Überprüfung auf Diffbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo und schönen Abend,
Aufgrund der nahenden Analysis II Prüfung stelle ich leider einige Fragen...
Auf ein neues:
Man betrachte die Funktion f(x,y) = [mm]\frac{x^{2}y^{3}}{x^{2}+2y^{2}}[/mm] und
a) setze diese stetig fort
b) überprüfe auf 2malige Diffbarkeit
Behauptung 1: diese Funktion ist auf ganz [mm]\IR^{2}[/mm] stetig fortsetzbar
Bw:
f(x,y) ist natürlich für alle x,y [mm]\neq(0,0)[/mm] als Zusammensetzung stetiger Funktion , stetig.
Ich betrachte also die Stelle (0,0) als einzig möglich kritischen Punkt.
hierzu betrachte ich:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y) \le[/mm] [mm]\frac{Max^{5}(|x|,|y|)}{2*Max^{4}(|x|,|y|)}=\frac{1}{2}*Max(|x|,|y|)[/mm] wir sehen sofort dass
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}[/mm] [mm]\frac{1}{2}*Max(|x|,|y|)[/mm]=0.
Durch diese Abschätzung gelangen wir zu unserer stetigen Fortsetzung:
[mm] f^{\alpha}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \\ f, & \mbox{für } (x,y)\neq(0,0) \end{cases}
[/mm]
Behauptung 2: Diese Funktion ist mindestens 2mal diffbar
BW:
Es gilt hier wieder:
Für alle (x,y) [mm] \neq(0,0) [/mm] ist f(x,y) als Zusammensetzung beliebig oft diffbarer Funktionen beliebig oft diffbar.
Ich betrachte wieder den kritischen Punkt (0,0)
Vorerst bilde ich die Ableitungen 1. Ordnung:
[mm]\frac{df}{dx}=\frac{2xy^{6}}{x^{2}+4x^{2}y^{2}+4y^{4}}[/mm]
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{df}{dx} \le \frac{2}{9}*Max^{2}(|x|,|y|) [/mm] --> 0 für (x,y) -> (0,0)
wir sehen dass also die Funktion nach x auch im Punkt (0,0) stetig diffbar ist.
Für die y - Komponente folgt selbiges:
1 mal stetig diffbar in (0,0)
Conclusio bis hier:
f ist auf ganz [mm] \IR^{2} [/mm] zumindest 1 mal stetig diffbar in allen Komponenten. Auf [mm] \IR^{2} [/mm] ohne (0,0) beliebig oft in allen Komponenten.
Ich prüfe auf 2malige Diffbarkeit im Punkt (0,0) und werde dazu die Bedingung für Gâteaux - Diffbarkeit heranziehen:
[mm] \limes_{a\rightarrow0}\frac{f(x+ah,y+ak)-f(x,y)}{a} [/mm] = [mm] \frac{2*a^{6}*k^{5}k}{a^{4}*(h^{2}+4h^{2}k^{2}+4k^{4}} [/mm] Dies ergibt natürlich nach kürzen [mm] \limes_{a\rightarrow0}=0. [/mm] Nachdem dies linear ist folgt sofort die Frechet - Diffbarkeit in x Komponente in (0,0).
Gleiches Vorgehen für y Komponente mit selbigem Erg. ebenfalls ist hier das Resultat linear und somit ist auch in y - Komp. Frechet Diffbarkeit vorhanden.
Conclusio :
Die Funktion ist in allen Komponenten , auch im kritischen Punkt mindestens 2mal diffbar.
Passt das in dieser Form?
Lg
Thomas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Fr 05.04.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo und schönen Abend,
>
> Aufgrund der nahenden Analysis II Prüfung stelle ich
> leider einige Fragen...
>
> Auf ein neues:
>
> Man betrachte die Funktion f(x,y) =
> [mm]\frac{x^{2}y^{3}}{x^{2}+2y^{2}}[/mm] und
>
> a) setze diese stetig fort
> b) überprüfe auf 2malige Diffbarkeit
>
>
> Behauptung 1: diese Funktion ist auf ganz [mm]\IR^{2}[/mm] stetig
> fortsetzbar
>
> Bw:
>
> f(x,y) ist natürlich für alle x,y [mm]\neq(0,0)[/mm] als
> Zusammensetzung stetiger Funktion , stetig.
>
> Ich betrachte also die Stelle (0,0) als einzig möglich
> kritischen Punkt.
>
> hierzu betrachte ich:
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y) \le[/mm]
> [mm]\frac{Max^{5}(|x|,|y|)}{2*Max^{4}(|x|,|y|)}=\frac{1}{2}*Max(|x|,|y|)[/mm]
Hallo,
zunächst einmal: wie kommst du im Nenner auf eine 4. Potenz?
Außerdem: Du willst einen Bruch nach oben abschätzen. Dazu müsstest du den Zähler nach oben und den Nenner nach unten abschätzen.
Gruß Abakus
> wir sehen sofort dass
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}[/mm] [mm]\frac{1}{2}*Max(|x|,|y|)[/mm]=0.
>
> Durch diese Abschätzung gelangen wir zu unserer stetigen
> Fortsetzung:
>
> [mm]f^{\alpha}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \\ f, & \mbox{für } (x,y)\neq(0,0) \end{cases}[/mm]
>
>
> Behauptung 2: Diese Funktion ist mindestens 2mal diffbar
> BW:
>
>
> Es gilt hier wieder:
>
> Für alle (x,y) [mm]\neq(0,0)[/mm] ist f(x,y) als Zusammensetzung
> beliebig oft diffbarer Funktionen beliebig oft diffbar.
>
> Ich betrachte wieder den kritischen Punkt (0,0)
>
> Vorerst bilde ich die Ableitungen 1. Ordnung:
>
> [mm]\frac{df}{dx}=\frac{2xy^{6}}{x^{2}+4x^{2}y^{2}+4y^{4}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{df}{dx} \le \frac{2}{9}*Max^{2}(|x|,|y|)[/mm]
> --> 0 für (x,y) -> (0,0)
>
> wir sehen dass also die Funktion nach x auch im Punkt (0,0)
> stetig diffbar ist.
>
> Für die y - Komponente folgt selbiges:
>
> 1 mal stetig diffbar in (0,0)
>
> Conclusio bis hier:
>
> f ist auf ganz [mm]\IR^{2}[/mm] zumindest 1 mal stetig diffbar in
> allen Komponenten. Auf [mm]\IR^{2}[/mm] ohne (0,0) beliebig oft in
> allen Komponenten.
>
> Ich prüfe auf 2malige Diffbarkeit im Punkt (0,0) und werde
> dazu die Bedingung für Gâteaux - Diffbarkeit
> heranziehen:
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow0}\frac{f(x+ah,y+ak)-f(x,y)}{a}[/mm] =
> [mm]\frac{2*a^{6}*k^{5}k}{a^{4}*(h^{2}+4h^{2}k^{2}+4k^{4}}[/mm] Dies
> ergibt natürlich nach kürzen [mm]\limes_{a\rightarrow0}=0.[/mm]
> Nachdem dies linear ist folgt sofort die Frechet -
> Diffbarkeit in x Komponente in (0,0).
>
> Gleiches Vorgehen für y Komponente mit selbigem Erg.
> ebenfalls ist hier das Resultat linear und somit ist auch
> in y - Komp. Frechet Diffbarkeit vorhanden.
>
> Conclusio :
>
> Die Funktion ist in allen Komponenten , auch im kritischen
> Punkt mindestens 2mal diffbar.
>
>
> Passt das in dieser Form?
>
> Lg
>
>
> Thomas
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> > Hallo und schönen Abend,
> >
> > Aufgrund der nahenden Analysis II Prüfung stelle ich
> > leider einige Fragen...
> >
> > Auf ein neues:
> >
> > Man betrachte die Funktion f(x,y) =
> > [mm]\frac{x^{2}y^{3}}{x^{2}+2y^{2}}[/mm] und
> >
> > a) setze diese stetig fort
> > b) überprüfe auf 2malige Diffbarkeit
> >
> >
> > Behauptung 1: diese Funktion ist auf ganz [mm]\IR^{2}[/mm]
> stetig
> > fortsetzbar
> >
> > Bw:
> >
> > f(x,y) ist natürlich für alle x,y [mm]\neq(0,0)[/mm] als
> > Zusammensetzung stetiger Funktion , stetig.
> >
> > Ich betrachte also die Stelle (0,0) als einzig möglich
> > kritischen Punkt.
> >
> > hierzu betrachte ich:
> >
> > [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y) \le[/mm]
> >
> [mm]\frac{Max^{5}(|x|,|y|)}{2*Max^{4}(|x|,|y|)}=\frac{1}{2}*Max(|x|,|y|)[/mm]
> Hallo,
> zunächst einmal: wie kommst du im Nenner auf eine 4.
