Überprüfung Reihen Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 So 22.01.2012 | | Autor: | dAli |
| Aufgabe | | Überprüfen sie folgende Reihe auf Konvergenz |
Hallo Ihr Lieben,
kann mir jemand bei der Überprüfung folgender Reihe (angehängt) auf Konvergenz helfen?
http://img18.imageshack.us/img18/7784/131aiii.jpg
Wär euch sehr dankbar.
Gruß
daliiii
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo dAli,
tippe doch bitte solch winzige Aufgabenstellungen direkt hier ein, so wälzt du die Arbeit des Eintippens auf die potentiellen Antwortgeber ab ...
> Überprüfen sie folgende Reihe auf Konvergenz
> Hallo Ihr Lieben,
>
> kann mir jemand bei der Überprüfung folgender Reihe
> (angehängt) auf Konvergenz helfen?
>
> http://img18.imageshack.us/img18/7784/131aiii.jpg
>
> Wär euch sehr dankbar.
Benutze das Quotientenkriterium oder das Wurzelkriterium, beides ist gleichermaßen "einfach" und effizient ...
Alternativ kannst du dir auch schnell überlegen, ob denn die Folge der Reihenglieder, also [mm]\left(\frac{2^{\nu}}{\nu^2}\right)_{\nu\in\IN}[/mm] überhaupt eine Nullfolge ist, also die Reihe überhaupt konvergieren kann (Stichwort "Trivialkriterium")
>
> Gruß
> daliiii
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:34 So 22.01.2012 | | Autor: | dAli |
Kannst du mir ein Bsp. dazu machen? Ich habe überhaupt keine Ahnung wie es gehen soll :(... wär dir sehr dankbar
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Hiho,
was soll schachuzipus dir denn noch vorrechnen, er hat doch bereits alles gesagt.
Von dir kam bisher nichts eigenes, nicht mal die zu überprüfende Reihe.
Also jetzt liegt es an dir, hier mal was zu präsentieren.
Schachuzipus hat dir 3 Möglichkeiten gegeben.
1.) Quotientenkriterium
2.) Wurzelkriterium
3.) "Trivialkriterium" bzw notwendiges Kriterium für konvergente Reihen.
Alle drei Dinge hattet ihr garantiert in der Vorlesung.
Wenn du mit allen drei Dingen nicht zurecht kommst, führe deine Probleme hier an.
Dazu gehört aber auch, das jeweilige Kriterium zumindest mal aufgeschrieben zu haben und dann darzulegen, was genau man daran nicht versteht.
Also: Wie lautet denn das Quotienten- bzw. Wurzekriterium?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 So 22.01.2012 | | Autor: | dAli |
Quotientenkriterium:
[mm] |\bruch{a_{v+1}}{a_{v}}| \le [/mm] q [mm] \le [/mm] 1
Wenn das eintrifft, dann konvegiert die Reihe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 So 22.01.2012 | | Autor: | dAli |
Folglich: [mm] |a_{v} [/mm] = [mm] \bruch{2^{v}}{v{2}}|
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 So 22.01.2012 | | Autor: | dAli |
hier die Reihe nun ausrechnen??????
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{2^{v+1}}{v+1^{2}}}{\bruch{2^{v}}{v^{2}}}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 So 22.01.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo dAli!
> hier die Reihe nun ausrechnen??????
Den Quotienten; ja.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{2^{v+1}}{v+1^{2}}}{\bruch{2^{v}}{v^{2}}}[/mm]
Wenn Du noch ein Klammernpaar mehr setzt um $v+1_$ im oberen Teilnenner, stimmt es.
Forme nun um, vereinfache und schätze ab.
