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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:09 Mi 23.01.2008 | | Autor: | ganerc |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] eine zweimal differenzierbare Funktion mit
f''(x) + f(x) = 0
f(0) = 0
f'(0) = 0
Zu zeigen ist das f=0 gilt.
Hilfsfunktion: h(x) = [mm] f'(x)^2 [/mm] + [mm] f(x)^2
[/mm]
Und unter Verwendung obiger Aufgabe ist zu zeigen dass: Sind a,b [mm] \in \IR [/mm] und ist f: [mm] \IR->\IR [/mm] eine zweimal differenzierbare
Funktion mit:
f''(x)+ f(x) = 0
f(0) = a
f'(0) = b
so folgt f(x) = b*sin(x) + a*cos(x)
Hilfsfunktion: g(x)= f(x) - a * cos(x) - b * sin(x) |
Zum ersten Teil habe ich mir folgendes überlegt:
h'(x) = 2*f'(x)*f''(x) + 2f(x)*f'(x) = 2*f'(x)*(f''(x) + f(x))
Also h'(x)=0 und h(0)=0, damit ist h(x) also eine konstante Funktion. Aber wie bringt mich das meiner Aufgabe näher?
Zum zweiten Teil fällt mir leider nichts ein
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
du hast es doch fast geschafft.
wenn h eine konstante Funktion ist, dann solltest du dich jetzt fragen, welche konstante Funktion sie ist (h(x) = 0 oder h(x) = 1)?
> Zum zweiten Teil fällt mir leider nichts ein
Den würde ich ganz ähnlich machen (man könnte es aber auch über einen puren Rechenweg machen, falls ersteres nicht funktioniert). Deine Hilfsfunktion ist ja g(x) = f(x) - acosx - b sinx, d.h. wenn g konstant wäre und g(x) = 0 wäre, dann würde ja gelten: 0 = f(x) - acosx - bsinx. Fällt dir daran etwas auf?
Grüße, Steffen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Mi 23.01.2008 | | Autor: | ganerc |
Ok 1 hab ich nun hinbekommen :)
Zu 2. meinst du ich soll das ähnlich versuchen. Also g(x) differenzieren?
das wäre: g'(x) = f'(x) - cos(x) + a*sin(x) - sin(x) + b*cos(x)
Leider sehe ich hier nicht das sich das schön vereinfacht. Wie könnte ich denn sonst noch zeigen das g(x) konstant ist? Und wo genau nutz ich jetzt Aufgabenteil 1?
Und auffallen tut mir das: 0 = f(x) - a*cos(x) - b*sin(x) [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = b*sin(x) + a*cos(x)
was ja zu beweisen wäre also das wär gut ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 Mi 23.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ok 1 hab ich nun hinbekommen :)
>
> Zu 2. meinst du ich soll das ähnlich versuchen. Also g(x)
> differenzieren?
>
> das wäre: g'(x) = f'(x) - cos(x) + a*sin(x) - sin(x) +
> b*cos(x)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]g'(x) =f'(x) +a\sin x -b\cos x[/mm]
So, und nun rechne mal aus:
[mm]g''(x) + g(x)[/mm]
[mm] g(0)[/mm]
[mm]g'(0)[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Do 24.01.2008 | | Autor: | ganerc |
so dann habe ich:
g(0)=f(0)-b*sin(0)-a*cos(0)
g(0)=f(0)-a => g(0)=0
g'(x)=f'(x)-b*cos(x)+a*sin(x)
g'(0)=f'(0)-b => g'(0)=0
und g''(x) ist g''(x)=f''(x)+a*cos(x)+b*sin(x)
g''(x)+g(x)=f''(x)+a*cos(x)+b*sin(x)-f(x)-b*sin(x)-a*cos(x) => f''(x) + f(x)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Do 24.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> so dann habe ich:
>
> g(0)=f(0)-b*sin(0)-a*cos(0)
> g(0)=f(0)-a => g(0)=0
>
> g'(x)=f'(x)-b*cos(x)+a*sin(x)
> g'(0)=f'(0)-b => g'(0)=0
>
> und g''(x) ist g''(x)=f''(x)+a*cos(x)+b*sin(x)
>
> g''(x)+g(x)=f''(x)+a*cos(x)+b*sin(x)-f(x)-b*sin(x)-a*cos(x)
> => f''(x) + f(x)
Also was folgt für g nach Teil a?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Do 24.01.2008 | | Autor: | ganerc |
Also bei Teil a hatte ich das Ergbnis:
aus h'(x) = 0 für alle x folgt, daß h konstant ist.
Weil h(0) = 0, muß diese Konstante gleich 0 sein.
Aus h(x) = [mm] f(x)^2 [/mm] + [mm] f'(x)^2 [/mm] = 0 folgt f(x) = f'(x) = 0
Also folgt aus a) das g konstant ist, und diese Konstante 0 ist. Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Do 24.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also bei Teil a hatte ich das Ergbnis:
> aus h'(x) = 0 für alle x folgt, daß h konstant ist.
> Weil h(0) = 0, muß diese Konstante gleich 0 sein.
> Aus h(x) = [mm]f(x)^2[/mm] + [mm]f'(x)^2[/mm] = 0 folgt f(x) = f'(x) = 0
>
> Also folgt aus a) das g konstant ist, und diese Konstante 0
> ist. Stimmt das?
Ja, das ist richtig.
Viele Grüße
Rainer
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