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Hallo ihr Lieben,
ich hab da ein kleines Problem:
Ich soll zeigen, daß die Potenzmenge der nat. zahlen nicht abzählbar ist. Als Hinweis steht auf dem Zettel folgendes:
Charakterisieren Sie jede Teilmenge M von N durch ihre Indikatorfunktion:
M : [mm] \IN \to [/mm] {0,1}
n [mm] \mapsto [/mm] 0 falls n [mm] \not\in [/mm] M
n [mm] \mapsto [/mm] 1 falls n [mm] \in [/mm] M
Mir fehlt zu dieser Aufgabe irgendwie alles, ich hab nichtmal nen anständigen Ansatz... Wer kann mir da helfen bitte????
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Felix |
Hallo!
Wie erfreulich jemanden aus Hamburg vorzufinden.
Ich bin zwar mit meinem Matheteil soweit durch, aber komme trotzdem immer mal wieder gerne ins Geomatikum. 
Nundenn, mal zu Deinem Problem, zu dem ich mal _versuchen_ möchte, einen Tipp zu geben bzw. "mitzudenken":
Eine Menge A ist ja abzählbar, wenn es eine Bijektion zwischen [mm] \IN [/mm] und A gibt.
Du musst hier somit zeigen, dass keine Bijektion zwischen der Menge der natürlichen Zahlen [mm] \IN [/mm] und ihrer Potenzmenge [mm] \cal{P}\left(\IN\right), [/mm] also der Menge aller Teilmengen von [mm] \IN, [/mm] existiert.
Als Hinweis ist gegeben, dass sich jede Teilmenge M von [mm] \IN [/mm] mit einer Indikatorfunktion (ich nenne sie mal [mm] I_{M}) [/mm] charakterisieren lässt.
Dabei ist der Funktionswert an der Stelle n [mm] (\in \IN) [/mm] gleich 1, wenn n [mm] \in [/mm] M, sonst 0.
Z.b. ist dann die charakteristische Funktion von der Teilmenge {1} :
[mm] I_{\{1\}}(1) [/mm] = 1
[mm] I_{\{1\}}(2) [/mm] = 0
[mm] I_{\{1\}}(3) [/mm] = 0
.
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.
Du kannst nun annehmen, es gäbe eine Bijektion [mm] \IN->\cal{P}\left(\IN\right), [/mm] dann sind auch die charakteristischen Funktionen abzählbar.
Mit dem 2. Diagonalargument von Cantor lässt sich das allerdings zum Widerspruch führen; Es gibt nämlich stets weitere, noch unberücksichtigte Funktionen, die Teilmengen charakterisieren. (siehe auch den Beweis, dass die reellen Zahlen nicht abzählbar sind; der funktioniert auch auf diese Weise).
Daraus könntest Du dann folgern, dass [mm] \cal{P}\left(\IN\right) [/mm] nicht abzählbar ist.
Hab dazu grad auch noch einen Link gefunden: ![[]](/images/popup.gif) klick
Hmja, hilft das?
Bye,
Felix
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So richtig klar ist mir das noch immer nicht...
Ich habe in einem anderen Artikel folgende Mengenkonstruktion gefunden, mit der man den widerspruch herbeiführen können soll....
Vielleicht kapier ich das ganze, wenn mir jemand diese Menge erklärt. Mir scheint die nämlich reichlich wirr...
Die Menge lautet:
M:= { [mm] x\inA [/mm] | x [mm] \not\in [/mm] f(x) } [mm] \in \cal{P}(A)
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 Fr 19.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Moin Bbiene!
Ich ffang shschon an zu stotottern :o)
Welche Mengen sind den in der Potenzmenge von [mm] \IN
[/mm]
als erstes die Menge [mm] \IN [/mm] selbst
die Nullmenge
die Menge der Quadratzahlen
Menge der geraden Zahlen, der ungeraden Zahlen
der Primzahlen usw.
nun mußt du Mengen finden in der z.B. eine Zahl n immer auftaucht und damit die Indikatorfunktion I(n) für alle diese Mengen 1 ist.
Die Menge dieser Mengen sollten günstigerweise gleichmächtig der Menge der natürlichen Zahlen sein, damit die bloße Existenz weiterer Mengen die Überabzählbarkeit der Potenzmenge zeigt.
Satz von der Eins:"Gut das wir sie haben."
betrachten wir also die Mengen [mm] M_{n}= [/mm] Menge der ganzahligen Teiler der Zahl n:
n=1 [mm] M_{1}=(1)\to I_{M_{1}}(1)=1 \overbrace{\to}^{agebildet}1
[/mm]
n=2 [mm] M_{2}=(1,2)\to I_{M_{2}}(1)=1 \to2
[/mm]
n=3 [mm] M_{3}=(1,2,3)\toI_{M_{3}}(1)=1 \to3
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 Fr 19.11.2004 | | Autor: | zwerg |
hmm bin wohl auf den senden Knopf gekommen
aber ich denke das System ist verstanden
du führst die Abbildungen fort und da 1 alle natürlichen Zahlen teilt und somit in jeder dieser mMengen vorhandden ist,
ist die Menge der [mm] M_{1} [/mm] - [mm] M_{\infty} [/mm] gleichmächtig der Menge der natürlichen Zahlen.
nun seien N aber die Menge der geraden Zahlen
[mm] \to I_{N}(1)=0
[/mm]
[mm] \to [/mm] es gibt wenigstens "eine Menge" mehr
[mm] \to [/mm] die Potenzmenge der natürlichen Zahlen ist überabzählbar.
ich hoffe da war jetzt zu verstehen
was du noch zu tun hast bring das in ein vernünftiges Mathematikerdeutsch, wenn es sowas gibt ;o).
stells nochmal hier rein und lass es überprüfen
MfG zwerg
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Super, jetzt hab ichs endlich verstanden... eigentlich ist die Aufgabe dann echt einfach lösbar... nur so eine blöde Menge muß man erstmal "übersetzen" können. Danke ihr zwei!
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