totale differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 So 20.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Es sei $f: [mm] \mathbb{R^2} \to \mathbb{R} [/mm] definiert durch $
$f(x,y) = 0, $ falls $(x,y) = (0,0) $
$f(x,y) = [mm] \bruch{y^5}{2x^4 + y^4}, [/mm] $ falls $(x,y) = (0,0) $
(a) Zeigen Sie: Die Abbildung f ist stetig und alle Richtungsableitungen von f in (0, 0) existieren.
(b) Ist f in (0,0) diff erenzierbar? |
Zu a
sei $ [mm] x_n [/mm] = [mm] y_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] $ Nullfolgen .
[mm] $\lim_{n \to \infty } f(x_n,y_n) [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty } f(0,y_n) [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty } f(x_n,y_n) [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty } f(x_n,0) \to [/mm] 0$
Nun zur Richtungsableitung.
$D_vf(x) [mm] =\lim_{t \to 0} \frac{f(x+tv)-f(x)}{t} =\frac{0}{t} \lim_{t\to 0} \to [/mm] 0 $
Als0 existiert die Richtungsableitung .
Bei der totalen Differenzeierbarkit habe ich ein Problem .
$f(x+t) = f(x) + Df(t) + [mm] \xi(t)$
[/mm]
z.z
[mm] $\lim{t \to 0} \frac{\xi(t)}{|t|} [/mm] = 0 $
Also
$ [mm] \iff \lim{t \to 0} \frac{f(x+t) -f(x) - Df(t)}{|t|} [/mm] = [mm] \frac{f(t) - Df(t)}{|t|} [/mm] = 0 $ komm nicht weiter.
Muss ich die Definition der Differenzierbarkit benutzen, oder gibt es einen Satz, dass mir die Berechnung erspart.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Huhu,
also erstmal: Wenn du den Editor nutzt (prima!), dann bitte auch drauf achten, dass man alles lesen kann. Sonst verschlimmbesserst du das nur.
Aber zur Aufgabe:
> Zu a
> sei [mm]x_n = y_n = \frac{1}{n} [/mm] Nullfolgen .
Der Ansatz ist falsch, wenn du Stetigkeit zeigen willst.
Du musst es für alle Folgen zeigen, die gegen Null konvergieren, nicht nur für eine, die du dir selbst wählst
> [mm]\lim_{n \to \infty } f(x_n,y_n) = \lim_{n \to \infty } f(0,y_n) = \lim_{n \to \infty } f(x_n,y_n) = \lim_{n \to \infty } f(x_n,0) \to 0[/mm]
Wie gesagt: Stetigkeit hast du noch nicht gezeigt. Du hast jeweils nur spezielle Folgen untersucht und nicht alle.
Das reicht also noch nicht.
Tip: Betrachte [mm] $\lim_{(x,y) \to (0,0)}|f(x,y)|$, [/mm] im Nenner [mm] y^4 [/mm] ausklammern und kürzen, dann Nenner nach unten abschätzen, so dass im Nenner eine reelle Zahl stehen bleibt, die nicht von x oder y abhängt.
> Nun zur Richtungsableitung.
>
> [mm]D_vf(x) =\lim_{t \to 0} \frac{f(x+tv)-f(x)}{t} =\frac{0}{t} \lim_{t\to 0} \to 0 [/mm]
Auch hier: Wie kommst du auf [mm] \bruch{0}{t} [/mm] ?
Zuerst: Du sollst ja deine Untersuchung in der Stelle (0,0) durchführen, d.h. bei dir ist $x = (0,0)$
Dann steht da schonmal:
[mm] $\lim_{t \to 0} \frac{f\left((0,0)+tv\right)-f\left((0,0)\right)}{t}$
[/mm]
Wobei [mm] $v=(v_1,v_2)$ [/mm] ebenfalls ein Vektor ist.
Nun setze ein: Was ist [mm] $f\left((0,0)+tv\right) [/mm] = f(tv) = [mm] f\left((tv_1,tv_2)\right)$ [/mm] ? Was ist [mm] $f\left((0,0)\right)$ [/mm] ?
