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| Aufgabe | | Ein total beschränkter metrischer Raum erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom. |
Den beweis haben wir gemacht, indem wir zeigen dass die Topologie, welche durch die Metrik induziert wird, eine abzählbare Basis besitzt.
Jedoch ist der beweis für mich nicht ganz verständlich im SKriptum.
r=1/n, [mm] E_n [/mm] = [mm] \{x_1 ,.., x_j__n \} [/mm] endliche Menge mit X = [mm] \bigcup_{x \in E_n} B_{1/n} [/mm] (x)
> das ist übrigens unsere Definition von Totalbeschränkt
Wir behaupten dass die Menge B= [mm] \{B_{1/n} (x): x \in E_n , n \in \IN \}
[/mm]
eine Basis der Topologie von X ist.
> Also wenn es eine Basis ist, dann ist sie abzählbar -> 2.Abzählbarkeitsaxiom erfüllt
Sei x [mm] \in [/mm] X beliebig und U eine offene Umgebung von x. Es genügt zuzeigen, dass es ein n [mm] \in \IN [/mm] gibt und ein y [mm] \in E_n [/mm] gibt, welches x [mm] \in B_{1/n} [/mm] (y) [mm] \subseteq [/mm] U .
> Ich verstehe nicht, warum das zu zeigen ist???
Wir können annehmen dass U = [mm] B_\epsilon [/mm] (x) für ein [mm] \epsilon>0. [/mm]
Sei n groß genug, dass 2/n < [mm] \epsilon [/mm] und y [mm] \in E_n [/mm] sodass x [mm] \in B_{1/n} [/mm] (y).
> Wieso gilt x [mm] \in B_{1 /n} [/mm] (y) ?
Dann können wir für alle z [mm] \in B_{1/n} [/mm] (y) wie folgt abschätzen:
d(x,z) <= d(x,y)+d(y,z)<= 1/n + 1/n < [mm] \epsilon
[/mm]
und damit [mm] B_{1/n} [/mm] (y) [mm] \subset [/mm] U
> Ja , da steige ich dann leider ganz aus.
lg therese
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Sa 20.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo theresetom,
> r=1/n, [mm]E_n[/mm] = [mm]\{x_1 ,.., x_j__n \}[/mm] endliche Menge mit X =
> [mm]\bigcup_{x \in E_n} B_{1/n}[/mm] (x)
> > das ist übrigens unsere Definition von
> Totalbeschränkt
>
> Wir behaupten dass die Menge B= [mm]\{B_{1/n} (x): x \in E_n , n \in \IN \}[/mm]
>
> eine Basis der Topologie von X ist.
> > Also wenn es eine Basis ist, dann ist sie abzählbar ->
> 2.Abzählbarkeitsaxiom erfüllt
> Sei x [mm]\in[/mm] X beliebig und U eine offene Umgebung von x. Es
> genügt zuzeigen, dass es ein n [mm]\in \IN[/mm] gibt und ein y [mm]\in E_n[/mm]
> gibt, welches x [mm]\in B_{1/n}[/mm] (y) [mm]\subseteq[/mm] U .
> > Ich verstehe nicht, warum das zu zeigen ist???
Hier muss man schon ein wenig argumentieren.
Gezeigt werden soll also:
(*) Zu jedem [mm] $x\in [/mm] X$ und jeder offenen Umgebung U von x existiert ein [mm] $V_{U,x}\in [/mm] B$ mit [mm] $x\in V_{U,x}\subseteq [/mm] U$.
Eigentlich ist zu zeigen, dass B eine Basis des Raumes X ist, also dass sich jede offene Menge [mm] $U\subseteq [/mm] X$ darstellen lässt als Vereinigung gewisser Mengen aus B.
Geben wir uns also eine offene Menge [mm] $U\subseteq [/mm] X$ vor und suchen nach einer Darstellung von U als Vereinigung gewisser Mengen aus B.
Für jedes [mm] $x\in [/mm] U$ ist U eine offene Umgebung von x, also (*) anwendbar.
Behauptung:
(**) [mm] $U=\bigcup_{x\in U}V_{U,x}$
[/mm]
[mm] "$\subseteq$": [/mm] Sei [mm] $y\in [/mm] U$. Dann gilt [mm] $y\in V_{U,y}\subseteq\bigcup_{x\in U}V_{U,x}$.
[/mm]
[mm] "$\supseteq$": [/mm] Sei [mm] $y\in\bigcup_{x\in U}V_{U,x}$, [/mm] also [mm] $y\in V_{U,x}$ [/mm] für ein [mm] $x\in [/mm] U$. Also [mm] $y\in V_{U,x}\subseteq [/mm] U$.
(**) ist unsere gesuchte Darstellung von U als Vereinigung von Elementen von B.
> Wir können annehmen dass U = [mm]B_\epsilon[/mm] (x) für ein
> [mm]\epsilon>0.[/mm]
> Sei n groß genug, dass 2/n < [mm]\epsilon[/mm] und y [mm]\in E_n[/mm] sodass
> x [mm]\in B_{1/n}[/mm] (y).