> Potenz?
> Außerdem: Du willst einen Bruch nach oben abschätzen.
> Dazu müsstest du den Zähler nach oben und den Nenner nach
> unten abschätzen.
>
> Gruß Abakus
Ich schätze durch die Maximumsnorm nach oben ab. Ja du hast recht da hab ich einen Tippfehler gemacht die Potenz ist im Nenner natürlich = 2.
Grüß Thomas
> > wir sehen sofort dass
> > [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}[/mm]
> [mm]\frac{1}{2}*Max(|x|,|y|)[/mm]=0.
> >
> > Durch diese Abschätzung gelangen wir zu unserer
> stetigen
> > Fortsetzung:
> >
> > [mm]f^{\alpha}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \\ f, & \mbox{für } (x,y)\neq(0,0) \end{cases}[/mm]
>
> >
> >
> > Behauptung 2: Diese Funktion ist mindestens 2mal
> diffbar
> > BW:
> >
> >
> > Es gilt hier wieder:
> >
> > Für alle (x,y) [mm]\neq(0,0)[/mm] ist f(x,y) als
> Zusammensetzung
> > beliebig oft diffbarer Funktionen beliebig oft diffbar.
> >
> > Ich betrachte wieder den kritischen Punkt (0,0)
> >
> > Vorerst bilde ich die Ableitungen 1. Ordnung:
> >
> > [mm]\frac{df}{dx}=\frac{2xy^{6}}{x^{2}+4x^{2}y^{2}+4y^{4}}[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{df}{dx} \le \frac{2}{9}*Max^{2}(|x|,|y|)[/mm]
>
> > --> 0 für (x,y) -> (0,0)
> >
> > wir sehen dass also die Funktion nach x auch im Punkt
> (0,0)
> > stetig diffbar ist.
> >
> > Für die y - Komponente folgt selbiges:
> >
> > 1 mal stetig diffbar in (0,0)
> >
> > Conclusio bis hier:
> >
> > f ist auf ganz [mm]\IR^{2}[/mm] zumindest 1 mal stetig diffbar
> in
> > allen Komponenten. Auf [mm]\IR^{2}[/mm] ohne (0,0) beliebig oft
> in
> > allen Komponenten.
> >
> > Ich prüfe auf 2malige Diffbarkeit im Punkt (0,0) und
> werde
> > dazu die Bedingung für Gâteaux - Diffbarkeit
> > heranziehen:
> >
> > [mm]\limes_{a\rightarrow0}\frac{f(x+ah,y+ak)-f(x,y)}{a}[/mm] =
> > [mm]\frac{2*a^{6}*k^{5}k}{a^{4}*(h^{2}+4h^{2}k^{2}+4k^{4}}[/mm]
> Dies
> > ergibt natürlich nach kürzen
> [mm]\limes_{a\rightarrow0}=0.[/mm]
> > Nachdem dies linear ist folgt sofort die Frechet -
> > Diffbarkeit in x Komponente in (0,0).
> >
> > Gleiches Vorgehen für y Komponente mit selbigem Erg.
> > ebenfalls ist hier das Resultat linear und somit ist
> auch
> > in y - Komp. Frechet Diffbarkeit vorhanden.
> >
> > Conclusio :
> >
> > Die Funktion ist in allen Komponenten , auch im
> kritischen
> > Punkt mindestens 2mal diffbar.
> >
> >
> > Passt das in dieser Form?
> >
> > Lg
> >
> >
> > Thomas
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> > > Man betrachte die Funktion f(x,y) =
> > > [mm]\frac{x^{2}y^{3}}{x^{2}+2y^{2}}[/mm] und
> > >
> > > a) setze diese stetig fort
> > > b) überprüfe auf 2malige Diffbarkeit
> > >
> > >
> > > Behauptung 1: diese Funktion ist auf ganz [mm]\IR^{2}[/mm]
> > stetig
> > > fortsetzbar
> > >
> > > Bw:
> > >
> > > f(x,y) ist natürlich für alle x,y [mm]\neq(0,0)[/mm] als
> > > Zusammensetzung stetiger Funktion , stetig.
Genau. Ich finde es wichtig zu sagen, dass [mm] $\IR^2 \backslash \{(0,0)\}$ [/mm] eine offene Menge ist. Denn nur auf solchen darf die Stetigkeit übertragen werden.
> > > Ich betrachte also die Stelle (0,0) als einzig
> möglich
> > > kritischen Punkt.
> > >
> > > hierzu betrachte ich:
> > >
> > > [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y) \le[/mm]
> > >
> >
> [mm]\frac{Max^{5}(|x|,|y|)}{2*Max^{4}(|x|,|y|)}=\frac{1}{2}*Max(|x|,|y|)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > Hallo,
> > zunächst einmal: wie kommst du im Nenner auf eine 4.
> > Potenz?
> > Außerdem: Du willst einen Bruch nach oben abschätzen.
> > Dazu müsstest du den Zähler nach oben und den Nenner nach
> > unten abschätzen.
> >
> > Gruß Abakus
>
> Ich schätze durch die Maximumsnorm nach oben ab.
Ich sehe nicht, wie du das tust. Ich kann jetzt mutmaßen, aber führe doch einfach mal deine Abschätzung aus.
Natürlich ist $x^2 + 2y^2 \ge x^2 + y^2$, aber das ist nicht $\ge 2*\max(|x|,|y|)^2$. Und der Nenner muss ja kleiner gemacht werden. Oder verwendest du irgendwie $||(x,y}||_2 \ge \frac{1}{\sqrt{2}}||(x,y)||_{\infty}$ ?
Das mit der Norm ist zwar eine nette Idee, aber evtl. gefällt dir ja auch dieser Weg:
$\left|\frac{x^2y^3}{x^2 + 2y^2}-0\right| \le \frac{x^2 |y|^3}{x^2+y^2} \le \frac{(x^2+y^2)|y|^3}{x^2 + y^2} = |y|^3 \to 0.$ $(x,y \to 0)$
> > > wir sehen sofort dass
> > > [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}[/mm]
> > [mm]\frac{1}{2}*Max(|x|,|y|)[/mm]=0.
> > >
> > > Durch diese Abschätzung gelangen wir zu unserer
> > stetigen
> > > Fortsetzung:
> > >
> > > [mm]f^{\alpha}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \\ f, & \mbox{für } (x,y)\neq(0,0) \end{cases}[/mm]
Das ist korrekt.
> > > Behauptung 2: Diese Funktion ist mindestens 2mal
> > diffbar
> > > BW:
> > >
> > >
> > > Es gilt hier wieder:
> > >
> > > Für alle (x,y) [mm]\neq(0,0)[/mm] ist f(x,y) als
> > Zusammensetzung
> > > beliebig oft diffbarer Funktionen beliebig oft
> diffbar.
Ja.
(Siehe oben; [mm] $\IR^2 \backslash \{(0,0)\}$ [/mm] ist eine offene Menge.)
> > > Ich betrachte wieder den kritischen Punkt (0,0)
> > >
> > > Vorerst bilde ich die Ableitungen 1. Ordnung:
> > >
> > >
> [mm]\frac{df}{dx}=\frac{2xy^{6}}{x^{2}+4x^{2}y^{2}+4y^{4}}[/mm]
Ich (Wolframalpha) komme auf [mm] $4xy^5$ [/mm] im Zähler. Nenner würde ich an deiner Stelle beim Aufschreiben nicht ausmultiplizieren. Kostet Zeit und bringt eigtl. meist nichts.
Also [mm] $\frac{df}{dx}(x,y) [/mm] = [mm] \frac{4xy^5}{(x^2+2y^2)^2}$.
[/mm]
> > > [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{df}{dx} \le \frac{2}{9}*Max^{2}(|x|,|y|)[/mm]
Auch hier ist mir deine Abschätzung wieder nicht so klar.
In einer Klausur solltest du evtl. nachvollziehbarer abschätzen. (Ich gehe davon aus, dass du einfach nicht deinen ganzen Lösungsweg hier hin schreiben wolltest.)
Eine gute Möglichkeit (die auch besser bei allgemeinen Funktionen funktioniert), ist die Transformation in Polarkoordinaten: Du schreibst also $x = r [mm] \cos(\phi)$, [/mm] $y = r [mm] \sin(\phi)$ [/mm] und dann ist $(x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)$ gleichbedeutend mit $r [mm] \to [/mm] 0$. Dadurch hast du wieder eindimensionale Grenzübergänge, die viel besser handhabbar sind. Außerdem kann man (falls mal nicht Stetigkeit vorliegen sollte), anhand der Wahl von [mm] $\phi$ [/mm] sehr gut ein Gegenbeispiel konstruieren.