> Bei der totalen Differenzeierbarkit habe ich ein Problem .
Nicht nur dort.
Mach erstmal a) fertig, dann können wir mit b) weitermachen.
Ich hab so ein bisschen das Gefühl, du weißt nicht wirklich, was du oben gemacht hast......
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 So 20.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
bei der a sei $ [mm] x_n [/mm] , [mm] y_n [/mm] $ Nullfolgen.
$ [mm] \lim_{n \to \infty } f(x_n,y_n) [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty } f(0,y_n) [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty } f(x_n,y_n) [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty } f(x_n,0) \to [/mm] 0 $
Das zu a,wenn die Richtig ist würde gerne nochmal die B machen.
Viele Grüße
Nadia
Danke für die Antwort, aber was stört dich an meiner Schreibweise?
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Huhu,
> bei der a sei [mm]x_n , y_n[/mm] Nullfolgen.
ok.
> [mm]\lim_{n \to \infty } f(x_n,y_n) = \lim_{n \to \infty } f(0,y_n) = \lim_{n \to \infty } f(x_n,y_n) = \lim_{n \to \infty } f(x_n,0) \to 0[/mm]
das behauptest du jetzt also.
Gezeigt hast du hier noch nichts.
Wieso sind die Grenzwerte, die du oben geschrieben hast, denn alle Null?
Bei einer Prüfung würdest du dafür 0 Punkte bekommen......
Ich hab dir doch ne Anleitung geschrieben, wie du es zeigen kannst, warum versuchst du es damit nicht?
> Das zu a
Also a) ist noch nicht fertig.
Was ist mit den Richtungsableitungen? Wo sind die? Wie sehen die aus?
Dazu hast du gar nichts mehr geschrieben.
> wenn die Richtig ist würde gerne nochmal die B machen.
WENN sie mal richtig ist, können wir die b gerne auch angehen 
> Danke für die Antwort, aber was stört dich an meiner
> Schreibweise?
An der Schreibweise gar nichts, aber einige stellen waren einfach unsauber aufgeschrieben, bspw. bei der Richtungsableitung, wo der limes plötzlich hinterm Bruch stand, usw.
aber das nur am Rande, wichtig ist ja erstmal die Aufgabe 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 So 20.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Zu a nochmal
$ [mm] \lim_{n \to \infty } f(x_n,y_n) [/mm] = [mm] \frac{y_n^5}{2x_n^4 +y_n^4}= \lim_{n \to \infty } f(0,y_n) =\frac{y_n^5 }{y_n^4}= \lim_{n \to \infty } f(x_n,0)= \frac{0 }{x_n^4} \to [/mm] 0$
Ich weiß, dass ich wieder unsauber geschrieben habe,wüsste nicht wieso der Grenzwert nicht hinter dem Bruch kommt.
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 So 20.03.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
> [mm]\lim_{n \to \infty } f(x_n,y_n) = \frac{y_n^5}{2x_n^4 +y_n^4}= \lim_{n \to \infty } f(0,y_n) =\frac{y_n^5 }{y_n^4}= \lim_{n \to \infty } f(x_n,0)= \frac{0 }{x_n^4} \to 0[/mm]
*seufz*
Wieso bastelst du immer [mm] $f(0,y_n)$ [/mm] oder [mm] $f(x_n,0)$ [/mm] da rein?
Weißt du überhaupt, was du da machst?
Wozu brauchst du das überhaupt?
Ich verrats dir: Hier gar nicht.
edit: Kanns sein, dass du [mm] x_n [/mm] und [mm] y_n [/mm] immer getrennt gegen 0 laufen lässt? Das geht nicht! Das nur als Information
Betrachte doch mal nur [mm] $\lim_{n \to \infty } f(x_n,y_n)$.
[/mm]
Das erste Gleichheitszeichen ist falsch, da fehlt ein [mm] $\lim$ [/mm] vor dem [mm] $\frac{y_n^5}{2x_n^4 +y_n^4}$.
