trägheitsmoment einer dünnwänd < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 So 06.03.2005 | | Autor: | laura116 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo.
bei meiner frage handelt es sich um die herleitung des trägheitsmomentes einer dünnwändigen hohlkugel mit der grundlage der der trägheitsformel für eine kugel.
also wie kommt man von [mm] j=2/5*m1*r1^2-2/5*m2*r2^2 [/mm] auf die formel
[mm] j=2/3*m*r^2?
[/mm]
es wäre super wenn mir einer helfen könnte.
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Hallo laura116
beachte daß die Massen sich wie die Kuben der Radien zueinander verhalten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Mi 09.03.2005 | | Autor: | laura116 |
ich habe probiert es so zu lösen, doch komme der lösung nicht näher. wäre deshalb über eine ausführlichere antwort sehr dankbar.
laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Fire21 |
Hallo,
hier eine Lösung zu deinem Problem:
Berechne zuerst das Trägheitsmoment einer Hohlkugel mit Außenraidus [mm] r_{a} [/mm] und Innenradius [mm] r_{i}; [/mm] betrachte dazu die (Voll)kugeln [mm] K_{a} [/mm] mit Radius [mm] r_{a}, [/mm] Masse [mm] m_{a} [/mm] und [mm] K_{i} [/mm] mit Raidus [mm] r_{i}, [/mm] Masse [mm] m_{i}, [/mm] damit gilt:
[mm] I=\bruch{2}{5}m_{a}r_{a}^{2}-\bruch{2}{5}m_{i}r_{i}^{2} [/mm]
Beachte nun:
Sei [mm] m=m_{a}-m_{i} [/mm] die Masse der Hohlkugel, dann gilt:
[mm]\bruch{m_{a}}{m}=\bruch{r_{a}^{3}}{r_{a}^{3}-r_{i}^{3}}[/mm]
analog für [mm] m_{i}.
[/mm]
Einsetzen ergibt:
[mm] I=\bruch{2}{5}*m*\bruch{r_{a}^{5}-r_{i}^{5}}{r_{a}^{3}-r_{i}^{3}}[/mm]
Um das Trägheitsmoment eines (infinitesimal-)dünnen Kugelschale auszurechnen , setze für den Innenradius [mm] r_{i}=r [/mm] und [mm] r_{a}=r+d, [/mm] dann ergibt sich das Trägheitsmoment aus:
[mm] I=lim_{d\to 0} \bruch{2}{5}*m*\bruch{(r+d)^{5}-r^{5}}{(r+d)^{3}-r^{3}}[/mm]
Durch explizites Ausrechnen erhält man:
[mm] I=lim_{d\to 0} \bruch{2}{5}*m*\bruch{5r^{4}+10r^{3}d+10r^{2}d^{2}+5rd^{3}+d^{4}}{3r^{2}+3rd+d^{2}} [/mm]
Grenzübergang:
[mm] I=\bruch{2}{5}*m*\bruch{5}{3}*r^{2} [/mm]
also
[mm] I=\bruch{2}{3}*m*r^{2}[/mm]
[mm]\Box[/mm]
MfG
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