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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:28 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | Zeige, die Matrix Q (Definitionen s.u.) erfüllt folgende Eigenschaften:
a) Q ist Übergangsmatrix
b) [mm] Q=QP=PQ=Q^{2}
[/mm]
c) [mm] \pi Q=\pi [/mm] |
P = [mm] (p_{ij}) [/mm] ist Übergangsmatrix. [mm] \pi [/mm] = [mm] (\pi_{0}, \pi_{1}, [/mm] ..., [mm] \pi_{N-1}) [/mm] ist positiver Wahrscheinlichkeitsvektor mit [mm] \pi [/mm] P = [mm] \pi.
[/mm]
Q := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}\summe_{k=0}^{n-1}P^{k} [/mm] = [mm] (q_{ij}), [/mm] wobei
[mm] q_{ij} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\summe_{k=0}^{n-1}p_{ij}^{k}.
[/mm]
Stochastik wie auch Analysis liegen leider schon eine Weile zurück, und jetzt muss ich mich erst wieder einarbeiten.
Aber hier meine Ideen zu den verschiedenen Aufgaben:
a) Es gilt: Q ist Übergangsmatrix, falls [mm] \summe_{j} q_{ij} [/mm] = 1
[mm] \summe_{j} q_{ij} [/mm] = [mm] \summe_{j} \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\summe_{k=0}^{n-1}p_{ij}^{k}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\summe_{k=0}^{n-1}\summe_{j}p_{ij}^{k}
[/mm]
Da wir wissen, dass P eine Übergangsmatrix ist, gilt dann
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\summe_{k=0}^{n-1}1 [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}n [/mm] = 1.
b) QP = [mm] (\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\summe_{k=0}^{n-1}P^{k})*P
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\summe_{k=0}^{n-1}P^{k+1}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\summe_{k=0}^{n}P^{k}
[/mm]
Da n ohnehin gegen unendlich ist, macht der eine Summand mehr keinen unterschied (?)
PQ ginge, falls die obige Version so in etwa funktioniert ählich
[mm] Q^{2} [/mm] weiß ich noch nicht.
c) weiß ich auch noch nicht. Erstmal wollte ich soweit eine Rückmeldung zu dem was ich bisher so veranstaltet habe!
Ich hoffe jemand hat Lust hier zu helfen :)
Lg! Loko
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Moin,
> Zeige, die Matrix Q (Definitionen s.u.) erfüllt folgende
> Eigenschaften:
> a) Q ist Übergangsmatrix
> b) [mm]Q=QP=PQ=Q^{2}[/mm]
> c) [mm]\pi Q=\pi[/mm]
> P = [mm](p_{ij})[/mm] ist Übergangsmatrix. [mm]\pi[/mm] =
> [mm](\pi_{0}, \pi_{1},[/mm] ..., [mm]\pi_{N-1})[/mm] ist positiver
> Wahrscheinlichkeitsvektor mit [mm]\pi[/mm] P = [mm]\pi.[/mm]
> Q := [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}\summe_{k=0}^{n-1}P^{k}[/mm] = [mm](q_{ij}),[/mm] wobei
> [mm]q_{ij}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\summe_{k=0}^{n-1}p_{ij}^{k}.[/mm]
>
> Stochastik wie auch Analysis liegen leider schon eine Weile
> zurück, und jetzt muss ich mich erst wieder einarbeiten.
> Aber hier meine Ideen zu den verschiedenen Aufgaben:
>
> a) Es gilt: Q ist Übergangsmatrix, falls [mm]\summe_{j} q_{ij}[/mm] = 1
> [mm]\summe_{j} q_{ij}[/mm] = [mm]\summe_{j} \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\summe_{k=0}^{n-1}p_{ij}^{k}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\summe_{k=0}^{n-1}\summe_{j}p_{ij}^{k}[/mm]
> Da wir wissen, dass P eine Übergangsmatrix ist, gilt dann
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\summe_{k=0}^{n-1}1[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}n[/mm] = 1.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) QP = [mm](\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\summe_{k=0}^{n-1}P^{k})*P[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\summe_{k=0}^{n-1}P^{k+1}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\summe_{k=\red{1}}^{n}P^{k}[/mm]
> Da n ohnehin gegen unendlich ist, macht der eine Summand
> mehr keinen unterschied (?)
>
> PQ ginge, falls die obige Version so in etwa funktioniert ählich
>
> [mm]Q^{2}[/mm] weiß ich noch nicht.
Ich würd so anfangen:
[mm] (Q^2)_{ik} [/mm] = [mm] \sum_{j} q_{ij}q_{jk}
[/mm]
LG
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:57 Di 23.10.2012 | | Autor: | Loko |
Hallo!
Danke für die Antwort! Ich weiß es ist schon eine Weile her, aber ich habe doch noch fragen:
[mm] (Q^2)_{ik} [/mm] = [mm] \summe_{j} q_{ij} q_{jk}
[/mm]
= [mm] \summe_{j} (\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}\summe_{l=0}^{n-1}p_{ij}^{l}*q_{jk})
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\summe_{j}(\summe_{i=0}^{n-1}p_{ij}^{l}*q_{jk})
[/mm]
Wie kann ich hier jetzt das p wegbekommen? Ich weiß ja, dass, da P eine Übergangsmatrix ist, die summe 1 wird. Aber wie kann ich das machen mit dem q dabei?
Und zur Aufgabe c):
[mm] \pi*Q [/mm] = [mm] \pi_{i} \summe_{j}q_{ij} [/mm] = [mm] \pi_{i}\summe_{j}\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\summe_{k=0}^{n-1}p_{ij}^{k}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\summe_{k=0}^{n-1}\pi_{i}\summe_{j}p_{ij}^{k}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\summe_{k=0}^{n-1}\pi_{i} [/mm] (da [mm] \pi*P=\pi [/mm] gilt)
= [mm] \pi_{i}
[/mm]
Ist das so OK?
Ganz lg Loko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 25.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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