[/mm]
Beschreib doch mal in Worten, was du überhaupt zeigen sollst/willst ?
Was muss für Stetigkeit in einem Punkt [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] gelten?
Fang dann an mit:
[mm] $\lim_{n \to \infty } |f(x_n,y_n)| [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty }\left|\frac{y_n^5}{2x_n^4 +y_n^4}\right|$
[/mm]
Und dann habe ich dir in der ersten Antwort Hinweise gegeben, wie du das Umformen kannst.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 So 20.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Hallo nochmal :)
Ich habe kam mit der Definition der partiellen diffbarkeit durcheinander |
$ [mm] \lim_{n \to \infty } |f(x_n,y_n)| [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty }\left|\frac{y_n^4(y_n)}{(2x_n^4/y_n^4 *+1)* y_n^4}\right|= \lim_{n \to \infty } \left|\frac{(y_n)}{(2x_n^4/y_n^4 *+1)*}\right| \to [/mm] 0$
So, ich glaube das meintest du, oder?
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Huhu,
das sieht doch schon viel besser aus
Allerdings fehlt mir da noch die letzte Begründung, warum der letzte Bruch jetzt wirklich gegen Null geht.
Hast du dazu ne Idee?
Tip: Schätz mal den Nenner ab, so dass [mm] x_n [/mm] und [mm] y_n [/mm] verschwinden.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 So 20.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
t $ [mm] \lim_{n \to \infty } |f(x_n,y_n)| [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty }\left|\frac{y_n^4(y_n)}{(2x_n^4/y_n^4 \cdot{}+1)\cdot{} y_n^4}\right|= \lim_{n \to \infty } \left|\frac{(y_n)}{(2x_n^4/y_n^4 \cdot{}+1)\cdot{}}\right| [/mm] < [mm] \lim_{n \to \infty } \left|\frac{(y_n)}{1}\right| \to [/mm] 0 $
Viele Grüße
nadia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 So 20.03.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
angebracht wäre ein [mm] \le [/mm] da ja [mm] $x_n [/mm] = 0$ sein kann, ansonsten passt es.
Und wieder wars ne Mitteilung.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 So 20.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$ \lim_{t \to 0} \frac{f\left((0,0)+tv\right)-f\left((0,0)\right)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{f\left((tv_1,tv_2)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{v_2^5*t^4}{2v_1^4*t^4 + v_2^4t^4}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{v_2^5*t^4}{2v_1^4*t^5 + v_2^4t^5} = \lim_{t \to 0}\frac{v_2^5}{2v_1^4*t+ v_2^4t} \to \infty $
Viele Grüße
Nadia
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Huhu,
du hast beim ersten Einsetzen in f einen kleinen Fehler drin.
Es muss im Zähler natürlich heissen [mm] $v_2^5t^5$ [/mm] und nicht [mm] $v_2^5t^4$.
[/mm]
Der Rest ist Folgefehler.
Aber die Art und Weise wie es dann weitergeht, hast du verstanden
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 So 20.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Oh danke,
naja dann noch einmal :)
$ \lim_{t \to 0} \frac{f\left((0,0)+tv\right)-f\left((0,0)\right)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{f\left((tv_1,tv_2)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{v_2^5\cdot{}t^5}{2v_1^4\cdot{}t^4 + v_2^4t^4}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{v_2^5\cdot{}t^5}{2v_1^4\cdot{}t^5 + v_2^4t^5} = \lim_{t \to 0}\frac{v_2^5}{2v_1^4\cdot{}+ v_2^4} \to $
Versteh ich das richtig, dass die Richtungsableitung in Richtung(0,0) nicht existiert, weil der Grenzwert nicht existiert.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 So 20.03.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
stell deine Fragen doch bitte auch als Fragen und NICHT als Mitteilung......
