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Hallo,
ich habe folgende Gleichung:
f(x) = [mm] (sinx)^{2} [/mm] + 2cosx
Von dieser möchte ich die Nullstellen bestimmen. Ich habe die Gleichung so umgeformt:
f(x) = [mm] -(cosx)^{2} [/mm] + 2cosx + 1
Dann habe ich cosx nach x substituiert:
[mm] -x^2+2x+1 [/mm] und davon die Nullstellen ermittelt:
[mm] \bruch{-2\pm\wurzel{8}}{-2}
[/mm]
das ergibt -0,4142... und 2,4142...
Der 2te Wert ist uninteressant, da ja Kosinus nie einen Wert > 1 annimmt.
mit arccos(-0,4142...) kommt man auf 1,9978... was eine Nullstelle der o.g. Funktion darstellt. Da die Funktion [mm] 2\pi [/mm] periodisch ist, wiederholt sich das ganze immer bei [mm] 0,63594...*\pi [/mm] + [mm] 2k\pi, k\in\IZ
[/mm]
Soweit ist das korrekt denke ich oder?
Wenn ich mir nun aber die Funktion in einem Graph anschaue, sehe ich das es pro Periode noch eine 2te Nullstelle (bei ~4,2) gibt.
Die Kosinus Funktion nimmt ja den Wert -0,4142 2-mal pro Periode an, d.h. arccos(-0,4142) müsste 2 verschiedene Werte ergeben, doch wie komme ich auf den anderen Wert? Also wie bekomme ich heraus, an welchen beiden Stellen die Kosinus Funktion den Wert -0,4142 annimmt?
Grüße,
nitro
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Mi 09.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Da stand Quark
FRED
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> Die von Dir gefundene Nullstelle nenne ich mal [mm]x_0,[/mm]
>
> also
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> [mm]x_0=arccos(1-\wurzel{2}) \approx ~1,9978[/mm]
>
> Dann ist doch [mm]x_0+2 \pi \approx ~4,28[/mm]
Ich komme bei 1,9978 + 2 [mm] \pi [/mm] auf [mm] \approx [/mm] 8,28. Das stellt zwar auch wieder eine Nullstelle dar, jedoch eine in der nächsten Periode.
>
> [mm]cos(x_0) =cos(x_0+2 \pi) \approx ~-0,4142[/mm]
>
> FRED
Es geht ja darum, dass die Kosinusfunktion den Wert -0,4142 2-mal pro Periode annimmt, 1 mal bei 1,9978 (oder ~ 0,635 [mm] \pi) [/mm] und dann noch ein zweites mal kurz vor [mm] \bruch{3}{2}\pi
[/mm]
Und ich weiß aber eben nicht wie ich auf diesen 2ten Wert komme.
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Hallo
> Es geht ja darum, dass die Kosinusfunktion den Wert -0,4142
> 2-mal pro Periode annimmt, 1 mal bei 1,9978 (oder ~ 0,635
> [mm]\pi)[/mm] und dann noch ein zweites mal kurz vor [mm]\bruch{3}{2}\pi[/mm]
>
> Und ich weiß aber eben nicht wie ich auf diesen 2ten Wert
> komme.
Nutze dazu die Symmetrie-Eigenschaft der Kosinusfunktion: cos(x)=-cos(x)
Noch ne Anmerkung: $arccos:[-1, [mm] 1]\to[0, \pi]$ [/mm] spuckt dir die fehlenden Lösung nicht aus, da er nur Werte zwischen 0 und [mm] \pi [/mm] annimmt. Da eine Periode aber die Länge [mm] 2\pi [/mm] hast, musst du dir ein paar extra Gedanken machen.
Kamaleonti
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