> > Wieso gilt x [mm]\in B_{1 /n}[/mm] (y) ?
Zunächst wählen wir ein n.
Für dieses n wissen wir (wie für jedes n):
[mm] $X=\bigcup_{y\in E_n}B_{\bruch1n}(y)$.
[/mm]
Wegen [mm] $x\in X=\bigcup_{y\in E_n}B_{\bruch1n}(y)$ [/mm] existiert ein [mm] $y\in E_n$ [/mm] mit [mm] $x\in B_{\bruch1n}(y)$.
[/mm]
Ein solches y wählen wir dann.
> Dann können wir für alle z [mm]\in B_{1/n}[/mm] (y) wie folgt
> abschätzen:
> d(x,z) <= d(x,y)+d(y,z)<= 1/n + 1/n < [mm]\epsilon[/mm]
> und damit [mm]B_{1/n}[/mm] (y) [mm]\subset[/mm] U
> > Ja , da steige ich dann leider ganz aus.
Gezeigt werden soll [mm] $B_{\bruch1n}(y)\subseteq [/mm] U$.
Also nehmen wir ein [mm] $z\in B_{\bruch1n}$ [/mm] her und müssen [mm] $z\in [/mm] U$ zeigen.
Wegen unserer Annahme [mm] $U=B_\epsilon(x)$ [/mm] ist also [mm] $z\in B_\epsilon(x)$, [/mm] d.h. [mm] $d(x,z)<\epsilon$, [/mm] zu zeigen.
Das geschieht folgendermaßen:
$d(x,z) [mm] \le [/mm] d(x,y)+d(y,z)$ (Dreiecksungleichung)
[mm] $d(x,y)+d(y,z)\le \bruch1n+\bruch1n$ ($x,z\inB_\bruch1n(y)$)
[/mm]
[mm] $\bruch2n<\epsilon$ [/mm] (Wahl von n).
Viele Grüße
Tobias
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Hallo,
vielen Dank, dass du dir die zeit nimmst.
Trotzdem habe ich noch eine offene Frage:
> Wegen unserer Annahme $ [mm] U=B_\epsilon(x) [/mm] $ ist also $ [mm] z\in B_\epsilon(x) [/mm] $, d.h. $ [mm] d(x,z)<\epsilon [/mm] $, zu zeigen.
Sagt der Ausdruck [mm] z\in B_\epsilon(x) [/mm] nicht schon automatisch dass [mm] d(x,z)<\epsilon [/mm] ?
Sonst habe ich es verstanden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 Do 25.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> vielen Dank, dass du dir die zeit nimmst.
> Trotzdem habe ich noch eine offene Frage:
> > Wegen unserer Annahme [mm]U=B_\epsilon(x)[/mm] ist also [mm]z\in B_\epsilon(x) [/mm],
> d.h. [mm]d(x,z)<\epsilon [/mm], zu zeigen.
> Sagt der Ausdruck [mm]z\in B_\epsilon(x)[/mm] nicht schon
> automatisch dass [mm]d(x,z)<\epsilon[/mm] ?
Ja
FRED
>
> Sonst habe ich es verstanden.
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Aber dann wäre doch alles andere für die Katz gewesen?
Jetzt verstehe ich es nicht mehr...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Do 25.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Aber dann wäre doch alles andere für die Katz gewesen?
> Jetzt verstehe ich es nicht mehr...
Mein Satz
> Wegen unserer Annahme $ [mm] U=B_\epsilon(x) [/mm] $ ist also $ [mm] z\in B_\epsilon(x) [/mm] $, d.h. $ [mm] d(x,z)<\epsilon [/mm] $, zu zeigen.
war offensichtlich missverständlich formuliert. Dazu kam noch ein Tippfehler eine Zeile drüber.
Gezeigt werden soll [mm] $B_{\bruch1n}(y)\subseteq [/mm] U$.
Also nehmen wir ein [mm] $z\in B_{\bruch1n}(y)$ [/mm] her und müssen [mm] $z\in [/mm] U$ zeigen.
Wegen unserer Annahme [mm] $U=B_\epsilon(x)$ [/mm] ist also [mm] $z\in B_\epsilon(x)$ [/mm] zu zeigen.
D.h. zu zeigen ist: [mm] $d(x,z)<\epsilon$.
[/mm]
Sind die Unklarheiten damit beseitigt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Do 25.10.2012 | | Autor: | theresetom |
Ah danke.
Ja nun ist es klar.
Vielen Dank an euch beiden ;)
Liebe Grüße
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Hallo,
Ich hab den Beweis mir nochmal nach paar Monaten angeschaut. Jetzt tauchte die frage auf wieso
> Wegen unserer Annahme $ [mm] U=B_\epsilon(x) [/mm] $
gilt. wo haben wir das angenommen , und wieso dürfen wir das einfach so. U ist ja nur eine offene umgebung von X und sie ist doch sonst nur so defeniert dass solch eine [mm] \epsilon [/mm] umgebnug drinenn liegt oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mi 13.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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