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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Do 26.08.2004 | | Autor: | BahrJan |
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo Zusammen!
Frage 4 Klausur Jan 04 FH-Kiel
Gegeben ist die Produktionsfunktion
[mm] x (r_1, r_2) = 8\wurzel {r_1 r_2} + 5r_1r_2 [/mm]
mit x produzierter Menge in ME und den 2 Produktionsfaktoren [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2 [/mm] in ME.
a) Die Menge des Produktionsfaktors [mm] r_1 [/mm] soll ausgehend von [mm] r_1 [/mm] = 5 ME um eine ME erhöht werden. Berechnen Sie, wie [mm] r_2, [/mm] ausgehend von 10 ME näherungsweise verändert werden muss, um eine gleichbleibende Produktionsmenge zu gewährleisten.
So ich habe die Frage hier schon einmal gestellt und durch Variablen Substitution ca. 2,75 errechnet. Entweder ich habe da etwas falsch gemacht oder bei diesem Lösungsweg.
Die Frage sollte aber über das totale Differenzial gerechnet werden.
Hier der Lösungsansatz.
partielle Ableitung in [mm] r_1 [/mm] Richtung * [mm] \Delta r_1 [/mm] + partielle Ableitung in [mm] r_2 [/mm] Richtung * [mm] \Delta r_2
[/mm]
[mm] x (r_1, r_2) = 8r_1^{0,5} r_2^{0,5} + 5 r_1 r_2 [/mm]
[mm] f '(r_1) = 4r_1^{-0,5} r_2^{0,5} + 5 r_2 [/mm]
[mm] f'(r_2) [/mm] =[mm] 4r_1 r_2^{-0,5} + 5r_1 [/mm]
[mm] dx = f' (r_1) * \Delta\; r_1 + f'(r_2) * \Delta\; r_2 [/mm]
[mm]0=(4*5^{-0,5} *10^{0,5} + 50 ) * \Delta\; r_1 +(4 * 5^{0,5} *10^{-0,5}) * \Delta\; r_2 [/mm]
so jetzt nach [mm] r_2 [/mm] auflösen
[mm]\Delta r_2 = 1*\bruch { 55,65685425} {27,82842712} [/mm]
[mm] r_2 [/mm] = 2
ist das richtig?
absulut kommt [mm] 1\bruch {2} {3} [/mm] raus
also wenn [mm] r_1 [/mm] auf 6 steigt kann [mm] r_2 [/mm] auf [mm] 8\bruch {1} {3} [/mm] sinken um eine gleichbleibende Produktionsmenge zu haben. (habe ich durch ausprobieren/ einsetzten in die P-Funktion erhalten)
Wie weit darf ein näherungsweise Ergebnis eigentlich abweichen, da 2 und [mm] 1\bruch {2} {3} [/mm] sich doch schon etwas unterscheiden.
Vielen dank schon mal!
PS: das Delta Dreieck habe ich in der Formel irgendwie nicht hinbekommen. Marc: Einfach einen Backslash vor Delta setzen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:19 Fr 27.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo BahrJan!
> Hier der Lösungsansatz.
> partielle Ableitung in [mm]r_1[/mm] Richtung * [mm]\Delta r_1[/mm] +
> partielle Ableitung in [mm]r_2[/mm] Richtung * [mm]\Delta r_2
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]x (r_1, r_2) = 8r_1^{0,5} r_2^{0,5} + 5 r_1 r_2[/mm]
>
> [mm]f '(r_1) = 4r_1^{-0,5} r_2^{0,5} + 5 r_2[/mm]
> [mm]f'(r_2)[/mm] =[mm] 4r_1 r_2^{-0,5} + 5r_1[/mm]
>
> [mm]dx = f' (r_1) * \Delta\; r_1 + f'(r_2) * \Delta\; r_2[/mm]
>
> [mm]0=(4*5^{-0,5} *10^{0,5} + 50 ) * \Delta\; r_1 +(4 * 5^{0,5} *10^{-0,5}) * \Delta\; r_2[/mm]
>
> so jetzt nach [mm]r_2[/mm] auflösen
> [mm]\Delta r_2 = \red{-}1*\bruch { 55,65685425} {27,82842712}[/mm]
> [mm]\red{\Delta r_2} = \red{-}2[/mm]
>
> ist das richtig?
Bis auf die von mir "rot angekreideten" Flüchtigkeitsfehler schon. 
> absulut kommt [mm]1\bruch {2} {3}[/mm] raus
> also wenn [mm]r_1[/mm] auf 6 steigt kann [mm]r_2[/mm] auf [mm]8\bruch {1} {3}[/mm]
> sinken um eine gleichbleibende Produktionsmenge zu haben.
> (habe ich durch ausprobieren/ einsetzten in die P-Funktion
> erhalten)
> Wie weit darf ein näherungsweise Ergebnis eigentlich
> abweichen, da 2 und [mm]1\bruch {2} {3}[/mm] sich doch schon etwas
> unterscheiden.
Ich denke nicht, dass es da feste Regeln gibt. Es ist halt eine erste grobe Näherung, wenn man solche großen Sprünge zulässt wie hier.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:57 Fr 27.08.2004 | | Autor: | BahrJan |
Vielen Dank Stefan!
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