Überabzählbarkeit von R < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi Leute,
hänge gerade vor einer alten Übungsaufgabe zur Wiederholung und habe einen absoluten Blackout und komme, wie so oft in Mathe, wieder einmal nicht weiter. Vielleicht kann mir von euch jemand bei folgender Aufgabe ein wenig helfen.
Beweisen Sie, dass die Menge [mm] \IR [/mm] x [mm] \IQ [/mm] überabzählbar ist. Argumentieren sie dabei indirekt.
Als Lösung hatte ich mir folgendes notiert:
Annahme: [mm] \IR [/mm] x [mm] \IQ [/mm] sei abzählbar
Sei f [mm] \IR [/mm] x [mm] \IQ \mapsto \IR, [/mm]
(x,q) [mm] \mapsto [/mm] x f ist surjektiv
[mm] \Rightarrow \IR [/mm] = f [mm] (\IR [/mm] x [mm] \IQ) [/mm] ist abzählbar. Dies ist jedoch ein Widerspruch.
Warum bilde ich in [mm] \IR [/mm] ab und nicht von [mm] \IN [/mm] auf [mm] \IR [/mm] x [mm] \IQ? [/mm] :-( Außerdem warum gilt folgende Aussage: "Die Menge [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] der irrationalen Zahlen ist überabzählbar, da sonst [mm] \IR [/mm] = [mm] \IQ \cup (\IR [/mm] \ [mm] \IQ) [/mm] abzählbar wäre."? :-(
Professor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Professor,
> Beweisen Sie, dass die Menge [mm]\IR[/mm] x [mm]\IQ[/mm] überabzählbar ist.
> Argumentieren sie dabei indirekt.
>
> Als Lösung hatte ich mir folgendes notiert:
>
> Annahme: [mm]\IR[/mm] x [mm]\IQ[/mm] sei abzählbar
> Sei f [mm]\IR[/mm] x [mm]\IQ \mapsto \IR,[/mm]
> (x,q) [mm]\mapsto[/mm] x f ist surjektiv
> [mm]\Rightarrow \IR[/mm] = f [mm](\IR[/mm] x [mm]\IQ)[/mm] ist abzählbar. Dies ist
> jedoch ein Widerspruch.
>
> Warum bilde ich in [mm]\IR[/mm] ab und nicht von [mm]\IN[/mm] auf [mm]\IR[/mm] x [mm]\IQ?[/mm]
Man bildet hier nach [mm] $\IR$ [/mm] ab, weil man so die Annahme [mm] $\IR \times \IQ$ [/mm] ist abzählbar zum Widerspruch führen will. Alternativ könnte man auch versuchen anzunehmen es gäbe eine bijektive Abbildung [mm] $\IN \to \IR \times \IQ$ [/mm] und dies zum Widerspruch führen.
> :-( Außerdem warum gilt folgende Aussage: "Die Menge [mm]\IR[/mm] \
> [mm]\IQ[/mm] der irrationalen Zahlen ist überabzählbar, da sonst [mm]\IR[/mm]
> = [mm]\IQ \cup (\IR[/mm] \ [mm]\IQ)[/mm] abzählbar wäre."? :-(
Naja, zu dem Zeitpunkt habt ihr ja sicherlich schon gezeigt gehabt, dass [mm] $\IQ$ [/mm] abzählbar und [mm] $\IR$ [/mm] überabzählbar ist. Angenommen [mm] $\IR\setminus \IQ$ [/mm] wäre abzählbar, dann müsste die Vereinigung [mm] $\IQ \cup \IR\setminus\IQ$ [/mm] abzählbar sein. Wegen [mm] $\IR=\IQ \cup \IR\setminus\IQ$ [/mm] wäre dass aber ein Widerspruch zur Überabzählbarkeit von [mm] $\IR$.
[/mm]
Gruß Max
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:38 Do 12.05.2005 | | Autor: | Professor |
Hi
wie könnte dann ein Beweis für die Abzählbarkeit bzw. Überabzählbarkeit von Mengen wie [mm] \IN [/mm] x [mm] \IQ, \IQ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] oder [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IN???
[/mm]
Ich vermute, dass in der Klausur am Freitag den 20.05.05 eine Abwandlung der anderen Aufgabe dran kommt.
Vielen Dank für alle Antworten.
Gruß
Prof.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Do 12.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> wie könnte dann ein Beweis für die Abzählbarkeit bzw.
> Überabzählbarkeit von Mengen wie [mm]\IN[/mm] x [mm]\IQ, \IQ[/mm] x [mm]\IZ[/mm] oder
> [mm]\IZ[/mm] x [mm]\IN???[/mm]
Genauso, wie du zeigst, daß die rationalen Zahlen abzählbar sind.
SEcki
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Hi,
nun, dass [mm] \IQ [/mm] abzählbar ist, wurde bei uns wie folgt bewiesen:
g: [mm] \IN \times \IN \to \IQ, [/mm] (k,n) [mm] \mapsto \bruch{f(k)}{n} [/mm] ist surjektiv.
Da [mm] \IN \times \IN [/mm] abzählbar ist, ist [mm] \IQ [/mm] abzählbar.
Jedoch wie sich dies auf meine obengenannten Mengen übertragen läßt, ist mir noch nicht ganz klar. Wie könnte ein solcher Beweis denn konkret aussehen? Wie könnte die konkrete Abbildungsvorschrift aussehen? Ist folgende Behauptung richtig? Sind sämtliche Teilmengen (...) von ... [mm] \times [/mm] ... [mm] \times [/mm] ... [mm] \times [/mm] ... abzählbar, so die ganze Menge ebenfalls abzählbar.
