transformation 2d < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo arbeitsamt,
> Skizzieren Sie, nach Durchführung von
> Hauptachsentransformationen, die durch die Gleichungen
>
> a) [mm]5x_1^2-6x_1x_2+5x_2^2=32[/mm]
>
> b) [mm]2x_1^2+8x_1x_2-4x_2^2=-12[/mm]
>
> bestimmten Menge im [mm]R^2.[/mm] Geben Sie die verwendeten
> Drehmatrizen explizit an.
> a) [mm]5x_1^2-6x_1x_2+5x_2^2=32[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]A=\pmat{ 5 & -3 \\ -3 & 5 }[/mm]
>
>
> Eigenwerte bestimmen:
>
> [mm]det(A-\lambdaE)=0[/mm]
>
> [mm]det\pmat{ 5-\lambda & -3 \\ -3 & 5-\lambda }= \lambda^2-10\lambda+16[/mm]
>
> [mm]\lambda_1=[/mm] -2
> [mm]\lambda_2=[/mm] -8
>
Ich bekomme hier positve Eigenwerte.
> Eigenvektoren bestimmen:
>
> [mm](A-\lambda_1E)*V=0[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 7 & -3 \\ -3 & 7 }*\vektor{x \\ y}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 7x-3y=0
>
> x=1 und daraus folgt y= [mm]\bruch{7}{3}[/mm]
>
> erstes Eigenvektor: [mm]V_1=\vektor{1 \\ \bruch{7}{3}}[/mm]
>
> [mm](A-\lambda_2E)*V=0[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 13 & -3 \\ -3 & 13 }*\vektor{x \\ y}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 13x -3y=0
>
> x=1 und daraus folgt y= [mm]\bruch{13}{3}[/mm]
>
> zweiter Eigenvektor: [mm]V_2= \vektor{1 \\ \bruch{13}{3}}[/mm]
>
> [mm]V=V_1V_2= \pmat{ 1 & 1 \\ \bruch{7}{3} & \bruch{13}{3}}[/mm]
>
> ist das soweit richtig?
Gruss
MathePower
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ahh stimmt. ich habe bei der quadratischen ergänzung die erste binomische formel statt der zweiten benutzt
habe es jetzt korregiert:
Eigenwerte bestimmen:
[mm] det(A-\lambda*E)=0
[/mm]
[mm] det\pmat{ 5-\lambda & -3 \\ -3 & 5-\lambda }= \lambda^2-10\lambda+16
[/mm]
[mm] \lambda_1= [/mm] 8
[mm] \lambda_2= [/mm] 2
Eigenvektoren bestimmen:
[mm] (A-\lambda_1E)*V=0
[/mm]
[mm] \pmat{ -3 & -3 \\ -3 & -3 }*\vektor{x \\ y}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] -3x-3y=0
x=1 und daraus folgt y= -1
erstes Eigenvektor: [mm] V_1=\vektor{1 \\ -1}
[/mm]
[mm] (A-\lambda_2E)*V=0
[/mm]
[mm] \pmat{ 3 & -3 \\ -3 & 3 }*\vektor{x \\ y}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 3x -3y=0
x=1 und daraus folgt y= 1
zweiter Eigenvektor: [mm] V_2= \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
[mm] V=V_1V_2= \pmat{ 1 & 1 \\ \ -1 & 1}
[/mm]
so bis hierin sollte alles richtig sein oder?
ich habe noch eine trivale Frage:
haben die eigenvektoren immer die selben werte? nur die vorzeichen sind unterschiedlich?
