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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Komplexe Differenzierbarkeit / Cauchy- Riemannsche Differentialgleichungen
(a) Überprüfen Sie, ob die Funktion [mm] f:\IC\to\IC [/mm] mit
[mm] f(x+iy):=x^{3}-3xy^{2}+i(3x^{2}y-y^{3})
[/mm]
eine holomorphe Funktion ist. Bestimmen Sie gegebenenfalls ihre Ableitung [mm] f^{,}.
[/mm]
(b) Bestimmen Sie alle reellen Funktionen v, für die
[mm] f(x+iy):=x^{2}-y^{2}+iv(x,y)
[/mm]
eine holomorphe Funktion auf ganz [mm] \IC [/mm] ist. |
Lieber Matheraum,
ich beziehe mich zunächst auf den Aufgabenteil (b). Mein Lösungsversuch lautet wie folgt
Wir haben
[mm] f(x+iy):=\underbrace{x^{2}-y^{2}}_{Re(f)}+\underbrace{iv(x,y)}_{Im(f)}
[/mm]
Zunächst berechne ich die partiellen Ableitungen des Realteils der Funktion und erhalte
[mm] \bruch{\partial(Re \ f)}{\partial x}=2x
[/mm]
[mm] \bruch{\partial(Re \ f)}{\partial y}=-2y
[/mm]
Entsprechend der Cauchy- Riemannschen Differentialgleichungen erhalte ich nun für die partiellen Ableitungen des Imaginärteils der Funktion
[mm] \bruch{\partial(Im \ f)}{\partial x}=2y
[/mm]
[mm] \bruch{\partial(Im \ f)}{\partial y}=2x
[/mm]
Durch Integration würde ich nun die gesuchten Funktionen [mm] \in\IR [/mm] erhalten, für die [mm] f(x+iy):=x^{2}-y^{2}+iv(x,y) [/mm] eine holomorphe Funktion auf ganz [mm] \IC [/mm] ist.
[mm] v(x,y)=(\integral_{}^{}{2x \ dy}+\integral_{}^{}{2y \ dx})
[/mm]
[mm] \Rightarrow v(x,y)=((2xy+c_{1})+(2xy+c_{2}))=4xy+c, [/mm] mit [mm] c=c_{1}+c_{2} [/mm] und [mm] c\in\IR
[/mm]
Wenn ich das ganze jedoch wieder zurückrechne, geht die Rechnung nicht ganz auf. Meine richtige Lösung durch Probieren wäre dann nämlich [mm] v(x,y)=((xy+c_{1})+(xy+c_{2}))=2xy+c, [/mm] mit [mm] c=c_{1}+c_{2} [/mm] und [mm] c\in\IR. [/mm]
Durch Zurückrechnung erhalte ich jedoch [mm] v(x,y)=((2xy+c_{1})+(2xy+c_{2}))=4xy+c, [/mm] mit [mm] c=c_{1}+c_{2} [/mm] und [mm] c\in\IR. [/mm] Irgendwo in der obigen Rechnung müsste also ein Faktor 2 zu viel sein.
Ich bin mir auch nicht wirklich sicher, ob man hier aufgrund der Konstanten integrieren darf, um die richtige Lösung zu erhalten. Möglicherweise könnte man hier auch über den Satz von Schwarz argumentieren.
Meine Fragen:
(1) Was genau stimmt nicht an meiner obigen Rechnung?
(2) Wie komme ich auf die richtige Lösung?
(3) Was geschieht beim Ableiten des Imaginärteils mit der Zahl i? Wieso
wird sie beim Ableiten nicht weiter beachtet?
Über hilfreiche Tipps würde ich mich sehr freuen,
Gruß, Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Mo 19.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Komplexe Differenzierbarkeit / Cauchy- Riemannsche
> Differentialgleichungen
>
>
>
> (a) Überprüfen Sie, ob die Funktion [mm]f:\IC\to\IC[/mm] mit
>
> [mm]f(x+iy):=x^{3}-3xy^{2}+i(3x^{2}y-y^{3})[/mm]
>
> eine holomorphe Funktion ist. Bestimmen Sie gegebenenfalls
> ihre Ableitung [mm]f^{,}.[/mm]
>
>
> (b) Bestimmen Sie alle reellen Funktionen v, für die
>
> [mm]f(x+iy):=x^{2}-y^{2}+iv(x,y)[/mm]
>
> eine holomorphe Funktion auf ganz [mm]\IC[/mm] ist.
