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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:02 Sa 03.06.2006 | | Autor: | Molch |
| Aufgabe | | [mm] r^{(4)}+2r''+r=cos( \alpha) [/mm] |
Hallo!
Ich wollte obige DGL durch Überführung in ein DGL System 1. Ordnung lösen. Ich weiß, dass sie auf anderen Wegen deutlich schneller und einfacher zu lösen sind, was sich nach 5 dina4 seiten bestätigte ;).
Ich vermute mein Problem liegt in der Berechnung der Hauptvektoren.
Ich habe mittels der Umformung
[mm] r_{1}:=r
[/mm]
[mm] r_{2}:=r'
[/mm]
[mm] r_{3}:=r''
[/mm]
[mm] r_{4}:=r'''
[/mm]
folgendes System erhalten:
[mm] \vektor{r_{1}' \\ r_{2}' \\ r_{3}' \\ r_{4}'} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -2 & 0 } [/mm] * [mm] \vektor{r_{1} \\ r_{2} \\ r_{3} \\ r_{4}} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ cos(\alpha)}
[/mm]
Die Matrix bezeichne ich folgend als A.
Die Eigenwerte von A lauten:
[mm] \lambda_{i}= \pm [/mm] i , i:=1,...,4
Ich erhielt folgende konjugiert komplexe Eigenvektoren:
[mm] v_{1}= \vektor{i \\ -1 \\ -i \\ 1}
[/mm]
[mm] v_{2}=\overline{v_{1}}
[/mm]
Mittels [mm] (A-\lambda*E)*v_{3}=v_{2} [/mm] habe ich den Hauptvektor [mm] v_{3} [/mm] bestimmt:
[mm] v_{3}=\vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
und mittels [mm] (A-\lambda*E)*v_{4}=v_{3} [/mm] den Hauptvekor [mm] v_{4}:
[/mm]
[mm] v_{4}=\vektor{2i \\ -1 \\ -i \\ 0}
[/mm]
Wenn ich nun aus den Hauptvektoren die beiden unbekannten Lösungen des Systems bestimme und diese Lösungen mittels [mm] e^{i*x}=cos(x)+i*sin(x) [/mm] zerlege ergibt sich ein immenser Term.
Ist der Hauptvektor Nr. 4 überhaupt korrekt, müsste zu ihm nicht noch ein konjugiert komplexer existieren und bestimmt man überhaupt die Hauptvektoren bei komplexen Eigenwerten mit einer algebraischen Vielfachheit größer 1 ?
Ich bin wie immer für jede Hilfe dankbar!
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 07.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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