> >
> > > --> 0 für (x,y) -> (0,0)
> > >
> > > wir sehen dass also die Funktion nach x auch im Punkt
> > (0,0)
> > > stetig diffbar ist.
Ja.....
Wie gesagt, die Abschätzung ist mir nicht so klar.
> > > Für die y - Komponente folgt selbiges:
> > >
> > > 1 mal stetig diffbar in (0,0)
> > >
> > > Conclusio bis hier:
> > >
> > > f ist auf ganz [mm]\IR^{2}[/mm] zumindest 1 mal stetig diffbar
> > in
> > > allen Komponenten. Auf [mm]\IR^{2}[/mm] ohne (0,0) beliebig
> oft
> > in
> > > allen Komponenten.
Und du kennst den Wert der Ableitungen: Alles 0.
Ja.
Das war Teil1.
Viele Grüße,
Stefan
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> Hallo,
>
>
>
> > > > Man betrachte die Funktion f(x,y) =
> > > > [mm]\frac{x^{2}y^{3}}{x^{2}+2y^{2}}[/mm] und
> > > >
> > > > a) setze diese stetig fort
> > > > b) überprüfe auf 2malige Diffbarkeit
> > > >
> > > >
> > > > Behauptung 1: diese Funktion ist auf ganz [mm]\IR^{2}[/mm]
> > > stetig
> > > > fortsetzbar
> > > >
> > > > Bw:
> > > >
> > > > f(x,y) ist natürlich für alle x,y [mm]\neq(0,0)[/mm] als
> > > > Zusammensetzung stetiger Funktion , stetig.
>
>
> Genau. Ich finde es wichtig zu sagen, dass [mm]\IR^2 \backslash \{(0,0)\}[/mm]
> eine offene Menge ist. Denn nur auf solchen darf die
> Stetigkeit übertragen werden.
>
>
> > > > Ich betrachte also die Stelle (0,0) als einzig
> > möglich
> > > > kritischen Punkt.
> > > >
> > > > hierzu betrachte ich:
> > > >
> > > > [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y) \le[/mm]
> > > >
> > >
> >
> [mm]\frac{Max^{5}(|x|,|y|)}{2*Max^{4}(|x|,|y|)}=\frac{1}{2}*Max(|x|,|y|)[/mm]
> > > Hallo,
> > > zunächst einmal: wie kommst du im Nenner auf eine 4.
> > > Potenz?
> > > Außerdem: Du willst einen Bruch nach oben
> abschätzen.
> > > Dazu müsstest du den Zähler nach oben und den Nenner
> nach
> > > unten abschätzen.
> > >
> > > Gruß Abakus
> >
> > Ich schätze durch die Maximumsnorm nach oben ab.
>
>
> Ich sehe nicht, wie du das tust. Ich kann jetzt mutmaßen,
> aber führe doch einfach mal deine Abschätzung aus.
>
> Natürlich ist [mm]x^2 + 2y^2 \ge x^2 + y^2[/mm], aber das ist nicht
> [mm]\ge 2*\max(|x|,|y|)^2[/mm]. Und der Nenner muss ja kleiner
> gemacht werden. Oder verwendest du irgendwie [mm]||(x,y}||_2 \ge \frac{1}{\sqrt{2}}||(x,y)||_{\infty}[/mm]
> ?
>
> Das mit der Norm ist zwar eine nette Idee, aber evtl.
> gefällt dir ja auch dieser Weg:
>
> [mm]\left|\frac{x^2y^3}{x^2 + 2y^2}-0\right| \le \frac{x^2 |y|^3}{x^2+y^2} \le \frac{(x^2+y^2)|y|^3}{x^2 + y^2} = |y|^3 \to 0.[/mm]
> [mm](x,y \to 0)[/mm]
>
Hallo,
> Ja deine Abschätzung gefällt mir gut, sie ist auch für einen Leser gut nachvollziehbar.
Naja meine Idee war die folgende: das Problem bei Betrachtung dieses GW ist ja für (x,y) -> (0,0) der Ausdruck [mm] "\frac{0}{0}" [/mm] - betrachte ich den max. Fall für Zähler und Nenner sehe ich , dass d. Zähler den Nenner dominiert, das Maximum erlaubt mir nur den Ausdruck auf eine Form zu kürzen, bei welcher der Grenzwert eindeutig 0 ist.
Befindest du diese Abschätzung für unzulässig?
Gruß
Thomas
>
> > > > wir sehen sofort dass
> > > > [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}[/mm]
> > > [mm]\frac{1}{2}*Max(|x|,|y|)[/mm]=0.
> > > >
> > > > Durch diese Abschätzung gelangen wir zu unserer
> > > stetigen
> > > > Fortsetzung:
> > > >
> > > > [mm]f^{\alpha}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \\ f, & \mbox{für } (x,y)\neq(0,0) \end{cases}[/mm]
>
>
>
> Das ist korrekt.
>
>
>
>
> > > > Behauptung 2: Diese Funktion ist mindestens 2mal
> > > diffbar
> > > > BW:
> > > >
> > > >
> > > > Es gilt hier wieder:
> > > >
> > > > Für alle (x,y) [mm]\neq(0,0)[/mm] ist f(x,y) als
> > > Zusammensetzung
> > > > beliebig oft diffbarer Funktionen beliebig oft
> > diffbar.
>
>
> Ja.
> (Siehe oben; [mm]\IR^2 \backslash \{(0,0)\}[/mm] ist eine offene
> Menge.)
>
>
>
> > > > Ich betrachte wieder den kritischen Punkt (0,0)
> > > >
> > > > Vorerst bilde ich die Ableitungen 1. Ordnung:
> > > >
> > > >
> > [mm]\frac{df}{dx}=\frac{2xy^{6}}{x^{2}+4x^{2}y^{2}+4y^{4}}[/mm]
>
> Ich (Wolframalpha) komme auf [mm]4xy^5[/mm] im Zähler. Nenner
> würde ich an deiner Stelle beim Aufschreiben nicht
> ausmultiplizieren. Kostet Zeit und bringt eigtl. meist
> nichts.
>
> Also [mm]\frac{df}{dx}(x,y) = \frac{4xy^5}{(x^2+2y^2)^2}[/mm].
>
>
>
> > > > [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{df}{dx} \le \frac{2}{9}*Max^{2}(|x|,|y|)[/mm]
>
>
> Auch hier ist mir deine Abschätzung wieder nicht so klar.
> In einer Klausur solltest du evtl. nachvollziehbarer
> abschätzen. (Ich gehe davon aus, dass du einfach nicht
> deinen ganzen Lösungsweg hier hin schreiben wolltest.)
>
>
> Eine gute Möglichkeit (die auch besser bei allgemeinen
> Funktionen funktioniert), ist die Transformation in
> Polarkoordinaten: Du schreibst also [mm]x = r \cos(\phi)[/mm], [mm]y = r \sin(\phi)[/mm]
> und dann ist [mm](x,y) \to (0,0)[/mm] gleichbedeutend mit [mm]r \to 0[/mm].
> Dadurch hast du wieder eindimensionale Grenzübergänge,
> die viel besser handhabbar sind. Außerdem kann man (falls
> mal nicht Stetigkeit vorliegen sollte), anhand der Wahl von
> [mm]\phi[/mm] sehr gut ein Gegenbeispiel konstruieren.
>
>
>
>
> > >
> > > > --> 0 für (x,y) -> (0,0)
> > > >
> > > > wir sehen dass also die Funktion nach x auch im
> Punkt
> > > (0,0)
> > > > stetig diffbar ist.
>
> Ja.....
> Wie gesagt, die Abschätzung ist mir nicht so klar.
>
>
>
> > > > Für die y - Komponente folgt selbiges:
> > > >
> > > > 1 mal stetig diffbar in (0,0)
> > > >
> > > > Conclusio bis hier:
> > > >
> > > > f ist auf ganz [mm]\IR^{2}[/mm] zumindest 1 mal stetig
> diffbar
> > > in
> > > > allen Komponenten. Auf [mm]\IR^{2}[/mm] ohne (0,0) beliebig
> > oft
> > > in
> > > > allen Komponenten.
>
>
> Und du kennst den Wert der Ableitungen: Alles 0.
> Ja.
>
>
> Das war Teil1.
>
>
> Viele Grüße,
> Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo Thomas,
> Naja meine Idee war die folgende: das Problem bei
> Betrachtung dieses GW ist ja für (x,y) -> (0,0) der
> Ausdruck [mm]"\frac{0}{0}"[/mm] - betrachte ich den max. Fall für
> Zähler und Nenner sehe ich , dass d. Zähler den Nenner
> dominiert, das Maximum erlaubt mir nur den Ausdruck auf
> eine Form zu kürzen, bei welcher der Grenzwert eindeutig 0
> ist.