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Hallo arbeitsamt,
> ahh stimmt. ich habe bei der quadratischen ergänzung die
> erste binomische formel statt der zweiten benutzt
>
> habe es jetzt korregiert:
>
>
> Eigenwerte bestimmen:
>
> [mm]det(A-\lambdaE)=0[/mm]
>
> [mm]det\pmat{ 5-\lambda & -3 \\ -3 & 5-\lambda }= \lambda^2-10\lambda+16[/mm]
>
> [mm]\lambda_1=[/mm] 8
> [mm]\lambda_2=[/mm] 2
>
> Eigenvektoren bestimmen:
>
> [mm](A-\lambda_1E)*V=0[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -3 & -3 \\ -3 & -3 }*\vektor{x \\ y}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] -3x-3y=0
>
> x=1 und daraus folgt y= -1
>
> erstes Eigenvektor: [mm]V_1=\vektor{1 \\ -1}[/mm]
>
> [mm](A-\lambda_2E)*V=0[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 3 & -3 \\ -3 & 3 }*\vektor{x \\ y}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 3x -3y=0
>
> x=1 und daraus folgt y= 1
>
> zweiter Eigenvektor: [mm]V_2= \vektor{1 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]V=V_1V_2= \pmat{ 1 & 1 \\ \ -1 & 1}[/mm]
>
> so bis hierin sollte alles richtig sein oder?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ich habe noch eine trivale Frage:
> haben die eigenvektoren immer die selben werte? nur die
> vorzeichen sind unterschiedlich?
>
Nein. Was man sagen kann ist, daß Eigenvektoren zu
unterschiedlichen Eigenwerten orthogonal zueinander sind.
Gruss
MathePower
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ok danke
bei der hauptachsentransformation muss die matrix aus den beiden eigenvektoren orthogonal sein
also
[mm] V=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 } \Rightarrow v=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 } [/mm]
[mm] V^T= \bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 } [/mm]
[mm] V^T*A*V=D
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 } *\pmat{ 5 & -3 \\ -3 & 5 }*\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 8 & 0 \\ 0 & 2}
[/mm]
ist das so weit erst mal richtig? ich weiß jetzt auch nicht genau wie es weiter geht. kann mir jemand helfen?
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Hallo arbeitsamt,
>
> ok danke
>
> bei der hauptachsentransformation muss die matrix aus den
> beiden eigenvektoren orthogonal sein
>
> also
>
> [mm]V=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 } \Rightarrow v=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }[/mm]
>
>
> [mm]V^T= \bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }[/mm]
>
> [mm]V^T*A*V=D[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 } *\pmat{ 5 & -3 \\ -3 & 5 }*\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 8 & 0 \\ 0 & 2}[/mm]
>
> ist das so weit erst mal richtig? ich weiß jetzt auch
Ja, das ist richtig,
> nicht genau wie es weiter geht. kann mir jemand helfen?
Stelle jetzt die transformierte Gleichung auf und skizziere sie.
Gruss
MathePower
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> Stelle jetzt die transformierte Gleichung auf
ich weiß nicht wirklich wie das geht
32= [mm] x^T [/mm] * A* x = [mm] x^T [/mm] (V D [mm] V^T) [/mm] x
[mm] y=V^T*x [/mm] bzw x= y*V
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] x^T [/mm] (V D [mm] V^T) [/mm] y*V
ich habe noch nicht verstanden wie ich die transformierte Gleichung aufstelle. eine etwas ausführlichere antwort wird benötigt
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Hallo arbeistamt.
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> > Stelle jetzt die transformierte Gleichung auf
>
> ich weiß nicht wirklich wie das geht
>
> 32= [mm]x^T[/mm] * A* x = [mm]x^T[/mm] (V D [mm]V^T)[/mm] x
>
> [mm]y=V^T*x[/mm] bzw x= y*V
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]x^T[/mm] (V D [mm]V^T)[/mm] y*V
>
> ich habe noch nicht verstanden wie ich die transformierte
> Gleichung aufstelle. eine etwas ausführlichere antwort
> wird benötigt
Setze doch einfach:
[mm]x=\pmat{x_{1} \\ x_{2}}=V*\pmat{y_{1} \\ y_{2}}=V*y[/mm]
und setze das in die Gleichung
[mm]32= x^T * A* x [/mm]
ein.