> [mm]\lim_{t \to 0} \frac{f\left((0,0)+tv\right)-f\left((0,0)\right)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{f\left((tv_1,tv_2)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{v_2^5\cdot{}t^5}{2v_1^4\cdot{}t^4 + v_2^4t^4}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{v_2^5\cdot{}t^5}{2v_1^4\cdot{}t^5 + v_2^4t^5} = \lim_{t \to 0}\frac{v_2^5}{2v_1^4\cdot{}+ v_2^4}[/mm]
Bis hierhin ist alles prima!
> Versteh ich das richtig, dass die Richtungsableitung in
> Richtung(0,0) nicht existiert, weil der Grenzwert nicht
> existiert.
Nein? Wieso existiert der Grenzwert nicht? Also für mich existiert der! Was ist denn der obige Ausdruck für [mm] $t\to [/mm] 0$ ?
Was hängt denn da noch von t ab?
Was ist denn [mm] $\lim_{t\to 0} [/mm] C$?
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 So 20.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Das mit dem lim ist ein Tippfehler.
Das mit dem Grenzwert, meinte ich einfach,falls die richtung (0,0) lautet, dann bekomme ich im Zähle für [mm] $v_1 [/mm] = 0$ und für [mm] $v_2 [/mm] = 0$
insgesamt 0. Ist dann doch nicht definiert,oder?
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 So 20.03.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Wie willst du denn eine Richtungsableitung in Richtung (0,0) machen?
Das geht doch gar nicht.....
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 So 20.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Kannst du mir bei der aufgabe b helfen, ich habe schon zubeginn einen ansatz oben stehen.
Lg
Nadia
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Huhu,
> Danke!!
> Kannst du mir bei der aufgabe b helfen, ich habe schon
> zubeginn einen ansatz oben stehen.
einfacher ist es sicherlich über den Satz:
f ist in [mm] x_0 [/mm] total differenzierbar [mm] \gdw [/mm] f ist in [mm] x_0 [/mm] partiell differenzierbar und die partiellen Ableitungen sind stetig in [mm] x_0
[/mm]
Wie hängen denn nun Richtungsableitungen und partielle Ableitungen zusammen?
Kannst du also a) irgendwie nutzen für diesen Satz?
MFG;
Gono.
In
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:54 Mo 21.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Huhu,
>
> > Danke!!
> > Kannst du mir bei der aufgabe b helfen, ich habe schon
> > zubeginn einen ansatz oben stehen.
>
> einfacher ist es sicherlich über den Satz:
>
> f ist in [mm]x_0[/mm] total differenzierbar [mm]\gdw[/mm] f ist in [mm]x_0[/mm]
> partiell differenzierbar und die partiellen Ableitungen
> sind stetig in [mm]x_0[/mm]
Dieser "Satz" ist doch schon im eindimensionalen falsch !
Bsp:
$ f(x):= [mm] x^2*sin(1/x)$ [/mm] für x [mm] \ne [/mm] 0 und f(0):=0
f ist auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar , aber f' ist in [mm] x_0=0 [/mm] nicht stetig.
FRED
>
>
> Wie hängen denn nun Richtungsableitungen und partielle
> Ableitungen zusammen?
> Kannst du also a) irgendwie nutzen für diesen Satz?
>
> MFG;
> Gono.
> In
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 Mo 21.03.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
stimmt, die Hinrichtung stimmt im Allgemeinen nicht...... die Rückrichtung aber schon
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Mo 21.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Huhu,
>
> stimmt, die Hinrichtung stimmt im Allgemeinen nicht......
................. Spritze, Fallbeil, elektrischer Stuhl ?
> die Rückrichtung aber schon
Dann aber bitte präzise: ist f in einer Umgebung U von [mm] x_0 [/mm] partiell differenzierbar und sind die part. Ableitungen von f auf U stetig, so ist f in [mm] x_0 [/mm] total differenzierbar.
FRED
>
> MFG,
> Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 Mo 21.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Falls f in (0,0) differenzierbar wäre, so würde gelten:
(*) [mm] $\bruch{\partial f}{\partial v}(0,0)= [/mm] gradf(0,0)*v$
für alle v [mm] \in \IR^2 [/mm] mit $||v||=1$.
