tschebyscheff-polynom < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | zeige, dass das k-te Tschebyscheff-Polynom für [mm] |x|\ge1 [/mm] berechnen lässt mittels
[mm] t_k(x)=\bruch{1}{2}((x+\wurzel{x^2-1})^k+(x+\wurzel{x^2-1})^{-k}) [/mm] |
hallo zusammen,
kann mir jemand bei dieser aufgabe einen tipp geben wie ich da herangehen soll?
muss ich da evtl. Induktion anwenden um zu zeigen das die k-te Polynom sich berechnen lässt?
in der Vorl. haben die n-te Tschebyscheff-Polynom folg. def.
[mm] T_n(x)=cos(narccos(x)), [/mm] x [mm] \in[-1,1]
[/mm]
aber das gilt doch nur wenn x in diesen intervall liegt. in der aufgabe betrachten wir ein x das außerhalb dieses intervall liegt, daher ist die formel nicht anwendbar (falls benötigt), oder?
gruß,
questionpeter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:37 Mi 12.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> zeige, dass das k-te Tschebyscheff-Polynom für [mm]|x|\ge1[/mm]
> berechnen lässt mittels
>
> [mm]t_k(x)=\bruch{1}{2}((x+\wurzel{x^2-1})^k+(x+\wurzel{x^2-1})^{-k})[/mm]
> hallo zusammen,
> kann mir jemand bei dieser aufgabe einen tipp geben wie
> ich da herangehen soll?
> muss ich da evtl. Induktion anwenden um zu zeigen das die
> k-te Polynom sich berechnen lässt?
>
> in der Vorl. haben die n-te Tschebyscheff-Polynom folg.
> def.
> [mm]T_n(x)=cos(narccos(x)),[/mm] x [mm]\in[-1,1][/mm]
>
> aber das gilt doch nur wenn x in diesen intervall liegt. in
> der aufgabe betrachten wir ein x das außerhalb dieses
> intervall liegt, daher ist die formel nicht anwendbar
> (falls benötigt), oder?
Es gilt
[mm] $T_n(x)=cos\left(n \, arccos x\right)$ [/mm] für $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$
und
[mm] $T_n(x)=cosh\left(n \, {\rm arcosh}(x) \right)$ [/mm] für $|x| > 1 $
FRED
>
> gruß,
> questionpeter
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Do 13.11.2014 | | Autor: | Nullum |
Hallo,
ich sitze vor der selben Aufgabe, uns Frage mich was mir die "cosh Darstellung" konkret bringt? Wie hast du die Aufgabe gelöst questionpeter? Habe es über Induktion versucht, also dass die Darstellung aus der Aufgabe die Rekursionsgleichung erfüllt, klappt aber nicht!
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Hi, ich sitze gerade daran. leider konnte ich mit fred97 tipps nicht konkret was anfangen da ich nicht wusste wie ich sie verwenden soll mit hilfe der aufgabenstellung. daher versuche ich gerade mit der formel [mm] T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x) [/mm] in dem ich für den geg. [mm] T_k [/mm] einsetze.
und ich hoffe jemand kann mir sagen ob ich vollkommen den falschen weg einschlage bzw. richtigen. und falls ja, ist es nur über die formel die fred97 angegeben hat, nur möglich?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:51 Do 13.11.2014 | | Autor: | Nullum |
Also ich bin irgendwie bei sowas:
Induktionsschritt, d.h.
[mm]T(k+1)=2*x*T(k)-T(k-1)=
0.5*((x+\wurzel{x^2-1})^{k+1}+(x+\wurzel{x^2-1})^{-(k+1)}[/mm]
Das soll ja gelten, also Darstellung aus der Aufgabenstellung in die Rekursion einsetzen:
[mm]x*\bruch{((x+\wurzel{^2-1})^{2*k})+1)}{x+\wurzel{x^2-1})^{k}}-0.5\bruch{(x+\wurzel{x^2-1})^{(2*k-1)}+(x+\wurzel{x^2-1})}{(x+\wurzel{x^2-1})^{k}}[/mm]
[mm]= \bruch{2x*(x+\wurzel{x^2-1})^{2*k}+2x-(x+\wurzel{x^2-1})^{2*k-1}-(x+\wurzel{x^2-1})}{2*(x+\wurzel{x^2-1})^{k}}[/mm]
glaube es stimmt so, bringt mich nur nicht weiter!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 15.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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