> Lieber Matheraum,
>
> ich beziehe mich zunächst auf den Aufgabenteil (b). Mein
> Lösungsversuch lautet wie folgt
>
>
>
> Wir haben
>
>
> [mm]f(x+iy):=\underbrace{x^{2}-y^{2}}_{Re(f)}+\underbrace{iv(x,y)}_{Im(f)}[/mm]
>
>
>
> Zunächst berechne ich die partiellen Ableitungen des
> Realteils der Funktion und erhalte
>
>
> [mm]\bruch{\partial(Re \ f)}{\partial x}=2x[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial(Re \ f)}{\partial y}=-2y[/mm]
>
>
>
> Entsprechend der Cauchy- Riemannschen
> Differentialgleichungen erhalte ich nun für die partiellen
> Ableitungen des Imaginärteils der Funktion
>
>
> [mm]\bruch{\partial(Im \ f)}{\partial x}=2y[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial(Im \ f)}{\partial y}=2x[/mm]
>
>
>
> Durch Integration würde ich nun die gesuchten Funktionen
> [mm]\in\IR[/mm] erhalten, für die [mm]f(x+iy):=x^{2}-y^{2}+iv(x,y)[/mm] eine
> holomorphe Funktion auf ganz [mm]\IC[/mm] ist.
>
>
> [mm]v(x,y)=(\integral_{}^{}{2x \ dy}+\integral_{}^{}{2y \ dx})[/mm]
>
Was Du hier machst , ist mir schleierhaft.
Sei $f = u+iv$
Es ist [mm] u_x [/mm] = 2x = [mm] v_y, [/mm] also ist, mit einer nur von x abh. Funktion c,
$v = 2xy +c(x)$
Wegen $2y +c'(x) = [mm] v_x [/mm] = [mm] -u_y [/mm] = 2y$ folgt c'(x) = 0, also
v = 2xy +c (c [mm] \in \IR)
[/mm]
FRED
>
> [mm]\Rightarrow v(x,y)=((2xy+c_{1})+(2xy+c_{2}))=4xy+c,[/mm] mit
> [mm]c=c_{1}+c_{2}[/mm] und [mm]c\in\IR[/mm]
>
>
>
> Wenn ich das ganze jedoch wieder zurückrechne, geht die
> Rechnung nicht ganz auf. Meine richtige Lösung durch
> Probieren wäre dann nämlich
> [mm]v(x,y)=((xy+c_{1})+(xy+c_{2}))=2xy+c,[/mm] mit [mm]c=c_{1}+c_{2}[/mm] und
> [mm]c\in\IR.[/mm]
>
>
> Durch Zurückrechnung erhalte ich jedoch
> [mm]v(x,y)=((2xy+c_{1})+(2xy+c_{2}))=4xy+c,[/mm] mit [mm]c=c_{1}+c_{2}[/mm]
> und [mm]c\in\IR.[/mm] Irgendwo in der obigen Rechnung müsste also
> ein Faktor 2 zu viel sein.
>
>
> Ich bin mir auch nicht wirklich sicher, ob man hier
> aufgrund der Konstanten integrieren darf, um die richtige
> Lösung zu erhalten. Möglicherweise könnte man hier auch
> über den Satz von Schwarz argumentieren.
>
>
>
> Meine Fragen:
>
>
> (1) Was genau stimmt nicht an meiner obigen Rechnung?
>
> (2) Wie komme ich auf die richtige Lösung?
>
> (3) Was geschieht beim Ableiten des Imaginärteils mit der
> Zahl i? Wieso
> wird sie beim Ableiten nicht weiter beachtet?
>
>
>
> Über hilfreiche Tipps würde ich mich sehr freuen,
>
>
>
>
>
> Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Marcel08 |
> > Komplexe Differenzierbarkeit / Cauchy- Riemannsche
> > Differentialgleichungen
> >
> >
> >
> > (a) Überprüfen Sie, ob die Funktion [mm]f:\IC\to\IC[/mm] mit
> >
> > [mm]f(x+iy):=x^{3}-3xy^{2}+i(3x^{2}y-y^{3})[/mm]
> >
> > eine holomorphe Funktion ist. Bestimmen Sie gegebenenfalls
> > ihre Ableitung [mm]f^{,}.[/mm]
> >
> >
> > (b) Bestimmen Sie alle reellen Funktionen v, für die
> >
> > [mm]f(x+iy):=x^{2}-y^{2}+iv(x,y)[/mm]
> >
> > eine holomorphe Funktion auf ganz [mm]\IC[/mm] ist.