Gruss
MathePower
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ich habe das jetzt so gemacht:
32= [mm] x^T [/mm] *A*x = [mm] y^T *V^T [/mm] A * V* y = [mm] y^T (\pmat{ 8 & 0 \\ 0 & 2 }y
[/mm]
= [mm] 8y_1^2+2y_2^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] 8y_1^2+2y_2^2 [/mm] = 32
[mm] \bruch{y_1^2}{4}+\bruch{y_2^2}{16}=1
[/mm]
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Hallo arbeitsamt,
> ich habe das jetzt so gemacht:
>
> 32= [mm]x^T[/mm] *A*x = [mm]y^T *V^T[/mm] A * V* y = [mm]y^T (\pmat{ 8 & 0 \\ 0 & 2 }y[/mm]
>
> = [mm]8y_1^2+2y_2^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]8y_1^2+2y_2^2[/mm] = 32
>
> [mm]\bruch{y_1^2}{4}+\bruch{y_2^2}{16}=1[/mm]
Das ist ok.
Gruss
MathePower
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habe jetzt mit 1b angefangen
[mm] 2x_1^2+8x_1x_2-4x_2^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \pmat{ 2 & 4 \\ 4 & -4 }
[/mm]
eigenwerte bestimmen:
[mm] det(A-\lambdaE)=0= \lambda^2+2\lambda-24
[/mm]
[mm] \lambda_1= [/mm] 4 und [mm] \lambda_2= [/mm] -6
eigenvektore bestimmen:
[mm] (A-\lambda_1E)v=0
[/mm]
[mm] \pmat{ -2 & 4\\ 4 & -8 }\vektor{x \\ y}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] -2x+4y=0
x= 1 daraus folgt y= [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] v_1= \vektor{1 \\ \bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] (A-\lambda_2E)v=0
[/mm]
[mm] \pmat{ 8 & 4\\ 4 & 2 }\vektor{x \\ y}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 8x+4y=0
x= 1 daraus folgt y=-2
[mm] v_2= \vektor{1 \\ -2}
[/mm]
V= [mm] v_1v_2= \pmat{ 1 & 1 \\ \bruch{1}{2} & -2 }
[/mm]
wie mache ich aus [mm] V=\pmat{ 1 & 1 \\ \bruch{1}{2} & -2 }
[/mm]
eine orthogonale matrix?
ich habe das immer so gemacht das die spaltenvektoren eine länge von 1 haben, aber hier haben beide spaltenvektoren unterschiedliche längen
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Hallo arbeitsamt,
> habe jetzt mit 1b angefangen
>
> [mm]2x_1^2+8x_1x_2-4x_2^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 2 & 4 \\ 4 & -4 }[/mm]
>
> eigenwerte bestimmen:
>
> [mm]det(A-\lambdaE)=0= \lambda^2+2\lambda-24[/mm]
>
> [mm]\lambda_1=[/mm] 4 und [mm]\lambda_2=[/mm] -6
>
> eigenvektore bestimmen:
>
> [mm](A-\lambda_1E)v=0[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -2 & 4\\ 4 & -8 }\vektor{x \\ y}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] -2x+4y=0
>
> x= 1 daraus folgt y= [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]v_1= \vektor{1 \\ \bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm](A-\lambda_2E)v=0[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 8 & 4\\ 4 & 2 }\vektor{x \\ y}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 8x+4y=0
>
> x= 1 daraus folgt y=-2
>
> [mm]v_2= \vektor{1 \\ -2}[/mm]
>
> V= [mm]v_1v_2= \pmat{ 1 & 1 \\ \bruch{1}{2} & -2 }[/mm]
>
>
> wie mache ich aus [mm]V=\pmat{ 1 & 1 \\ \bruch{1}{2} & -2 }[/mm]
>
> eine orthogonale matrix?
>
> ich habe das immer so gemacht das die spaltenvektoren eine
> länge von 1 haben, aber hier haben beide spaltenvektoren
> unterschiedliche längen
>
Da hast Du etwas falsch verstanden.
Die Matrix ist orthogonal, da die Spaltenvektoren orthogonal sind.
Jedoch ist sie nicht orthonormal, da ihre Spaltenvektoren nicht die
Länge 1 haben.