Deine Idee funktioniert hier nicht. Du hast Zähler und Nenner nach oben abgeschätzt, um den Bruch nach oben abzuschätzen. Und dies ist nun mal unzulässig, denn aus [mm] $0
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 10:47 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > > f(x,y) ist natürlich für alle x,y [mm]\neq(0,0)[/mm] als
> > > > Zusammensetzung stetiger Funktion , stetig.
>
>
> Genau. Ich finde es wichtig zu sagen, dass [mm]\IR^2 \backslash \{(0,0)\}[/mm]
> eine offene Menge ist. Denn nur auf solchen darf die
> Stetigkeit übertragen werden.
was willst Du uns denn damit sagen?
![[]](/images/popup.gif) Kapitel 10
Beispielsweise ist $f [mm] \colon [/mm] [0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=x\,$ [/mm] stetig (und übrigens
auch DIFFERENZIERBAR - wobei man bei Funktionen mehrerer
Veränderlichen dann oft bei der Differenzierbarkeit schon die Offenheit
des Definitionsbereichs voraussetzt...)!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 14:28 Sa 06.04.2013 | | Autor: | steppenhahn |
Hallo Marcel,
> Hallo,
>
> > > > > f(x,y) ist natürlich für alle x,y [mm]\neq(0,0)[/mm] als
> > > > > Zusammensetzung stetiger Funktion , stetig.
> >
> >
> > Genau. Ich finde es wichtig zu sagen, dass [mm]\IR^2 \backslash \{(0,0)\}[/mm]
> > eine offene Menge ist. Denn nur auf solchen darf die
> > Stetigkeit übertragen werden.
>
> was willst Du uns denn damit sagen?
>
> Kapitel 10
>
> Beispielsweise ist [mm]f \colon [0,1] \to \IR[/mm] mit [mm]f(x):=x\,[/mm]
> stetig (und übrigens
> auch DIFFERENZIERBAR - wobei man bei Funktionen mehrerer
> Veränderlichen dann oft bei der Differenzierbarkeit schon
> die Offenheit
> des Definitionsbereichs voraussetzt...)!
Hallo Marcel,
ich habe mich vielleicht nicht so gut ausgedrückt.
Ich meinte, dass [mm] $\IR^{2} \backslash \{(0,0)\}$ [/mm] relativ offen bzgl. des Definitionsbereichs [mm] $\IR^2$ [/mm] der Funktion ist.
Mit ging es darum deutlich zu machen, dass die Argumentation "Verknüpfung von stetigen Funktionen" bei Funktionen der Art
f(x) = [mm] \begin{cases}
x, x \le 0\\
x+1, x > 0
\end{cases}
[/mm]
zum Beispiel auf dem Bereich [mm] $(-\infty,0]$ [/mm] nicht funktioniert, weil das keine relativ offene Menge bzgl. des Def.-bereichs [mm] $\IR$ [/mm] der Funktion ist.
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 04:43 Di 09.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
> Hallo Marcel,
>
> > Hallo,
> >
> > > > > > f(x,y) ist natürlich für alle x,y [mm]\neq(0,0)[/mm]
> als
> > > > > > Zusammensetzung stetiger Funktion , stetig.
> > >
> > >
>
>
> > > Genau. Ich finde es wichtig zu sagen, dass [mm]\IR^2 \backslash \{(0,0)\}[/mm]
>
> > > eine offene Menge ist. Denn nur auf solchen darf die
> > > Stetigkeit übertragen werden.
> >
> > was willst Du uns denn damit sagen?
> >
> >
> Kapitel 10
>
> >
> > Beispielsweise ist [mm]f \colon [0,1] \to \IR[/mm] mit [mm]f(x):=x\,[/mm]
> > stetig (und übrigens
> > auch DIFFERENZIERBAR - wobei man bei Funktionen
> mehrerer
> > Veränderlichen dann oft bei der Differenzierbarkeit
> schon
> > die Offenheit
> > des Definitionsbereichs voraussetzt...)!
>
>
> Hallo Marcel,
>
> ich habe mich vielleicht nicht so gut ausgedrückt.
> Ich meinte, dass [mm]\IR^{2} \backslash \{(0,0)\}[/mm] relativ
> offen bzgl. des Definitionsbereichs [mm]\IR^2[/mm] der Funktion
> ist.
>
>
> Mit ging es darum deutlich zu machen, dass die
> Argumentation "Verknüpfung von stetigen Funktionen" bei
> Funktionen der Art
>
> f(x) = [mm]\begin{cases}
x, x \le 0\\
x+1, x > 0
\end{cases}[/mm]
>
> zum Beispiel auf dem Bereich [mm](-\infty,0][/mm] nicht
> funktioniert, weil das keine relativ offene Menge bzgl. des
> Def.-bereichs [mm]\IR[/mm] der Funktion ist.
häh? Dein [mm] $f\,$ [/mm] - eingeschränkt auf [mm] $(-\infty,0]\,$ [/mm] - ist stetig:
[mm] $f_{|(-\infty,0]}$ [/mm] ist stetig.
Das, was Du vermutlich meinst, ist, dass daraus aber nur folgt, dass
[mm] $f\,$ [/mm] (stetig an allen Stellen $x < [mm] 0\,$ [/mm] ist und zudem) links-stetig an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] ist
(und man aufpassen muss, dass man nicht folgert, dass dann auch [mm] $f\,$ [/mm]
stetig an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] wäre - denn das wäre Unsinn!):
Das ist ja klar, weil [mm] $f_{|(-\infty,0]}$ [/mm] halt nur "links der (einschließlich) Null" definiert ist.
Ich glaube, das, was Du meinst, musst Du einfach so sagen: "Hier erkennt
man aber, dass man alleine aus der Links-Stetigkeit an der Stelle Null noch
nicht auf die Stetigkeit an der Stelle Null schließen kann". Ist ja auch klar: [mm] $f_{|(-\infty,0]}$ [/mm] enthält
keine Informationen "bzgl. [mm] $f(x)\,$ [/mm] bei $0 < x [mm] \to [/mm] 0$".
Also ich glaube, dass das das ist, was Du meinst. Aber es ist - meiner
Meinung nach - nicht richtig von Dir formuliert. Denn es mutet ein wenig so
an, wie der oft von Lehrern behauptete Unsinn, dass
[mm] $$g(x):=1/x\text{ für }x \not=0$$
[/mm]
nicht stetig an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] sei. Das ist deswegen Unsinn, weil [mm] $g\,$ [/mm] an
der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] nicht definiert ist. ("Eine Funktion $f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to [/mm] Z$ ist genau
dann stetig in [mm] $x_0$ ($\in [/mm] D$), wenn...": Sowas steht in der Definition der
Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle [mm] $x_0\,.$ [/mm] D.h., Funktionen auf
Stetigkeit an einer Stelle außerhalb ihres Definitionsbereichs zu
untersuchen, ist doch sehr unsinnig. In der Schule kommt auch niemand
auf die Idee, die Logarithmusfunktion [mm] $\ln \colon (0,\infty) \to \IR$ [/mm] an der Stelle
[mm] $-12\,$ [/mm] auf Stetigkeit zu untersuchen...)
Etwas anderes ist die Aussage, dass [mm] $g\,$ [/mm] sich nicht als Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] durch
definieren eines Wertes [mm] $g(0)\,$ [/mm] stetig fortsetzen lasse. Lehrer, die sowas sagen,
reden wenigstens keinen Unsinn. 
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
>
>
> > > > Man betrachte die Funktion f(x,y) =
> > > > [mm]\frac{x^{2}y^{3}}{x^{2}+2y^{2}}[/mm] und
> > > >
> > > > a) setze diese stetig fort
> > > > b) überprüfe auf 2malige Diffbarkeit
> > > >
> > > >
> > > > Behauptung 1: diese Funktion ist auf ganz [mm]\IR^{2}[/mm]
> > > stetig
> > > > fortsetzbar
> > > >
> > > > Bw:
> > > >
> > > > f(x,y) ist natürlich für alle x,y [mm]\neq(0,0)[/mm] als
> > > > Zusammensetzung stetiger Funktion , stetig.
>
>
> Genau. Ich finde es wichtig zu sagen, dass [mm]\IR^2 \backslash \{(0,0)\}[/mm]
> eine offene Menge ist. Denn nur auf solchen darf die
> Stetigkeit übertragen werden.
>
>
> > > > Ich betrachte also die Stelle (0,0) als einzig
> > möglich
> > > > kritischen Punkt.
