Übergangsmatrix, Zustandsvek. < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Autovermieter hat Niederlassungen in drei Städten, A, B und C.
Die gemieteten Fahrzeuge können ohne Aufpreis am Ende des Tages an einer der drei Niederlassungen zurück gegeben werden, gleichgültig, an welcher Stelle das Mietfahrzeug übernommen wurde.
Durch Beobachtungen stellt der Geschäftsführer folgende Übergangswahrscheinlichkeiten für Fahrzeuge zwischen den drei Niederlassungen fest:
1) 80% der Fahrzeuge, die am Morgen in Niederlassung A stehen, stehen am nächsten Morgen wieder in A, je 10% sind von A nach B bzw. C gewechselt.
2) Nach Niederlassung B kehren 60% der ausgeliehenen Fahrzeuge zurück, je 20% wechseln nach A bzw. C.
3) Von Niederlassung C aus wechseln erfahrungsgemäß 20% nach Niederlassung A und 10% nach Niederlassung C.
a) Zeichen Sie ein Übergangsdiagramm.
b) An einem Tag stehen morgens 10% der Fahrzeuge in A, 50% in B und 40% in C, der Anlaufsvektor ist somit
(0,10|0,50|0,40).
Berechnen Sie, wie die Fahrzeuge am Abend des ersten bis zehnten Tages verteilt sind.
c) Bestimmen Sie eine Übergangsmatrix des Systems und berechnen Sie den Zustandsvektor am Ende des 1. Tages mithilfe der Übergangsmatrix.
d) Wie ist die Verteilung der Mietfahrzeuge 2. bis 5. Abend? |
Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Als Hausaufgabe sollen wir dieses Arbeitsblatt durch rechnen.
Das Übergangsdiagramm konnte ich leicht aufstellen.
Aufgabe b) hat mir auch keine größeren Probleme bereitet, meine Lösungen stimmen mit der Musterlösung überein.
Bei c) und d) verstehe ich das Vorgehen nicht.
Bei c) weiß ich nicht, wie ich die Übergangsmatrix aufstellen soll. Ich kenne weder die Definition, noch die Anwendung, das gleiche gilt für den Zustandsvektor.
d) versuche ich, wenn ich c) verstanden habe.
Ich weiß nicht, ob es wichtig ist, aber bei der Aufgabe b) habe ich folgende Matrix aufgestellt (abgelesen aus dem Übergangsdiagramm):
[mm] \pmat{ 0.8 & 0,2 & 0,2 \\ 0,1 & 0,6 & 0,1 \\ 0,1 & 0,2 & 0,7}
[/mm]
Liebe Grüße,
Sarah 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Mi 15.10.2008 | | Autor: | chrisno |
Der Sinn des Verfahrens besteht darin, die neue Verteilung der Autos auf die Standorte (= Zustandsvektor) in einem Rutsch zu berechnen.
Erst einmal langsam: die 10%=0,1 aus A werden verteilt:
0,1 * 0,8 nach A
0,1 * 0,1 nach B
0,1 * 0,1 nach C
Entsprechend werden die aus B und C umverteilt.
Dann kann man alle in A zusammenzählen:
0,1 * 0,8 + 0,5 * 0,2 + 0,4 * 0,2 = 0,26 also 26%
Entsprechend für B und C.
Wenn Du Dir das ansiehst, dann erkennst Du die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor.
Allerdings wird normalerweise die Matrix anders geschrieben, so dass aus Deinen Zeilen Spalten werden und umgekehrt. (Glaube ich zumindest)
Dann rechnest Du Übergangsmatrix mal Anlaufvektor = Zustandsvektor am Ende des ersten Tages. Für den nächsten Tag nimmst Du den Zustandsvektor des vorigen Tags als Anlaufvektor.
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