Suche eine Richtung v, für welche (*) nicht stimmt.
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Mo 21.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Vielen danke für die Antwort.
Was ist eigentlich der Unterschied zwischen einer totalen Differenziebare und einer nur Differenzierbare Funktion ?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Mo 21.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen danke für die Antwort.
>
> Was ist eigentlich der Unterschied zwischen einer totalen
> Differenziebare und eine nur Differenzierbare Funktion ?
Keiner.
differenzierbar = total differenzierbar.
FRED
>
>
> Lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Di 22.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Was ist eigentlich $ [mm] \bruch{\partial f}{\partial v}(0,0)$ [/mm] ?
Meine Funktion besteht nur aus y,x ,wie soll ich das verstehen?
Lg
Nadia
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:09 Mi 23.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Was ist eigentlich [mm] \bruch{\partial f}{\partial v}(0,0)[/mm] ?
> Meine Funktion besteht nur aus y,x ,wie soll ich das
> verstehen?
$ [mm] \bruch{\partial f}{\partial v}(0,0) [/mm] $ ist eine Bezeichnung für die Richtungsableitung von f im Punkt (0,0) in Richtung $v$.
Ihr hattet wohl eine andere Bez.
FRED
>
>
> Lg
>
>
> Nadia
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Ja aber , bei $gradf(0,0)$ kommt im Nenner eine Null, was nicht definiert ist,oder?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Mi 23.03.2011 | | Autor: | fred97 |
>
> Ja aber , bei [mm]gradf(0,0)[/mm] kommt im Nenner eine Null,
Von was sprichst Du ????
FRED
> was
> nicht definiert ist,oder?
>
>
> Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Ich muss doch folgendes Zeigen
$ [mm] \bruch{\partial f}{\partial v}(0,0)\neq gradf(0,0)\cdot{}v [/mm] $
aber
$gradf = [mm] (\frac{-8x^3*y^5}{(2x^4+ y^4)^2} ,\frac{5*y^4(2x^4+y^4)-4y^3*y^5}{(2x^4+ y^4)^2} [/mm] )$
Also
$gradf(0,0) = [mm] (\frac{0}{0} ,\frac{0}{0} [/mm] )$
Man kann doch nicht durch Null teilen, oder wie verstehe ich das ?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Mi 23.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich muss doch folgendes Zeigen
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial v}(0,0)\neq gradf(0,0)\cdot{}v[/mm]
>
> aber
>
> [mm]gradf = (\frac{-8x^3*y^5}{(2x^4+ y^4)^2} ,\frac{5*y^4(2x^4+y^4)-4y^3*y^5}{(2x^4+ y^4)^2} )[/mm]
Ja, aber das gilt nur für (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0) !!!!
>
> Also
> [mm]gradf(0,0) = (\frac{0}{0} ,\frac{0}{0} )[/mm]
Aua !!!!
Berechne [mm] f_x(0,0) [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h} [/mm] und [mm] f_y(0,0) [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h}
[/mm]
FRED
>
> Man kann doch nicht durch Null teilen, oder wie verstehe
> ich das ?
>
>
> Lg
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Ja ok,
also
$ [mm] f_x(0,0) [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{0}{h^4} [/mm] = 0= [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h^5}{h^4} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h} f_y(0,0) [/mm] $
Das ist einmal der Grenzwert der Ableitung nach x und einmal nach y,oder?
die Richtungsableitung habe ich schon im ersten Aufgabenteil berechnet.
ich schlussfolgere,dass $gradf = [mm] (f_x(0,0), f_y(0,0))*(v1,v2)^t \neq \frac{\partial f}{\partial v} [/mm] (0,0)$
richtig?