Danke für eure Hilfe.
Gruß
Prof.
PS: Besonderes Lob an alle die selbst an Feiertagen fleißig Antworten schreiben.
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 17:37 Mo 16.05.2005 | | Autor: | BigFella |
Genau. Hast du zwei Mengen [mm] \IM_{1} [/mm] und [mm] \IM_{2} [/mm] und du bildest das kartesische Produkt dieser Mengen [mm] \IM:=\IM_{1} \times \IM_{2}, [/mm] so ist [mm] \IM [/mm] auch wieder abzählbar. Die Begründung ist ganz einfach. Wir wissen es gibt von [mm] \IM_{1} [/mm] und [mm] \IM_{2} [/mm] jeweils eine Abbildung [mm] \phi_{1} [/mm] und [mm] \phi_{2} [/mm] nach [mm] \IN. [/mm] Daraus definieren wir uns eine Abbildung [mm] \phi [/mm] auf [mm] \IM [/mm] nach [mm] \IN [/mm] komponentenweise. Sei m [mm] \in \IM. [/mm] Also existiert [mm] m_{1} \in \IM_{1} [/mm] und [mm] m_{2} [/mm] in [mm] \IM_{2}, [/mm] so dass [mm] m=(m_{1},m_{2}). [/mm] Sei nun [mm] \phi(m):=2*\phi_{1}(m_{1})*(2*\phi_{2}(m_{2})+1). [/mm] Und schon haben wir eine abbildung auf [mm] \IN. [/mm] Naja dieses argument kann man dann natürlich auf beliebige endliche kartesische Produkte erweitern..
schönen feiertag
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Hi,
Danke für die schnelle Antwort. Mit den Teilmengen [mm] \IN, \IZ [/mm] und [mm] \IQ [/mm] ist mir das jetzt schon klarer geworden.
Wie ist das Ganze dann mit [mm] \IR?
[/mm]
Kann ich im Umkehrschluß folgendes behaupten?
"Ist eine Teilmenge meines kartesischen Produkts überabzählbar, so ist das gesamte kartesische Produkt ebenfalls überabzählbar."
Beispiel:
[mm] \IN \times \IR \times \IZ \times \IQ [/mm] ist überabzählbar, da [mm] \IR [/mm] überabzählbar ist.
Übrigens wofür steht [mm] phi_{1}?
[/mm]
Gruß
Prof.
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Hallo!
> "Ist eine Teilmenge meines kartesischen Produkts
> überabzählbar, so ist das gesamte kartesische Produkt
> ebenfalls überabzählbar."
>
> Beispiel:
>
> [mm]\IN \times \IR \times \IZ \times \IQ[/mm] ist überabzählbar, da
> [mm]\IR[/mm] überabzählbar ist.
>
Kurz und bündig: das kann man so sagen, ja!
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Hallo,
langsam aber sicher wird mir das Thema Abzählbarkeit schon klarer. Jedoch die ein oder andere Frage tut sich dann doch immer wieder auf. Vielleicht kann mir bei folgendem Problem jemand helfen. Für alle hilfreichen Antworten schon mal vielen Dank.
Um zu beweisen, dass Mengen wie [mm] \IN \times \IZ [/mm] oder [mm] \IQ \times \IZ [/mm] oder [mm] \IN \times \IQ [/mm] abzählbar sind, könnte man da folgendermaßen vorgehen?
Man definiere folgende Abbildungen:
[mm] \IN \mapsto \IN \times \IZ \mapsto \IN
[/mm]
Wir wissen, dass es für [mm] \IN \times \IZ \mapsto \IN [/mm] eine surjektive Abbildung gibt. Wir wissen auch, dass die Identitätsabbildung von [mm] \IN \mapsto \IN [/mm] ebenfalls surjektiv ist. Folglich muß auch die Abbildung [mm] \IN \mapsto \IN \times \IZ [/mm] surjektiv sein.
Gruß
Prof.
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Hallo!
Meiner Ansicht nach ist dein Argument leider falsch.
> Man definiere folgende Abbildungen:
>
> [mm]\IN \mapsto \IN \times \IZ \mapsto \IN[/mm]
Das ist auf jeden Fall keine Abbildung. Meinst du damit zwei Abbildungen [mm] $\IN\to\IN\times\IZ$ [/mm] und [mm] $\IN\times\IZ\to\IN$?
[/mm]
> Wir wissen, dass es für [mm]\IN \times \IZ \mapsto \IN[/mm] eine
> surjektive Abbildung gibt. Wir wissen auch, dass die
> Identitätsabbildung von [mm]\IN \mapsto \IN[/mm] ebenfalls surjektiv
> ist. Folglich muß auch die Abbildung [mm]\IN \mapsto \IN \times \IZ[/mm]
> surjektiv sein.
Wenn man dieses Argument jetzt mal übertragen würde:
Die Abbildung [mm] $\IR^+\to \IN$, $x\mapsto [/mm] [x]$ ist surjektiv ($[.]$ ist die Gauß-Klammer). Aber es gibt keine surjektive Abbildung [mm] $\N\to\IR^+$, [/mm] weil [mm] $\IR^+$ [/mm] ja überabzählbar ist...
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Professor |
Hi,
diese Idee wäre auch zu schön gewesen. Hätte eigentlich selbt darauf kommen können, dass [mm] \IR [/mm] das ganze widerlegt, aber manchmal komme ich auf die einfachsten Zusammenhänge nicht. :-(
Ich werd an dieser Thematik noch ein bischen weiter knobeln dürfen.
Danke für deine stets sehr hilfreichen Antworten.
Gruß
Prof.
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