstand bei mir abgeschrieben, Du hast nur [mm] \bigcup [/mm] gegen [mm] \bigcap [/mm] ausgetauscht !
Nicht zu fassen ....
Sei $x [mm] \in (\bigcap_{i \in I} A_{i}) \circ [/mm] $. Dann gibt es eine Umgebung U von x mit: $U [mm] \subset \bigcap_{i \in I} A_{i}$
[/mm]
Jetzt Du .
FRED
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Sei x [mm] \in (\bigcap_{i \in I} A_{i}) \circ. [/mm] Dann gibt es eine Umgebung U von x mit: U [mm] \subset \bigcap_{i \in I} A_{i}.
[/mm]
Also gibt es ein i [mm] \in [/mm] I mit x [mm] \in A_{i}, [/mm] somit ist auch x [mm] \in [/mm] U [mm] \subset \bigcap_{i \in I} A_{i} \circ [/mm] .
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Do 15.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei x [mm]\in (\bigcap_{i \in I} A_{i}) \circ.[/mm] Dann gibt es
> eine Umgebung U von x mit: U [mm]\subset \bigcap_{i \in I} A_{i}.[/mm]
>
> Also gibt es ein i [mm]\in[/mm] I mit x [mm]\in A_{i},[/mm] somit ist auch x
> [mm]\in[/mm] U [mm]\subset \bigcap_{i \in I} A_{i} \circ[/mm] .
Denkst Du eigentlich über das nach, was Du schreibst ? Denkst Du z. B. auch mal darüber nach, was [mm] \bigcap [/mm] bedeutet ?
Sei x [mm]\in (\bigcap_{i \in I} A_{i}) \circ.[/mm] Dann gibt es eine Umgebung U von x mit: U [mm]\subset \bigcap_{i \in I} A_{i}.[/mm]
Dann ist U [mm] \subset A_i [/mm] für alle i [mm] \in [/mm] I. Somit ist x [mm] \in A_i^{\circ} [/mm] für alle i [mm] \in [/mm] I.
Was Du bei dieser Aufgabe brauchst:
1. Def. des Begriffs "Inneres einer Menge"
2. Durchschnitt und Vereinigung von Mengen
Mach Dich damit vertraut.
FRED
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Das innere einer Menge ist ja die Menge selbst ohne dessen Rand.
Durchschnitt sind die Elemente der Menge, die in jeder Elementenmenge enthalten sind.
Und bei der Vereinigung müssen die Elemente der Menge iin mind einer Menge enthalten sein.
So habe ich es immer verstanden..
Ich fiinde es immer schwierig sich das vorzustellen.
Wie kann man denn bei so einer Aufgabe Beispiele angeben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Do 15.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Das innere einer Menge ist ja die Menge selbst ohne dessen
> Rand.
.... ohne deren ...
Ja, aber bei Deiner Aufgabe benutze:
x ist innerer Punkt von A [mm] \gdw [/mm] es ex. eine Umgebung U von x mit U [mm] \subset [/mm] A.
> Durchschnitt sind die Elemente der Menge, die in jeder
> Elementenmenge enthalten sind.
Oh Gott ! Vielleicht meinst Du es richtig.
x [mm] \in \bigcap_{i \in I}^{}X_i \gdw [/mm] x [mm] \in X_i [/mm] für alle i [mm] \in [/mm] I
> Und bei der Vereinigung müssen die Elemente der Menge
> iin mind einer Menge enthalten sein.
x [mm] \in \bigcup_{i \in I}^{}X_i \gdw [/mm] x [mm] \in X_i [/mm] für ein i [mm] \in [/mm] I
>
> So habe ich es immer verstanden..
> Ich fiinde es immer schwierig sich das vorzustellen.
> Wie kann man denn bei so einer Aufgabe Beispiele angeben?
Du sollst konkrete Beispiel angeben, für die die Inklusionen echt sind.
Da muß man ein wenig basteln und experimentieren.
Zu
$ [mm] \bigcup_{i \in I} A_{i} \circ \subset (\bigcup_{i \in I} A_{i}) \circ [/mm] $ .
Nimm I={1,2}, [mm] A_1= \IQ [/mm] und [mm] A_2 [/mm] = [mm] \IR \setminus \IQ
[/mm]
Was ist [mm] A_1^{\circ} [/mm] ? Was ist [mm] A_2^{\circ} [/mm] ?
Was ist [mm] A_1^{\circ} \cup A_2^{\circ} [/mm] ?
Was ist [mm] (A_1 \cup A_2)^{\circ} [/mm] ?
FRED
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