Ach ja: im Grenzwert muss natürlich auch [mm] $\red{v}\rightarrow\infty$ [/mm] stehen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 So 22.01.2012 | | Autor: | dAli |
[mm] \limes_{v\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{2^{v+1}}{(v+1)^{2}}}{\bruch{2^{v}}{v^{2}}}
[/mm]
= [mm] \limes_{v\rightarrow\infty}\bruch{2^{v+1}}{(v+1)^{2}} [/mm] * [mm] \bruch{v^{2}}{2^{v}}
[/mm]
= [mm] \limes_{v\rightarrow\infty}\bruch{2v*2}{(v+1)^{2}} [/mm] * [mm] \bruch{v^{2}}{2^{v}}
[/mm]
= [mm] \limes_{v\rightarrow\infty}\bruch{2v*2}{v^{2}+2v+1} [/mm] * [mm] \bruch{v^{2}}{2^{v}}
[/mm]
Hier komme ich nicht weiter... habe ich was falsch gemacht??
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Hallo dAli,
> [mm]\limes_{v\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{2^{v+1}}{(v+1)^{2}}}{\bruch{2^{v}}{v^{2}}}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{v\rightarrow\infty}\bruch{2^{v+1}}{(v+1)^{2}}[/mm] *
> [mm]\bruch{v^{2}}{2^{v}}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{v\rightarrow\infty}\bruch{2v*2}{(v+1)^{2}}[/mm] *
> [mm]\bruch{v^{2}}{2^{v}}[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]\limes_{v\rightarrow\infty}\bruch{2^{\blue{v}}*2}{(v+1)^{2}} * \bruch{v^{2}}{2^{v}}[/mm]
Dann kannst Du kürzen, und dann den Grenzwert berechnen.
> = [mm]\limes_{v\rightarrow\infty}\bruch{2v*2}{v^{2}+2v+1}[/mm] *
> [mm]\bruch{v^{2}}{2^{v}}[/mm]
>
> Hier komme ich nicht weiter... habe ich was falsch
> gemacht??
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 So 22.01.2012 | | Autor: | dAli |
Ja stimmt... Anfänger Fehler :(
also
[mm] \limes_{v\rightarrow\infty}\bruch{2^{v}\cdot{}2}{v^{2}+2v+1} [/mm] * [mm] \bruch{v^{2}}{2^{v}}
[/mm]
= [mm] \limes_{v\rightarrow\infty}\bruch{v^{2}\cdot{}2}{v^{2}+2v+1}
[/mm]
eine dumme Frage... kann ich hier [mm] v^{2} [/mm] kürzen???
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Hallo dAli,
> Ja stimmt... Anfänger Fehler :(
>
> also
>
> [mm]\limes_{v\rightarrow\infty}\bruch{2^{v}\cdot{}2}{v^{2}+2v+1}[/mm]
> * [mm]\bruch{v^{2}}{2^{v}}[/mm]
>
> =
> [mm]\limes_{v\rightarrow\infty}\bruch{v^{2}\cdot{}2}{v^{2}+2v+1}[/mm]
>
> eine dumme Frage... kann ich hier [mm]v^{2}[/mm] kürzen???
Nein, aber ausklammern.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 So 22.01.2012 | | Autor: | dAli |
Was genau kann ich hier genau ausklammern? [mm] v^{2} [/mm] ???
Wenn ja wie sieht der Bruch dann aus? Hab gerade ein Denkfehler :(
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Hallo dAli,
> Was genau kann ich hier genau ausklammern? [mm]v^{2}[/mm] ???
>
Ja.
> Wenn ja wie sieht der Bruch dann aus? Hab gerade ein
> Denkfehler :(
[mm]\limes_{v\rightarrow\infty}\bruch{v^{2}\cdot{}2}{v^{2}+2v+1} =\limes_{v\rightarrow\infty}\bruch{v^{2}\cdot{}2}{v^{2}*\left( \bruch{v^{2}}{v^{2}}+2\bruch{v}{v^{2}}+\bruch{1}{v^{2}}\right)}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 So 22.01.2012 | | Autor: | dAli |
Jetzt ist es doch noch komplizierter geworden. Ich muss ja die Grenzwerte gleich ansetzen... um das Ergebnis raus zu bekommen... oiii ich merke schon... ich bin ziemlich auf dem falschen weg :(
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Hallo dAli,
> Jetzt ist es doch noch komplizierter geworden. Ich muss ja
> die Grenzwerte gleich ansetzen... um das Ergebnis raus zu
> bekommen... oiii ich merke schon... ich bin ziemlich auf
> dem falschen weg :(
Es ist nicht komplizierter geworden.
