träge, zerlegt, verzweigt < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:36 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Docy |
Hallo,
ich hoffe mir kann jemand helfen, und zwar wir haben etwas definiert, nämlich:
p ist träge in A(m) (Menge der [mm] algebraischen\ganzen [/mm] Zahlen) falls p unzerlegbar in A(m).
p ist zerlegt in A(m) falls [mm] p=\pm R\overline{R} [/mm] in A(m), R, [mm] \overline{R} [/mm] nicht assoziativ zueinander.
p ist verzweigt in A(m) falls [mm] p=\pm R\overline{R} [/mm] in A(m), R, [mm] \overline{R} [/mm] sind assoziativ zueinander.
Dann haben wir folgende Bsp. gemacht, die ich nicht verstehe:
m=3:
Dann [mm] 5\in [/mm] A(m) träge, da [mm] x^2-3y^2=\pm [/mm] 5 keine Lösung hat
So, warum prüft man, ob [mm] x^2-3y^2=\pm [/mm] 5 eine Lösung hat??? Warum gerade diese Gleichung?
Gruß Docy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 Mi 27.02.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> p ist träge in A(m) (Menge der [mm]algebraischen\ganzen[/mm] Zahlen)
> falls p unzerlegbar in A(m).
> p ist zerlegt in A(m) falls [mm]p=\pm R\overline{R}[/mm] in A(m),
> R, [mm]\overline{R}[/mm] nicht assoziativ zueinander.
> p ist verzweigt in A(m) falls [mm]p=\pm R\overline{R}[/mm] in A(m),
> R, [mm]\overline{R}[/mm] sind assoziativ zueinander.
>
> Dann haben wir folgende Bsp. gemacht, die ich nicht
> verstehe:
> m=3:
> Dann [mm]5\in[/mm] A(m) träge, da [mm]x^2-3y^2=\pm[/mm] 5 keine Lösung hat
>
> So, warum prüft man, ob [mm]x^2-3y^2=\pm[/mm] 5 eine Lösung hat???
> Warum gerade diese Gleichung?
Kann es ein,daß du mit A(m) in Wirklichkeit [mm] \IQ(\wurzel{m}) [/mm] meinst? Dann sind die Elemente von der Form z = x + y[mm]\wurzel{3}[/mm], und es gibt eine Abbildung z [mm] \mapsto \overline{z} [/mm] mit [mm] \overline{z} [/mm] = x - y[mm]\wurzel{3}[/mm]. Die Norm N(z) = [mm] z\overline{z} [/mm] hat die Eigenschaft N(uv) = N(u)N(v), für Elemente aus [mm] \IQ, [/mm] z. B. p, ist N(p) = [mm] p^{2}. [/mm] Bei einer nichttrivialen Zerlegung muß dann N(u) = [mm]\pm[/mm]p sein. Das ist deine Gleichung.
(Vorher müßte man der Vollständigkeit halber noch klären, was die ganzen Elemente und was die Einheiten sind.)
Soviel in Kürze
Dieter
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