transzendente zahlen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 So 13.01.2008 | | Autor: | bobby |
Hallo!
Kann mir jemand hierbei helfen, ich komme mit der Definition von Transzendenz irgenwie nicht recht klar:
Seien [mm] a,b\in\IC [/mm] transzendent über [mm] \IQ. [/mm] Zeige: a+b oder a*b (oder beides) sind transzendent.
Hilfe!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:22 Mo 14.01.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Kann mir jemand hierbei helfen, ich komme mit der
> Definition von Transzendenz irgenwie nicht recht klar:
>
> Seien [mm]a,b\in\IC[/mm] transzendent über [mm]\IQ.[/mm] Zeige: a+b oder a*b
> (oder beides) sind transzendent.
Überleg dir zunächst, daß [mm] a^{2} [/mm] und [mm] b^{2} [/mm] auch transzendent sind. Und dann untersuch mal [mm] (a+b)^{2}.
[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Mo 14.01.2008 | | Autor: | bobby |
also ich wuerde ausgehen vom beispiel mit e und pi:
e und pi sind transzendente zahlen, und e+pi und e*pi sind nicht beide algebraisch, (dh mindestens eines von beiden ist transzendent), denn sonst waeren ja e und pi nullstellen von [mm] x^{2}-(e+pi)*x+(e*pi)=0, [/mm] was aber hiesse, dass sie algebraisch sind und das ist ein widerspruch.
kann man das davon ausgehend nicht schon allgemein fuer a, b transzendent dann auch folgern?
aber kann man ueberhaupt rauskriegen, welches von beiden dann transzendent sein koennte (ob a+b oder a*b)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 Mo 14.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Bobby
> also ich wuerde ausgehen vom beispiel mit e und pi:
>
> e und pi sind transzendente zahlen, und e+pi und e*pi sind
> nicht beide algebraisch, (dh mindestens eines von beiden
> ist transzendent), denn sonst waeren ja e und pi
> nullstellen von [mm]x^{2}-(e+pi)*x+(e*pi)=0,[/mm] was aber hiesse,
> dass sie algebraisch sind und das ist ein widerspruch.
Genau.
> kann man das davon ausgehend nicht schon allgemein fuer a,
> b transzendent dann auch folgern?
Ja, das geht genauso.
> aber kann man ueberhaupt rauskriegen, welches von beiden
> dann transzendent sein koennte (ob a+b oder a*b)?
Nein, das geht i.A. nicht direkt, es haengt stark von den konkreten Werten von $a$ und $b$ ab. Wenn z.B. $b = -a$ ist, dann ist $a b$ transzendent, aber nicht $a + b = 0$, und wenn z.B. $b = [mm] \frac{1}{a}$ [/mm] ist, dann ist $a + b$ transzendent, aber nicht $a b = 1$.
LG Felix
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