(Über-)Abzählbarkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:17 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ihr!
Hätte da mal ne Frage zur Abzählbarkeit und so.
Abzählbar bedeutet doch, dass man alle Elemente einer Menge abzählen kann, also dass man ein System angeben kann, wie man alle Elemente auf jeden Fall irgendwann einmal erwischt, selbst wenn die Menge unendlich ist, oder? (Das geht dann bei den rationalen Zahlen nach diesem Schema immer so im Zickzack oder wie man das nennt.)
Und überabzählbar heißt dann einfach, dass es kein solches "System" gibt?
Und gelten diese Definitionen nur für unendliche Mengen oder kann es auch eine endliche, überabzählbare Menge geben? Eigentlich nicht, oder?
Sorry, das ist eigentlich Ana 1 Stoff, aber im Moment scheint es bei uns auch nicht ganz unbedeutend zu sein. Würde mich halt mal interessieren, und vielleicht hilft's mir ja weiter...
Viele Grüße und gute Nacht 
Bastiane
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:38 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Bastiane,
> Hätte da mal ne Frage zur Abzählbarkeit und so.
> Abzählbar bedeutet doch, dass man alle Elemente einer
> Menge abzählen kann, also dass man ein System angeben kann,
Ein bisschen unglücklich, den zu erklärenden Begriff in der Erklärung selbst zu benutzen.
> wie man alle Elemente auf jeden Fall irgendwann einmal
> erwischt, selbst wenn die Menge unendlich ist, oder? (Das
> geht dann bei den rationalen Zahlen nach diesem Schema
> immer so im Zickzack oder wie man das nennt.)
Im Prinzip hast du Recht, aber man kann es nur etwas genauer erklären.
Es gibt folgende Definitionen:
Eine Menge A ist (höchstens) abzählbar, wenn es eine surjektive Abbildung [mm] $\IN\mapsto [/mm] A$ gibt (oder wenn [mm] $A=\emptyset$).
[/mm]
A heißt abzählbar unendlich, wenn es eine bijektive Abbildung [mm] $\IN\mapsto [/mm] A$ gibt.
A heißt überabzählbar, wenn A nicht abzählbar ist,
Man kann sich die Abzählbarkeit einer Menge A also in etwa so vorstellen, dass man alle Element mit einer natürlichen Zahl durchnummerieren kann -- wenn die natürlichen Zahlen dazu ausreichen, um alle Element von A zu treffen, dann ist A abzählbar.
> Und überabzählbar heißt dann einfach, dass es kein solches
> "System" gibt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und gelten diese Definitionen nur für unendliche Mengen
> oder kann es auch eine endliche, überabzählbare Menge
> geben? Eigentlich nicht, oder?
Stimmt, jede endliche Menge ist (höchstens) abzählbar.
Viele Grüße,
Marc
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