> > Lieber Matheraum,
> >
> > ich beziehe mich zunächst auf den Aufgabenteil (b). Mein
> > Lösungsversuch lautet wie folgt
> >
> >
> >
> > Wir haben
> >
> >
> >
> [mm]f(x+iy):=\underbrace{x^{2}-y^{2}}_{Re(f)}+\underbrace{iv(x,y)}_{Im(f)}[/mm]
> >
> >
> >
> > Zunächst berechne ich die partiellen Ableitungen des
> > Realteils der Funktion und erhalte
> >
> >
> > [mm]\bruch{\partial(Re \ f)}{\partial x}=2x[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{\partial(Re \ f)}{\partial y}=-2y[/mm]
> >
> >
> >
> > Entsprechend der Cauchy- Riemannschen
> > Differentialgleichungen erhalte ich nun für die partiellen
> > Ableitungen des Imaginärteils der Funktion
> >
> >
> > [mm]\bruch{\partial(Im \ f)}{\partial x}=2y[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{\partial(Im \ f)}{\partial y}=2x[/mm]
> >
> >
> >
> > Durch Integration würde ich nun die gesuchten Funktionen
> > [mm]\in\IR[/mm] erhalten, für die [mm]f(x+iy):=x^{2}-y^{2}+iv(x,y)[/mm] eine
> > holomorphe Funktion auf ganz [mm]\IC[/mm] ist.
> >
> >
> > [mm]v(x,y)=(\integral_{}^{}{2x \ dy}+\integral_{}^{}{2y \ dx})[/mm]
>
> >
>
> Was Du hier machst , ist mir schleierhaft.
>
>Hier wollte ich durch "Zurückintegrieren" Stammfunktionen der partiellen Ableitungen finden, um v(x,y) zu ermitteln, also um die Bedingungen der Cauchy- Riemannschen Differentialgleichungen zu vervollständigen. Das ist offensichtlich nicht möglich?
>
>Könntest du dann bitte noch einen Blick auf meine Frage (3) werfen? Ich bedanke mich recht herzlich für deine Hilfe.
>
> Sei [mm]f = u+iv[/mm]
>
>
> Es ist [mm]u_x[/mm] = 2x = [mm]v_y,[/mm] also ist, mit einer nur von x abh.
> Funktion c,
>
> [mm]v = 2xy +c(x)[/mm]
>
> Wegen [mm]2y +c'(x) = v_x = -u_y = 2y[/mm] folgt c'(x) = 0, also
>
> v = 2xy +c (c [mm]\in \IR)[/mm]
>
>
> FRED
>
>
>
>
> >
> > [mm]\Rightarrow v(x,y)=((2xy+c_{1})+(2xy+c_{2}))=4xy+c,[/mm] mit
> > [mm]c=c_{1}+c_{2}[/mm] und [mm]c\in\IR[/mm]
> >
> >
> >
> > Wenn ich das ganze jedoch wieder zurückrechne, geht die
> > Rechnung nicht ganz auf. Meine richtige Lösung durch
> > Probieren wäre dann nämlich
> > [mm]v(x,y)=((xy+c_{1})+(xy+c_{2}))=2xy+c,[/mm] mit [mm]c=c_{1}+c_{2}[/mm] und
> > [mm]c\in\IR.[/mm]
> >
> >
> > Durch Zurückrechnung erhalte ich jedoch
> > [mm]v(x,y)=((2xy+c_{1})+(2xy+c_{2}))=4xy+c,[/mm] mit [mm]c=c_{1}+c_{2}[/mm]
> > und [mm]c\in\IR.[/mm] Irgendwo in der obigen Rechnung müsste also
> > ein Faktor 2 zu viel sein.
> >
> >
> > Ich bin mir auch nicht wirklich sicher, ob man hier
> > aufgrund der Konstanten integrieren darf, um die richtige
> > Lösung zu erhalten. Möglicherweise könnte man hier auch
> > über den Satz von Schwarz argumentieren.
> >
> >
> >
> > Meine Fragen:
> >
> >
> > (1) Was genau stimmt nicht an meiner obigen Rechnung?
> >
> > (2) Wie komme ich auf die richtige Lösung?
> >
> > (3) Was geschieht beim Ableiten des Imaginärteils mit der
> > Zahl i? Wieso
> > wird sie beim Ableiten nicht weiter beachtet?
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> > Über hilfreiche Tipps würde ich mich sehr freuen,
> >
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> > Gruß, Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Mo 19.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu (3)
Der Imaginärteil v in $f= u+iv$ ist eine reellwertige Funktion !!
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Das weiß ich. Mir war nicht richtig klar, wie man mit i im Zuge einer Ableitung umgeht. Offensichtlich läßt man sie außen vor. Dennoch vielen Dank.
Gruß, Marcel
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