total/partiell differenzierbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:48 Mo 01.05.2006 | | Autor: | neli |
| Aufgabe | es sei
f(x,y) := [mm] \bruch{xy}{ \wurzel{x^2+y^2}} [/mm] für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0)
0 für (x,y) = (0,0)
1. zeigen Sie, dass die partiellen Ableitungen [mm] f_x [/mm] und [mm] f_y [/mm] auf ganz [mm] \IR^2 [/mm] existieren und beschränkt sind!
2. Ist f im Nullpunkt total differenzierbar? |
zu 1. hab ich erst mal versucht die parteillen Ableitungen auszurechnen
außerhalb von (0,0) ist
[mm] f_x [/mm] = [mm] \bruch{y^3}{(x^2 + y^2)^{ \bruch{3}{2}}}
[/mm]
[mm] f_y [/mm] = [mm] \bruch{x^3}{(x^2 + y^2)^{ \bruch{3}{2}}}
[/mm]
zudem ist
x [mm] \mapsto [/mm] f(x,0) = 0 für x [mm] \not= [/mm] 0
y [mm] \mapsto [/mm] f(0,y) = 0 für y [mm] \not= [/mm] 0
d.h. f ist entlang der x- und y-Achse identisch der Nullfunktion
d.h. f ist in (0,0) partiell diffbar mit [mm] f_x(0,0) [/mm] = 0´=0 und [mm] f_y(0,0) [/mm] = 0´=0
damit dürfte ich doch jetzt gezeigt haben, dass die partiellen Ableitungen auf ganz [mm] \IR^2 [/mm] exisiteren oder?
zu beschränkt ist mir noch nicht wirklich was eingefallen habe schon ein wenig rumprobiert und dabei darauf gemkommen, dass
[mm] \bruch{y^3}{(x^2 + y^2)^{ \bruch{3}{2}}} \le \bruch{y^3}{(x^2 + y^2)} \le [/mm] |y| und analog für [mm] f_y
[/mm]
allerdings weiß ich nicht inwiefern man das beschränkt nennen könnte weil einerseits behandelt man y ja wie eine konstante aber andererseits ist y [mm] \in \IR [/mm] und somit nicht grade beschränkt
zu 2 habe ich das mal wie folgt versucht:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f_x [/mm] = [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \bruch{y^3}{(x^2 + y^2)^{ \bruch{3}{2}}} [/mm] = (l´Hospital) [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \bruch{0}{3x\wurzel{x^2 + y^2}} [/mm] = 0
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f_y [/mm] = [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \bruch{x^3}{(x^2 + y^2)^{ \bruch{3}{2}}} [/mm] = (l´Hospital) [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \bruch{0}{3y\wurzel{x^2 + y^2}} [/mm] = 0
d.h. [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f_x [/mm] = [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f_y [/mm] = [mm] f_x(0,0) [/mm] = [mm] f_y [/mm] (0,0) = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] fi ist in (0,0) stetig partiell diffbar [mm] \rightarrow [/mm] f ist im Nullpunkt total differnezierbar
bin mir bei diesem Thema noch sehr unsicher und weiß nicht ob ich das alles so machen kann wäre sher nett wenn mal einer drübergucken könnte und mir da noch mal ein wenig weiterhelfen könnte
habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
danke schön im Vorraus
Neli
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:27 Sa 06.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Neli!
> es sei
> f(x,y) := [mm]\bruch{xy}{ \wurzel{x^2+y^2}}[/mm] für (x,y) [mm]\not=[/mm]
> (0,0)
> 0 für (x,y) = (0,0)
> 1. zeigen Sie, dass die partiellen Ableitungen [mm]f_x[/mm] und [mm]f_y[/mm]
> auf ganz [mm]\IR^2[/mm] existieren und beschränkt sind!
> 2. Ist f im Nullpunkt total differenzierbar?
> zu 1. hab ich erst mal versucht die parteillen
> Ableitungen auszurechnen
> außerhalb von (0,0) ist
> [mm]f_x[/mm] = [mm]\bruch{y^3}{(x^2 + y^2)^{ \bruch{3}{2}}}[/mm]
> [mm]f_y[/mm] =
> [mm]\bruch{x^3}{(x^2 + y^2)^{ \bruch{3}{2}}}[/mm]
> zudem ist
> x [mm]\mapsto[/mm] f(x,0) = 0 für x [mm]\not=[/mm] 0
> y [mm]\mapsto[/mm] f(0,y) = 0 für y [mm]\not=[/mm] 0
> d.h. f ist entlang der x- und y-Achse identisch der
> Nullfunktion
> d.h. f ist in (0,0) partiell diffbar mit [mm]f_x(0,0)[/mm] = 0´=0
> und [mm]f_y(0,0)[/mm] = 0´=0
Sieht gut aus.
> damit dürfte ich doch jetzt gezeigt haben, dass die
> partiellen Ableitungen auf ganz [mm]\IR^2[/mm] exisiteren oder?
Genau.
> zu beschränkt ist mir noch nicht wirklich was eingefallen
> habe schon ein wenig rumprobiert und dabei darauf
> gemkommen, dass
> [mm]\bruch{y^3}{(x^2 + y^2)^{ \bruch{3}{2}}} \le \bruch{y^3}{(x^2 + y^2)} \le[/mm]
> |y| und analog für [mm]f_y[/mm]
Das bringt nix, setze $x = 0$ ein und lasse $y$ gegen [mm] $\infty$ [/mm] gehen...
> allerdings weiß ich nicht inwiefern man das beschränkt
> nennen könnte weil einerseits behandelt man y ja wie eine
> konstante aber andererseits ist y [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und somit nicht
> grade beschränkt
Mach es doch so: Sei $y \neq 0$. Es ist ja $|y|^3 = (|y|^2)^{3/2}$, womit $\left| \frac{y^3}{(x^2 + y^2)^{3/2} \right| = \frac{|y|^3}{(x^2 + y^2)^{3/2}} = \frac{1}{\left( \frac{x^2 + y^2}{y^2} \right)^{3/2}} = \frac{1}{\left( \left(\frac{x}{y}\right)^2 + 1 \right)^{3/2}}$. Dass das beschraenkt ist kannst du sicher zeigen, oder? 
> zu 2 habe ich das mal wie folgt versucht:
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f_x[/mm] =
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \bruch{y^3}{(x^2 + y^2)^{ \bruch{3}{2}}}[/mm]
> = (l´Hospital) [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \bruch{0}{3x\wurzel{x^2 + y^2}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> = 0
Wieso kannst du l'Hopital hier anwenden?!
Nimm einmal die Folge $(1/n, 1/n)$; der Grenzwert ist $2^{-3/2}$. Und wenn du die Folge $(1/n, 0)$ nimmst ist der Grenzwert gleich $0$. Also ist $f_x$ nicht in $0$ stetig.
Du musst dir also $f$ selber schon angucken.
Wenn $f$ in $0$ total diffbar waere, dann waere die Jacobi-Matrix von $f$ in $0$ gerade $J f(0) = (f_x(0), f_y(0)) = (0, 0)$. Per Definition ist also $\frac{f(x, y) - f(0, 0)}{\norm (x, y) \norm} \to 0$ fuer $(x, y) \to (0, 0)$. Nun ist $\frac{f(x, y) - f(0, 0)}{\norm (x, y) \norm} = \frac{\frac{x y}{\sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{x y}{x^2 + y^2}$. Jetzt waehle doch mal die Folge $(\frac{1}{n}, \frac{\lambda}{n})$ mit $\lambda \neq 0$. Ist der Grenzwert immer gleich $0$?
LG Felix
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