> > > >
> > > > hierzu betrachte ich:
> > > >
> > > > [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y) \le[/mm]
> > > >
> > >
> >
> [mm]\frac{Max^{5}(|x|,|y|)}{2*Max^{4}(|x|,|y|)}=\frac{1}{2}*Max(|x|,|y|)[/mm]
> > > Hallo,
> > > zunächst einmal: wie kommst du im Nenner auf eine 4.
> > > Potenz?
> > > Außerdem: Du willst einen Bruch nach oben
> abschätzen.
> > > Dazu müsstest du den Zähler nach oben und den Nenner
> nach
> > > unten abschätzen.
> > >
> > > Gruß Abakus
> >
> > Ich schätze durch die Maximumsnorm nach oben ab.
>
>
> Ich sehe nicht, wie du das tust. Ich kann jetzt mutmaßen,
> aber führe doch einfach mal deine Abschätzung aus.
>
> Natürlich ist [mm]x^2 + 2y^2 \ge x^2 + y^2[/mm], aber das ist nicht
> [mm]\ge 2*\max(|x|,|y|)^2[/mm]. Und der Nenner muss ja kleiner
> gemacht werden. Oder verwendest du irgendwie [mm]||(x,y}||_2 \ge \frac{1}{\sqrt{2}}||(x,y)||_{\infty}[/mm]
> ?
>
> Das mit der Norm ist zwar eine nette Idee, aber evtl.
> gefällt dir ja auch dieser Weg:
>
> [mm]\left|\frac{x^2y^3}{x^2 + 2y^2}-0\right| \le \frac{x^2 |y|^3}{x^2+y^2} \le \frac{(x^2+y^2)|y|^3}{x^2 + y^2} = |y|^3 \to 0.[/mm]
> [mm](x,y \to 0)[/mm]
>
> Eine Frage noch zur Idee mit Max:
Was wäre wenn ich eine Annäherung durchführe?
Zb: x = y
[mm] \limes_{x\rightarrow0}f(x,x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow0}\frac{x^{5}}{3x^{2}} [/mm] = 0.
Und dann die Betrachtung :
[mm] \limes_{f(x,y)\rightarrow(0,0)}|f(x,y)-0|=\limes_{f(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}y^{3}}{x^{2}+2y^{2}}\le \limes_{f(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{Max^{5}(|x|,|y|)}{Max^{2}(|x|,|y|)} [/mm] = 0.
Ich denke, dass das funktionieren sollte?
Gruß
Thomas
>
> > > > wir sehen sofort dass
> > > > [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}[/mm]
> > > [mm]\frac{1}{2}*Max(|x|,|y|)[/mm]=0.
> > > >
> > > > Durch diese Abschätzung gelangen wir zu unserer
> > > stetigen
> > > > Fortsetzung:
> > > >
> > > > [mm]f^{\alpha}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \\ f, & \mbox{für } (x,y)\neq(0,0) \end{cases}[/mm]
>
>
>
> Das ist korrekt.
>
>
>
>
> > > > Behauptung 2: Diese Funktion ist mindestens 2mal
> > > diffbar
> > > > BW:
> > > >
> > > >
> > > > Es gilt hier wieder:
> > > >
> > > > Für alle (x,y) [mm]\neq(0,0)[/mm] ist f(x,y) als
> > > Zusammensetzung
> > > > beliebig oft diffbarer Funktionen beliebig oft
> > diffbar.
>
>
> Ja.
> (Siehe oben; [mm]\IR^2 \backslash \{(0,0)\}[/mm] ist eine offene
> Menge.)
>
>
>
> > > > Ich betrachte wieder den kritischen Punkt (0,0)
> > > >
> > > > Vorerst bilde ich die Ableitungen 1. Ordnung:
> > > >
> > > >
> > [mm]\frac{df}{dx}=\frac{2xy^{6}}{x^{2}+4x^{2}y^{2}+4y^{4}}[/mm]
>
> Ich (Wolframalpha) komme auf [mm]4xy^5[/mm] im Zähler. Nenner
> würde ich an deiner Stelle beim Aufschreiben nicht
> ausmultiplizieren. Kostet Zeit und bringt eigtl. meist
> nichts.
>
> Also [mm]\frac{df}{dx}(x,y) = \frac{4xy^5}{(x^2+2y^2)^2}[/mm].
>
>
>
> > > > [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{df}{dx} \le \frac{2}{9}*Max^{2}(|x|,|y|)[/mm]
>
>
> Auch hier ist mir deine Abschätzung wieder nicht so klar.
> In einer Klausur solltest du evtl. nachvollziehbarer
> abschätzen. (Ich gehe davon aus, dass du einfach nicht
> deinen ganzen Lösungsweg hier hin schreiben wolltest.)
>
>
> Eine gute Möglichkeit (die auch besser bei allgemeinen
> Funktionen funktioniert), ist die Transformation in
> Polarkoordinaten: Du schreibst also [mm]x = r \cos(\phi)[/mm], [mm]y = r \sin(\phi)[/mm]
> und dann ist [mm](x,y) \to (0,0)[/mm] gleichbedeutend mit [mm]r \to 0[/mm].
> Dadurch hast du wieder eindimensionale Grenzübergänge,
> die viel besser handhabbar sind. Außerdem kann man (falls
> mal nicht Stetigkeit vorliegen sollte), anhand der Wahl von
> [mm]\phi[/mm] sehr gut ein Gegenbeispiel konstruieren.
>
>
>
>
> > >
> > > > --> 0 für (x,y) -> (0,0)
> > > >
> > > > wir sehen dass also die Funktion nach x auch im
> Punkt
> > > (0,0)
> > > > stetig diffbar ist.
>
> Ja.....
> Wie gesagt, die Abschätzung ist mir nicht so klar.
>
>
>
> > > > Für die y - Komponente folgt selbiges:
> > > >
> > > > 1 mal stetig diffbar in (0,0)
> > > >
> > > > Conclusio bis hier:
> > > >
> > > > f ist auf ganz [mm]\IR^{2}[/mm] zumindest 1 mal stetig
> diffbar
> > > in
> > > > allen Komponenten. Auf [mm]\IR^{2}[/mm] ohne (0,0) beliebig
> > oft
> > > in
> > > > allen Komponenten.
>
>
> Und du kennst den Wert der Ableitungen: Alles 0.
> Ja.
>
>
> Das war Teil1.
>
>
> Viele Grüße,
> Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Helbig |
> Und dann die Betrachtung :
>
> [mm]\limes_{f(x,y)\rightarrow(0,0)}|f(x,y)-0|=\limes_{f(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}y^{3}}{x^{2}+2y^{2}}\le \limes_{f(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{Max^{5}(|x|,|y|)}{Max^{2}(|x|,|y|)}[/mm]
> = 0.
>
> Ich denke, dass das funktionieren sollte?
Ich nicht. Es gilt im allgemeinen nämlich nicht [mm] $x^2+2y^2 \ge Max^2(|x|, |y|)\,.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
> > Und dann die Betrachtung :
> >
> >
> [mm]\limes_{f(x,y)\rightarrow(0,0)}|f(x,y)-0|=\limes_{f(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}y^{3}}{x^{2}+2y^{2}}\le \limes_{f(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{Max^{5}(|x|,|y|)}{Max^{2}(|x|,|y|)}[/mm]
> > = 0.
> >
> > Ich denke, dass das funktionieren sollte?
>
> Ich nicht. Es gilt im allgemeinen nämlich nicht [mm]x^2+2y^2 \ge Max^2(|x|, |y|)\,.[/mm]
>
>
> Gruß,
> Wolfgang
Naja bei Annäherung x = y gilt das schon.
Gruß
Thomas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Helbig |
> > > Und dann die Betrachtung :
> > >
> > >
> >
> [mm]\limes_{f(x,y)\rightarrow(0,0)}|f(x,y)-0|=\limes_{f(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}y^{3}}{x^{2}+2y^{2}}\le \limes_{f(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{Max^{5}(|x|,|y|)}{Max^{2}(|x|,|y|)}[/mm]
> > > = 0.
> > >
> > > Ich denke, dass das funktionieren sollte?
> >
> > Ich nicht. Es gilt im allgemeinen nämlich nicht [mm]x^2+2y^2 \ge Max^2(|x|, |y|)\,.[/mm]
>
> >
> >
> > Gruß,
> > Wolfgang
>
> Naja bei Annäherung x = y gilt das schon.
Was bedeutet "Annäherung x=y"? Und warum sollte das dann gelten?
