Überabzählbarkeit von $\IQ_p$ < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:53 Mo 25.09.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
könnte mir jemand erklären, wie man zeigen kann, dass die p-adischen Zahlen [mm] $\IQ_{p}$ [/mm] überabzählbar sind?
(oder eine Seite im Internet nennen, auf der es bewiesen worden ist)
Das Beweisprinzip für den reellen Fall steht im vor mir liegenden Forster und ich habe es auch verstanden. Aber wie genau geht man bei [mm] $\IQ_{p}$ [/mm] vor?
(Diese Frage wurde in keinem anderen Forum und auf keiner anderen Internetseite gestellt)
Mit freundlichem Dank
Denny
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Hallo und guten Morgen,
die p-adischen Zahlen (p prim) können dargestellt werden als Potenzreihen
[mm] (\pm 1)\cdot \sum_{i\in\IZ,i\leq n} a_ip^i
[/mm]
mit [mm] a_i\in \{0,\ldots , p-1\},
[/mm]
und wenn Du eine Abbildung [mm] f\colon\IN\to\IQ_p [/mm] hast, so kannst Du stets eine Zahl [mm] r\in\IQ_p\setminus \{f(n)|n\in\IN\} [/mm] konstruieren, indem Du zB
[mm] r=\sum_{i\in\IZ, i\leq 0}r_i\cdot p^i
[/mm]
mit [mm] r_i\neq [/mm] Koeffizient von f(-i) zum Index i
wählst - d.h. der Beweis funktioniert vollkommen analog zum dem für reelle Zahlen.
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mo 25.09.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo Mathias,
zunächst erst einmal vielen Dank für die Antwort. Dennoch ist für mich nicht sofort ersichtlich, dass das konstruierte r nicht in der Menge liegt. Könntest du mir das vielleicht noch etwas genauer erklären?
Ich danke Dir
Denny
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Hallo und guten Morgen,
das Argument ist wie bei Cantor: Die Darstellung von Elementen aus [mm] \IQ_p [/mm] als Potenzreihe [mm] \sum_{-\infty}^Na_i\cdot p^i
[/mm]
ist eindeutig, und das so konstruierte r unterscheidet sich von allen der abzählbar vielen Elemente [mm] f(n)\in\IQ_p,n\in\IN [/mm] an je mindestens
einer ''Stelle'', d.h. in dem Koeffizienten zu je mindestens einem i, nämlich i=-n.
Damit kann nicht r=f(n) für ein [mm] n\in\IN [/mm] gelten.
Gruss,
Mathias
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