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:13 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Habe die Richtungsableitung hinzugefügt, vieleicht einen Blick drauf werfen:)
$ \lim_{t \to 0} \frac{f\left((0,0)+tv\right)-f\left((0,0)\right)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{f\left((tv_1,tv_2)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{v_2^5\cdot{}t^5}{2v_1^4\cdot{}t^4 + v_2^4t^4}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{v_2^5\cdot{}t^5}{2v_1^4\cdot{}t^5 + v_2^4t^5} = \lim_{t \to 0}\frac{v_2^5}{2v_1^4\cdot{}+ v_2^4} \to $
Lg
Nadia
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Mi 23.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja ok,
>
>
> also
>
> [mm]f_x(0,0) = \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{0}{h^4} = 0= \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h^5}{h^4} = \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h} =f_y(0,0)[/mm]
Hier soll wohl
[mm]f_x(0,0) = \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{0}{h^4} = 0= \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h^5}{h^4} = \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h} =f_y(0,0)[/mm]
stehen.
>
>
> Das ist einmal der Grenzwert der Ableitung nach x und
> einmal nach y,oder?
> die Richtungsableitung habe ich schon im ersten
> Aufgabenteil berechnet.
>
> ich schlussfolgere,dass [mm]gradf = (f_x(0,0), f_y(0,0))*(v1,v2)^t \neq \frac{\partial f}{\partial v} (0,0)[/mm]
Hier muß stehen:
(*) [mm]gradf*v = (f_x(0,0), f_y(0,0))*(v1,v2)^t \neq \frac{\partial f}{\partial v} (0,0)[/mm]
Für v [mm] =(v_1,v_2)^t [/mm] mit [mm] v_2 [/mm] ist (*) aber nicht richtig.
Also finde eine Richtung für die (*) richtig ist.
FRED
>
>
> richtig?
>
>
> Lg
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Ps "Für v $ [mm] =(v_1,v_2)^t [/mm] $ mit $ [mm] v_2 [/mm] $ ist (*) aber nicht richtig.
Also finde eine Richtung für die (*) richtig ist"
was meinst du mit "ganz mit $ [mm] v_2 [/mm] $ ist (*) "
Eigentlich ist die Aufgabe sehr einfach, nur ich komme mit der Schreibweise ziemlich durcheinander.
Kannst du mir vielleicht die Lösung verraten, damit ich den Zusammenhang besser verstehe, eigentlich steht die Lösung längs da, aber die Schreibweise macht die Lösung undurchschaubar.
Lg.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Mi 23.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich fasse zusammen, was wir wissen:
1. Für einen Richtungsvektor [mm] $v=(v_1,v_2)^t$ [/mm] ist die Richtungsableitung von f in (0,0) in Richtung v gegeben durch:
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial v}(0,0)= \frac{v_2^5}{2v_1^4\cdot{}+ v_2^4} [/mm] $
2. Es ist $gradf(0,0)=(0,1)$
(Du hattest oben: [mm] f_y(0,0)=0, [/mm] aber das ist falsch und mir ist es zunächst nicht aufgefallen, es ist [mm] f_y(0,0)=1)
[/mm]
3. Es gilt der Satz: ist f in (0,0) differenzierbar, so gilt für jede Richtung v:
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial v}(0,0)= [/mm] gradf(0,0)*v$
Das bedeutet also: ist f in (0,0) differenzierbar, so ist für jede Richtung [mm] v=(v_1,v_2):
[/mm]
(*) [mm] \frac{v_2^5}{2v_1^4\cdot{}+ v_2^4}=v_2.
[/mm]
(*) ist aber gleichbedeutend mit
(**) [mm] v_1^4*v_2=0,
[/mm]
die ist gleichbedeutend mit: [mm] v_1=0 [/mm] oder [mm] v_2=0.
[/mm]
Fazit: wäre f in (0,0) differenzierbar, so hätten wir [mm] v_1=0 [/mm] oder [mm] v_2=0 [/mm] für jede Richtung [mm] v=(v_1,v_2).
[/mm]
Nun wähle mal [mm] $v=(\bruch{1}{\wurzel{2}}, \bruch{1}{\wurzel{2}}) [/mm] und Du siehst:
GROßES FAZIT: f ist in (0,0) nicht differenzierbar.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:19 Do 24.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Vielen Dank!!!
Lg
Nadia
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