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
> > > > Und dann die Betrachtung :
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]\limes_{f(x,y)\rightarrow(0,0)}|f(x,y)-0|=\limes_{f(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}y^{3}}{x^{2}+2y^{2}}\le \limes_{f(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{Max^{5}(|x|,|y|)}{Max^{2}(|x|,|y|)}[/mm]
> > > > = 0.
> > > >
> > > > Ich denke, dass das funktionieren sollte?
> > >
> > > Ich nicht. Es gilt im allgemeinen nämlich nicht [mm]x^2+2y^2 \ge Max^2(|x|, |y|)\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > Gruß,
> > > Wolfgang
> >
> > Naja bei Annäherung x = y gilt das schon.
>
> Was bedeutet "Annäherung x=y"? Und warum sollte das dann
> gelten?
>
> Gruß,
> Wolfgang
Ja ich meinte die Betrachtung von (x,0) --> (0,0) , (0,y)->(0,0, und (x,y) -> (0,0) wobei x=y
Ich glaube es ist hier tatsächlich am besten mit Polarkoordinaten zu arbeiten. Generell bei Funktionen solcher Gestalt.
Gruß
Thomas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:01 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Helbig |
> > > > > Und dann die Betrachtung :
> > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]\limes_{f(x,y)\rightarrow(0,0)}|f(x,y)-0|=\limes_{f(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}y^{3}}{x^{2}+2y^{2}}\le \limes_{f(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{Max^{5}(|x|,|y|)}{Max^{2}(|x|,|y|)}[/mm]
> > > > > = 0.
> > > > >
> > > > > Ich denke, dass das funktionieren sollte?
> > > >
> > > > Ich nicht. Es gilt im allgemeinen nämlich nicht [mm]x^2+2y^2 \ge Max^2(|x|, |y|)\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > >
> > > > Gruß,
> > > > Wolfgang
> > >
> > > Naja bei Annäherung x = y gilt das schon.
> >
> > Was bedeutet "Annäherung x=y"? Und warum sollte das dann
> > gelten?
> >
> > Gruß,
> > Wolfgang
>
>
> Ja ich meinte die Betrachtung von (x,0) --> (0,0) ,
> (0,y)->(0,0, und (x,y) -> (0,0) wobei x=y
> Ich glaube es ist hier tatsächlich am besten mit
> Polarkoordinaten zu arbeiten. Generell bei Funktionen
> solcher Gestalt.
Nein. Das bringt hier gar nichts. Am besten ist es, den Bruch nach oben abzuschätzen, wie es steppenhahn ja bespielhaft vorgeführt hat.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
mal neben anderem Zeugs, ich hab' gerade wenig Zeit:
> Durch diese Abschätzung gelangen wir zu unserer stetigen
> Fortsetzung:
>
> [mm]f^{\alpha}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \\ f, & \mbox{für } (x,y)\neq(0,0) \end{cases}[/mm]
was soll denn das bedeuten?
Da gehört eine Fallunterscheidung der Art [mm] $\,f(x,y)=...$ [/mm] für [mm] $(x,y)=(0,0)\,$
[/mm]
und [mm] $f(x,y)=...\,$ [/mm] für $(x,y) [mm] \not=(0,0)$ [/mm] (genauer: für $(x,y) [mm] \in \IR^2 \setminus \{(0,0)\}$)
[/mm]
hin (kannst Du natürlich schöner mit den "begin{cases} end{cases}" wie oben
schreiben). Oder was soll das [mm] $f^\alpha$? [/mm] Meinst Du [mm] $f^\alpha [/mm] (x,y)$? Für welche(s) [mm] $\alpha$?
[/mm]
P.S. [mm] $f(x,y)=f(x,y)\,$ [/mm] für $(x,y) [mm] \not=(0,0)$ [/mm] macht keinen Sinn. Machen wir
mal ein Beispiel:
Ist $g [mm] \colon \IR \setminus \{1\} \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x):=(x^2-1)/(x-1)$ [/mm] gegeben,
so kannst Du Dir in fast trivialer Weise klarmachen, dass mit [mm] $g(1):=2\,$ [/mm] sich
diese Funktion stetig fortsetzen läßt. (Dass, was man da sagt, macht "so"
eigentlich erstmal keinen Sinn, denn per Definitionem von [mm] $g\,$ [/mm] gehört ja
[mm] $1\,$ [/mm] gar nicht zum Definitionsbereich - wie soll es dann [mm] $g(1)\,$ [/mm] überhaupt
geben? Die Sprechweise ist üblich und beinhaltet - strenggenommen -
eigentlich das, was ich jetzt erklären werde:)
Strenggenommen müßtest Du das aber erstmal etwa so schreiben:
$h [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $h(x):=g(x)=(x^2-1)/(x-1)\,$ [/mm] für [mm] $x\not=1$ [/mm] und [mm] $h(1):=2\,$ [/mm]
ist stetige Fortsetzung von [mm] $g\,,$ [/mm] denn [mm] $h\,$ [/mm] ist stetig (an [mm] $1\,$) [/mm] und es gilt
[mm] $h_{|\IR \setminus \{1\}}=g\,.$
[/mm]
(Keinen Sinn macht's, zu schreiben: Es ist $g(x):=g(x)$ für $x [mm] \not=1$ [/mm] und
[mm] $g(1):=2\,.$)
[/mm]
Denn man hat ja schon den Namen [mm] $g\,$ [/mm] für eine Funktion verbraten, wenn
man nun eine andere Funktion hat, muss sie eigentlich einen neuen
Namen bekommen. Nun ist der Zusammenhang zwischen [mm] $g\,$ [/mm] und [mm] $h\,$
[/mm]
aber so, dass sich "da nicht viel ändert". Daher sagt man einfach kurz:
Mit [mm] $g(1):=2\,$ [/mm] läßt sich [mm] $g\,$ [/mm] stetig an der Stelle [mm] $1\,$ [/mm] (zu einer auf ganz
[mm] $\IR$ [/mm] stetigen Funktion) fortsetzen.
Aber: Strenggenommen ist die Ausgangsfunktion erstmal eine andere, wie
die Funktion, die man fortgesetzt hat. Daher MÜSSTEN beide eigentlich
verschiedene Namen bekommen - das macht man in der Praxis aber quasi
fast nie!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:15 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
> Hallo,
>
> mal neben anderem Zeugs, ich hab' gerade wenig Zeit:
>
> > Durch diese Abschätzung gelangen wir zu unserer stetigen
> > Fortsetzung:
> >
> > [mm]f^{\alpha}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \\ f, & \mbox{für } (x,y)\neq(0,0) \end{cases}[/mm]
>
> was soll denn das bedeuten?
>
> Da gehört eine Fallunterscheidung der Art [mm]\,f(x,y)=...[/mm]
> für [mm](x,y)=(0,0)\,[/mm]
> und [mm]f(x,y)=...\,[/mm] für [mm](x,y) \not=(0,0)[/mm] (genauer: für
> [mm](x,y) \in \IR^2 \setminus \{(0,0)\}[/mm])
> hin (kannst Du
> natürlich schöner mit den "begin{cases} end{cases}" wie
> oben
> schreiben). Oder was soll das [mm]f^\alpha[/mm]? Meinst Du [mm]f^\alpha (x,y)[/mm]?
> Für welche(s) [mm]\alpha[/mm]?
>
[mm]f^\alpha[/mm] soll lediglich Notation sein um die stetige Fortsetzung von f zu unterscheiden, also [mm]f^\alpha[/mm] bezeichnet die auf ganz [mm] R^2 [/mm] stetig fortgesetzte Funktion.
Wieso ist die Notation nicht klar, bzw warum genauer?
Die stetig fortgesetzte Funktion ist f für alle (x,y) [mm] \neq0 [/mm] oder eben für [mm]\IR[/mm][mm] \(0,0) [/mm] , sie ist 0 für (x,y)= 0.