Vereinfache die Brüche im Nenner und Du erhältst dann zwei Nullfolgen.
Damit kannst Du den Grenzwert bilden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 So 22.01.2012 | | Autor: | dAli |
[mm] \limes_{v\rightarrow\infty}\bruch{v^{2}\cdot{}2}{v^{2}+2v+1} =\limes_{v\rightarrow\infty}\bruch{v^{2}\cdot{}2}{v^{2}\cdot{}\left( \bruch{v^{2}}{v^{2}}+2\bruch{v}{v^{2}}+\bruch{1}{v^{2}}\right)}
[/mm]
[mm] =\limes_{v\rightarrow\infty}\bruch{2}{{}\left( 1+2\bruch{v}{v^{2}}+\bruch{1}{v^{2}}\right)}
[/mm]
(Kann ich nun hiermit den Grenzwert bilden? Oder muss ich es noch vereinfachen?)
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Hiho,
> (Kann ich nun hiermit den Grenzwert bilden? Oder muss ich
> es noch vereinfachen?)
die Vereinfachung ist ausreichend.
Na dann bilde doch mal den Grenzwert.
Was sagt dir das Quotientenkriterium dann bei diesem Grenzwert?
MFG;
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 So 22.01.2012 | | Autor: | dAli |
[mm] =\limes_{v\rightarrow\infty}\bruch{2}{{}\left( 1+2\bruch{v}{v^{2}}+\bruch{1}{v^{2}}\right)}
[/mm]
Nun Grenzwert bilden:
[mm] =\limes_{v\rightarrow\infty}\bruch{\bruch {2}{v}}{{}\left(\bruch {1}{v}+\bruch {2\bruch{v}{v^{2}}}{v}+\bruch {\bruch{1}{v^{2}}}{v}\right)}
[/mm]
[mm] =\bruch{0}{0+0+0}
[/mm]
Da Ergebnis unendlich, Reihe nicht konvergenz ???
Alles richtig hin geschrieben? Kein Zwischenschritt vergessen?
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Hallo dAli,
> [mm]=\limes_{v\rightarrow\infty}\bruch{2}{{}\left( 1+2\bruch{v}{v^{2}}+\bruch{1}{v^{2}}\right)}[/mm]
>
> Nun Grenzwert bilden:
>
> [mm]=\limes_{v\rightarrow\infty}\bruch{\bruch {2}{v}}{{}\left(\bruch {1}{v}+\bruch {2\bruch{v}{v^{2}}}{v}+\bruch {\bruch{1}{v^{2}}}{v}\right)}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{0}{0+0+0}[/mm]
>
Das musst Du nochmal nachrechnen.
> Da Ergebnis unendlich, Reihe nicht konvergenz ???
>
> Alles richtig hin geschrieben? Kein Zwischenschritt
> vergessen?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 So 22.01.2012 | | Autor: | dAli |
Also falsch. Kannst du mir kein Tipp geben? Oder vl vorrechnen, damit ich es verstehe? Wär dir sehr dankbar
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Hallo dAli,
> Also falsch. Kannst du mir kein Tipp geben? Oder vl
> vorrechnen, damit ich es verstehe? Wär dir sehr dankbar
Von diesem Ausdruck
[mm]\limes_{v\rightarrow\infty}\bruch{2}{{}\left( 1+2\bruch{v}{v^{2}}+\bruch{1}{v^{2}}\right)} [/mm]
sollst Du die Brüche im Nenner vereinfachen,
nicht nochmal durch v dividieren.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 So 22.01.2012 | | Autor: | dAli |
Ich habe 0 Ahnung wie ich die Brüche noch vereinfachen kann. Wär um Hilfe sehr dankbar. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:41 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe 0 Ahnung wie ich die Brüche noch vereinfachen
> kann. Wär um Hilfe sehr dankbar. :(
[mm] \bruch{v}{v^2}= \bruch{1}{v} \to [/mm] 0 für $v [mm] \to \infty$
[/mm]
FRED
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