total differenzierbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:19 So 20.06.2010 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^{2} \to \IR [/mm] die Funktion mit
[mm] f(x,y)=\begin{cases} x^{2}ysin(\bruch{y}{x}), & \mbox{für } x \not= 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \end{cases}.
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass f in jedem Punkt partiell differenzierbar ist und berechnen Sie die partiellen Ableitungen.
(b) Zeigen Sie, dass [mm] D_{1}f [/mm] in keinem Punkt der Form (0,y) mit [mm] y\not=0 [/mm] stetig ist.
Hinweis:Betrachten Sie die Punkte [mm] (x_{n},y_{n}) [/mm] = [mm] (\bruch{y}{n\pi},y).
[/mm]
(c) Ist f differenzierbar in (0,y) mit y [mm] \in \IR?.
[/mm]
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Hallo,
ich habe (a) und (b) schon gemacht.
Ich habe Frage zu (c) :
Da f nicht stetig diff.bar , kann man daraus nicht auf totale Diff.barkeit schließen.
Da f stetig ist, kann man nicht daraus schließen, dass f nicht (total)diff.bar
ist.
Also, ich bin bei der Definition der totalen Diff.barkeit stehen geblieben.
Es ist also zu zeigen,falls f total diffbar sein sollte, dass f((0,y) + h) = 0 + Ah + [mm] \phi(h) \gdw
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f((0,y) + h) - Ah }{\parallel h \parallel} [/mm] =
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\phi(h)}{\parallel h \parallel}=0
[/mm]
Also muss man zeigen dass die ganz linke Seite gleich 0 ist.
Ich habe bei Teilaufgabe (a) [mm] D_{1}f [/mm] und [mm] D_{2}f [/mm] ausgerechnet.
[mm] D_{1}f= \begin{cases} 2xysin(\bruch{y}{x})-y^{2}cos(\bruch{y}{x}), & \mbox{für } x \not= 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \end{cases}.
[/mm]
[mm] D_{2}f= \begin{cases} x^{2}sin(\bruch{y}{x})+xycos(\bruch{y}{x}), & \mbox{für } x \not= 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \end{cases}.
[/mm]
A= [mm] (D_{1}f,D_{2}f) [/mm] , Ah= [mm] D_{1}f h_{1}+D_{2}fh_{2}
[/mm]
Soweit in Ordnung?
Dann habe ich insgesamt :
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h_{1}^{2}(y+h_{2})*sin(\bruch{y+h_{2}}{h_{1}})-2h_{1}xysin(\bruch{y}{x})-y^{2}cos(\bruch{y}{x})h_{1}+h_{2}x^{2}sin(\bruch{y}{x})+h_{2}xycos(\bruch{y}{x})}{\parallel h \parallel} [/mm] für [mm] h_{1}, [/mm] x [mm] \not= [/mm] 0
Das sollte, für f diffbar in (0,y), gleich 0 sein.
Wie kann man das zeigen?
Gruß
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 22.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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