Gruß Thomas
> P.S. [mm]f(x,y)=f(x,y)\,[/mm] für [mm](x,y) \not=(0,0)[/mm] macht keinen
> Sinn. Machen wir
> mal ein Beispiel:
> Ist [mm]g \colon \IR \setminus \{1\} \to \IR[/mm] mit
> [mm]g(x):=(x^2-1)/(x-1)[/mm] gegeben,
> so kannst Du Dir in fast trivialer Weise klarmachen, dass
> mit [mm]g(1):=2\,[/mm] sich
> diese Funktion stetig fortsetzen läßt. (Dass, was man da
> sagt, macht "so"
> eigentlich erstmal keinen Sinn, denn per Definitionem von
> [mm]g\,[/mm] gehört ja
> [mm]1\,[/mm] gar nicht zum Definitionsbereich - wie soll es dann
> [mm]g(1)\,[/mm] überhaupt
> geben? Die Sprechweise ist üblich und beinhaltet -
> strenggenommen -
> eigentlich das, was ich jetzt erklären werde:)
>
> Strenggenommen müßtest Du das aber erstmal etwa so
> schreiben:
> [mm]h \colon \IR \to \IR[/mm] mit [mm]h(x):=g(x)=(x^2-1)/(x-1)\,[/mm] für
> [mm]x\not=1[/mm] und [mm]h(1):=2\,[/mm]
> ist stetige Fortsetzung von [mm]g\,,[/mm] denn [mm]h\,[/mm] ist stetig (an
> [mm]1\,[/mm]) und es gilt
> [mm]h_{|\IR \setminus \{1\}}=g\,.[/mm]
>
> (Keinen Sinn macht's, zu schreiben: Es ist [mm]g(x):=g(x)[/mm] für
> [mm]x \not=1[/mm] und
> [mm]g(1):=2\,.[/mm])
>
> Denn man hat ja schon den Namen [mm]g\,[/mm] für eine Funktion
> verbraten, wenn
> man nun eine andere Funktion hat, muss sie eigentlich
> einen neuen
> Namen bekommen. Nun ist der Zusammenhang zwischen [mm]g\,[/mm] und
> [mm]h\,[/mm]
> aber so, dass sich "da nicht viel ändert". Daher sagt man
> einfach kurz:
> Mit [mm]g(1):=2\,[/mm] läßt sich [mm]g\,[/mm] stetig an der Stelle [mm]1\,[/mm] (zu
> einer auf ganz
> [mm]\IR[/mm] stetigen Funktion) fortsetzen.
>
> Aber: Strenggenommen ist die Ausgangsfunktion erstmal eine
> andere, wie
> die Funktion, die man fortgesetzt hat. Daher MÜSSTEN beide
> eigentlich
> verschiedene Namen bekommen - das macht man in der Praxis
> aber quasi
> fast nie!
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Sa 06.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> > mal neben anderem Zeugs, ich hab' gerade wenig Zeit:
> >
> > > Durch diese Abschätzung gelangen wir zu unserer stetigen
> > > Fortsetzung:
> > >
> > > [mm]f^{\alpha}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \\ f, & \mbox{für } (x,y)\neq(0,0) \end{cases}[/mm]
>
> >
> > was soll denn das bedeuten?
> >
> > Da gehört eine Fallunterscheidung der Art [mm]\,f(x,y)=...[/mm]
> > für [mm](x,y)=(0,0)\,[/mm]
> > und [mm]f(x,y)=...\,[/mm] für [mm](x,y) \not=(0,0)[/mm] (genauer: für
> > [mm](x,y) \in \IR^2 \setminus \{(0,0)\}[/mm])
> > hin (kannst Du
> > natürlich schöner mit den "begin{cases} end{cases}" wie
> > oben
> > schreiben). Oder was soll das [mm]f^\alpha[/mm]? Meinst Du
> [mm]f^\alpha (x,y)[/mm]?
> > Für welche(s) [mm]\alpha[/mm]?
> >
> [mm]f^\alpha[/mm] soll lediglich Notation sein um die stetige
> Fortsetzung von f zu unterscheiden, also [mm]f^\alpha[/mm]
> bezeichnet die auf ganz [mm]R^2[/mm] stetig fortgesetzte Funktion.
>
> Wieso ist die Notation nicht klar, bzw warum genauer?
> Die stetig fortgesetzte Funktion ist f für alle (x,y)
> [mm]\neq0[/mm] oder eben für [mm]\IR[/mm][mm] \(0,0)[/mm] , sie ist 0 für (x,y)= 0.
Du hättest schreiben sollen:
"Mit [mm] f^{\alpha} [/mm] bezeichne ich die (stetige) Fortsetzung von f auf [mm] \IR^2, [/mm] also:
$ [mm] f^{\alpha}(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \\ f(x,y), & \mbox{für } (x,y)\neq(0,0) \end{cases} [/mm] $"
FRED
>
> Gruß Thomas
>
> > P.S. [mm]f(x,y)=f(x,y)\,[/mm] für [mm](x,y) \not=(0,0)[/mm] macht keinen
> > Sinn. Machen wir
> > mal ein Beispiel:
> > Ist [mm]g \colon \IR \setminus \{1\} \to \IR[/mm] mit
> > [mm]g(x):=(x^2-1)/(x-1)[/mm] gegeben,
> > so kannst Du Dir in fast trivialer Weise klarmachen,
> dass
> > mit [mm]g(1):=2\,[/mm] sich
> > diese Funktion stetig fortsetzen läßt. (Dass, was man
> da
> > sagt, macht "so"
> > eigentlich erstmal keinen Sinn, denn per Definitionem
> von
> > [mm]g\,[/mm] gehört ja
> > [mm]1\,[/mm] gar nicht zum Definitionsbereich - wie soll es dann
> > [mm]g(1)\,[/mm] überhaupt
> > geben? Die Sprechweise ist üblich und beinhaltet -
> > strenggenommen -
> > eigentlich das, was ich jetzt erklären werde:)
> >
> > Strenggenommen müßtest Du das aber erstmal etwa so
> > schreiben:
> > [mm]h \colon \IR \to \IR[/mm] mit [mm]h(x):=g(x)=(x^2-1)/(x-1)\,[/mm]
> für
> > [mm]x\not=1[/mm] und [mm]h(1):=2\,[/mm]
> > ist stetige Fortsetzung von [mm]g\,,[/mm] denn [mm]h\,[/mm] ist stetig (an
> > [mm]1\,[/mm]) und es gilt
> > [mm]h_{|\IR \setminus \{1\}}=g\,.[/mm]
> >
> > (Keinen Sinn macht's, zu schreiben: Es ist [mm]g(x):=g(x)[/mm] für
> > [mm]x \not=1[/mm] und
> > [mm]g(1):=2\,.[/mm])
> >
> > Denn man hat ja schon den Namen [mm]g\,[/mm] für eine Funktion
> > verbraten, wenn
> > man nun eine andere Funktion hat, muss sie eigentlich
> > einen neuen
> > Namen bekommen. Nun ist der Zusammenhang zwischen [mm]g\,[/mm] und
> > [mm]h\,[/mm]
> > aber so, dass sich "da nicht viel ändert". Daher sagt
> man
> > einfach kurz:
> > Mit [mm]g(1):=2\,[/mm] läßt sich [mm]g\,[/mm] stetig an der Stelle [mm]1\,[/mm]
> (zu
> > einer auf ganz
> > [mm]\IR[/mm] stetigen Funktion) fortsetzen.
> >
> > Aber: Strenggenommen ist die Ausgangsfunktion erstmal eine
> > andere, wie
> > die Funktion, die man fortgesetzt hat. Daher MÜSSTEN beide
> > eigentlich
> > verschiedene Namen bekommen - das macht man in der Praxis
> > aber quasi
> > fast nie!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:28 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Fred,
> Du hättest schreiben sollen:
>
> "Mit [mm]f^{\alpha}[/mm] bezeichne ich die (stetige) Fortsetzung von
> f auf [mm]\IR^2,[/mm] also:
>
> [mm]f^{\alpha}(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \\ f(x,y), & \mbox{für } (x,y)\neq(0,0) \end{cases} [/mm]"
das geht schon - aber [mm] $f^\alpha$ [/mm] gefällt mir da aus gewissen didaktischen
Gründen gar nicht als "eigene Funktionsbezeichnung".
Im "schlimmsten Falle des Ausfalls von Kreativität" schreibe ich sowas
wie [mm] "$f^{\text{stetig fortgesetzt}}$ [/mm] wird definiert durch..."...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Sa 06.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hi Fred,
>
>
> > Du hättest schreiben sollen:
> >
> > "Mit [mm]f^{\alpha}[/mm] bezeichne ich die (stetige) Fortsetzung von
> > f auf [mm]\IR^2,[/mm] also:
> >
> > [mm]f^{\alpha}(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \\ f(x,y), & \mbox{für } (x,y)\neq(0,0) \end{cases} [/mm]"
>
> das geht schon - aber [mm]f^\alpha[/mm] gefällt mir da aus gewissen
> didaktischen
> Gründen gar nicht als "eigene Funktionsbezeichnung".
> Im "schlimmsten Falle des Ausfalls von Kreativität"
> schreibe ich sowas
> wie "[mm]f^{\text{stetig fortgesetzt}}[/mm] wird definiert
> durch..."...
Hallo Marcel,
noch besser ist: [mm] f^{cc}.
[/mm]
English ist doch much better, daher "continuous" statt "stetig" und "continuation" statt "Fortsetzung".