Gruss
MathePower
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aso ok
hier gilt dann immer noch [mm] V^{-1}=V^T [/mm] oder?
und bei 1a habe ich die orthogonale matrix in eine orthonormale matrix umgeformt, aber ich hätte auch mit der orthogonalen matrix weiter rechnen können stimmts?
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> aso ok
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> hier gilt dann immer noch [mm]V^{-1}=V^T[/mm] oder?
Hallo,
diese Frage könntest Du Dir selbst beantworten, indem Du [mm] V^{-1} [/mm] berechnest und mit [mm] V^{T} [/mm] vergleichst: nein.
>
> und bei 1a habe ich die orthogonale matrix in eine
> orthonormale matrix umgeformt, aber ich hätte auch mit der
> orthogonalen matrix weiter rechnen können stimmts?
Nein.
LG Angela
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ok ich habe die matrix jetzt so umgeformt, dass die spaltenvekoten die länge 1 haben
[mm] V_1= \vektor{1 \\ \bruch{1}{2}}\Rightarrow \bruch{2}{\wurzel{5}} \vektor{1 \\ \bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] v_2= \vektor{1 \\ -2}\Rightarrow \bruch{1}{\wurzel{5}}\vektor{1 \\ -2}
[/mm]
[mm] V=\pmat{ \bruch{2}{\wurzel{5}} & \bruch{1}{2\wurzel{5}} \\ \bruch{2}{\wurzel{5}} & \bruch{-2}{\wurzel{5}} }
[/mm]
das kann man so machen oder? ich kann jetzt mit dieser matrix weiter rechnen?
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> ok ich habe die matrix jetzt so umgeformt, dass die
> spaltenvekoten die länge 1 haben
>
> [mm]V_1= \vektor{1 \\ \bruch{1}{2}}\Rightarrow \bruch{2}{\wurzel{5}} \vektor{1 \\ \bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]v_2= \vektor{1 \\ -2}\Rightarrow \bruch{1}{\wurzel{5}}\vektor{1 \\ -2}[/mm]
>
> [mm]V=\pmat{ \bruch{2}{\wurzel{5}} & \bruch{1}{2\wurzel{5}} \\ \bruch{2}{\wurzel{5}} & \bruch{-2}{\wurzel{5}} }[/mm]
Hallo,
richtig wäre
[mm] V=\pmat{ \bruch{2}{\wurzel{5}} & \bruch{1}{\wurzel{5}} \\ \bruch{1}{\wurzel{5}} & \bruch{-2}{\wurzel{5}} }
[/mm]
LG Angela
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> das kann man so machen oder? ich kann jetzt mit dieser
> matrix weiter rechnen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:03 Do 26.12.2013 | | Autor: | arbeitsamt |
da ist ein tippfehler von mir. den hast du wahrscheinllich auch so übernommen
der zweiten spaltenvekotr müsste heißen [mm] v_2=(\bruch{1}{\wurzel{5}}; \bruch{-2}{\wurzel{5}})
[/mm]
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> > wie mache ich aus [mm]V=\pmat{ 1 & 1 \\ \bruch{1}{2} & -2 }[/mm]
>
> >
> > eine orthogonale matrix?
> >
> > ich habe das immer so gemacht das die spaltenvektoren eine
> > länge von 1 haben, aber hier haben beide spaltenvektoren
> > unterschiedliche längen
> >
>
>
> Da hast Du etwas falsch verstanden.
>
> Die Matrix ist orthogonal,
Hallo,
zwar sind ihre Spaltenvektoren orthogonal,
aber Matrizen heißen "orthogonal", wenn ihre Spaltenvektoren orthonormal sind.
Und nur in diesem Fall ist die inverse Matrix die transponierte.
LG Angela
> da die Spaltenvektoren
> orthogonal sind.
> Jedoch ist sie nicht orthonormal, da ihre Spaltenvektoren
> nicht die
> Länge 1 haben.
>
>
> Gruss
> MathePower
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