Greetz FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:09 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Fred,
> > Hi Fred,
> >
> >
> > > Du hättest schreiben sollen:
> > >
> > > "Mit [mm]f^{\alpha}[/mm] bezeichne ich die (stetige) Fortsetzung von
> > > f auf [mm]\IR^2,[/mm] also:
> > >
> > > [mm]f^{\alpha}(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \\ f(x,y), & \mbox{für } (x,y)\neq(0,0) \end{cases} [/mm]"
>
> >
> > das geht schon - aber [mm]f^\alpha[/mm] gefällt mir da aus gewissen
> > didaktischen
> > Gründen gar nicht als "eigene Funktionsbezeichnung".
> > Im "schlimmsten Falle des Ausfalls von Kreativität"
> > schreibe ich sowas
> > wie "[mm]f^{\text{stetig fortgesetzt}}[/mm] wird definiert
> > durch..."...
>
>
> Hallo Marcel,
>
> noch besser ist: [mm]f^{cc}.[/mm]
>
> English ist doch much better, daher "continuous" statt
> "stetig" und "continuation" statt "Fortsetzung".
yes, maaaan.
> Greetz FRED
Greetz,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:25 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > mal neben anderem Zeugs, ich hab' gerade wenig Zeit:
> >
> > > Durch diese Abschätzung gelangen wir zu unserer stetigen
> > > Fortsetzung:
> > >
> > > [mm]f^{\alpha}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \\ f, & \mbox{für } (x,y)\neq(0,0) \end{cases}[/mm]
>
> >
> > was soll denn das bedeuten?
> >
> > Da gehört eine Fallunterscheidung der Art [mm]\,f(x,y)=...[/mm]
> > für [mm](x,y)=(0,0)\,[/mm]
> > und [mm]f(x,y)=...\,[/mm] für [mm](x,y) \not=(0,0)[/mm] (genauer: für
> > [mm](x,y) \in \IR^2 \setminus \{(0,0)\}[/mm])
> > hin (kannst Du
> > natürlich schöner mit den "begin{cases} end{cases}" wie
> > oben
> > schreiben). Oder was soll das [mm]f^\alpha[/mm]? Meinst Du
> [mm]f^\alpha (x,y)[/mm]?
> > Für welche(s) [mm]\alpha[/mm]?
> >
> [mm]f^\alpha[/mm] soll lediglich Notation sein um die stetige
> Fortsetzung von f zu unterscheiden, also [mm]f^\alpha[/mm]
> bezeichnet die auf ganz [mm]R^2[/mm] stetig fortgesetzte Funktion.
okay, das ist allerdings eine wirklich "unschöne" Wahl. (Man interpretiert
etwa für reellwertige Funktion [mm] $f^2:=f \cdot f\,,$ [/mm] und unter entsprechenden
Voraussetzungen schreibt man auch [mm] $f^{(2)}$ [/mm] für die zweite Ableitung...)
Dann nenne sie meinetwegen lieber [mm] $\underline{f}\,.$ [/mm] Oben fragt man sich, was dieses
[mm] $\alpha$ [/mm] soll - und ob es einen festen Wert hat oder oder oder...
> Wieso ist die Notation nicht klar, bzw warum genauer?
> Die stetig fortgesetzte Funktion ist f für alle (x,y)
> [mm]\neq0[/mm] oder eben für [mm]\IR[/mm][mm] \(0,0)[/mm] , sie ist 0 für (x,y)= 0.
Na, da muss wenigstens - in Deiner Notation - das so geschrieben
werden:
[mm] $$f^{\alpha}\red{(x,y)}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \\ f\red{(x,y)}, & \mbox{für } (x,y)\neq(0,0) \end{cases}\,.$$
[/mm]
Oder Du schreibst [mm] $f^{\alpha}_{|\IR \setminus \{(0,0)\}}:=f$ [/mm] und [mm] $f^\alpha(0,0):=0\,.$
[/mm]
Wobei ich, wie gesagt, [mm] $f^\alpha$ [/mm] als Namen "für eine eigene Funktion" wirklich
nicht wählen würde - zumal da [mm] $\alpha$ [/mm] zumindest den Eindruck erzeugt,
ein Parameter zu sein. Daher würde ich eher etwa [mm] $\underline{f}$ [/mm] anstatt [mm] $f^\alpha$
[/mm]
schreiben - oder nenne die Funktion gänzlich anders, aber "ohne den
Eindruck zu erwecken, dass sie noch Parameter enthält".
Aber so "könnte" man es "vielleicht" dann akzeptieren.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
> Hallo,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > mal neben anderem Zeugs, ich hab' gerade wenig Zeit:
> > >
> > > > Durch diese Abschätzung gelangen wir zu unserer stetigen
> > > > Fortsetzung:
> > > >
> > > > [mm]f^{\alpha}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \\ f, & \mbox{für } (x,y)\neq(0,0) \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > was soll denn das bedeuten?
> > >
> > > Da gehört eine Fallunterscheidung der Art [mm]\,f(x,y)=...[/mm]
> > > für [mm](x,y)=(0,0)\,[/mm]
> > > und [mm]f(x,y)=...\,[/mm] für [mm](x,y) \not=(0,0)[/mm] (genauer:
> für
> > > [mm](x,y) \in \IR^2 \setminus \{(0,0)\}[/mm])
> > > hin (kannst
> Du
> > > natürlich schöner mit den "begin{cases} end{cases}" wie
> > > oben
> > > schreiben). Oder was soll das [mm]f^\alpha[/mm]? Meinst Du
> > [mm]f^\alpha (x,y)[/mm]?
> > > Für welche(s) [mm]\alpha[/mm]?
> > >
> > [mm]f^\alpha[/mm] soll lediglich Notation sein um die stetige
> > Fortsetzung von f zu unterscheiden, also [mm]f^\alpha[/mm]
> > bezeichnet die auf ganz [mm]R^2[/mm] stetig fortgesetzte Funktion.
>
> okay, das ist allerdings eine wirklich "unschöne" Wahl.
> (Man interpretiert
> etwa für reellwertige Funktion [mm]f^2:=f \cdot f\,,[/mm] und
> unter entsprechenden
> Voraussetzungen schreibt man auch [mm]f^{(2)}[/mm] für die zweite
> Ableitung...)
> Dann nenne sie meinetwegen lieber [mm]\underline{f}\,.[/mm] Oben
> fragt man sich, was dieses
> [mm]\alpha[/mm] soll - und ob es einen festen Wert hat oder oder
> oder...
Ja ich kenne die Notation bzgl [mm]f^{(2)}[/mm] udgl. Du hast natürlich recht, dass die Bezeichnung ungünstig gewählt ist - es wäre etwas wie [mm] f^{*} [/mm] natürlich besser gewesen. Der Stern bei dem f war/ ist aber fast nicht zu lesen daher habe ich [mm] \alpha [/mm] gewählt.
>
> > Wieso ist die Notation nicht klar, bzw warum genauer?
> > Die stetig fortgesetzte Funktion ist f für alle (x,y)
> > [mm]\neq0[/mm] oder eben für [mm]\IR[/mm][mm] \(0,0)[/mm] , sie ist 0 für (x,y)= 0.
>
> Na, da muss wenigstens - in Deiner Notation - das so
> geschrieben
> werden:
> [mm]f^{\alpha}\red{(x,y)}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \\ f\red{(x,y)}, & \mbox{für } (x,y)\neq(0,0) \end{cases}\,.[/mm]
>
> Oder Du schreibst [mm]f^{\alpha}_{|\IR \setminus \{(0,0)\}}:=f[/mm]
> und [mm]f^\alpha(0,0):=0\,.[/mm]
>
> Wobei ich, wie gesagt, [mm]f^\alpha[/mm] als Namen "für eine eigene
> Funktion" wirklich
> nicht wählen würde - zumal da [mm]\alpha[/mm] zumindest den
> Eindruck erzeugt,
> ein Parameter zu sein. Daher würde ich eher etwa
> [mm]\underline{f}[/mm] anstatt [mm]f^\alpha[/mm]
> schreiben - oder nenne die Funktion gänzlich anders, aber
> "ohne den
> Eindruck zu erwecken, dass sie noch Parameter enthält".
>
> Aber so "könnte" man es "vielleicht" dann akzeptieren.
>
> Gruß,
> Marcel
Danke.
Gruß
Thomas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > mal neben anderem Zeugs, ich hab' gerade wenig Zeit:
> > > >
> > > > > Durch diese Abschätzung gelangen wir zu unserer stetigen
> > > > > Fortsetzung:
> > > > >
> > > > > [mm]f^{\alpha}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \\ f, & \mbox{für } (x,y)\neq(0,0) \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > was soll denn das bedeuten?
> > > >
> > > > Da gehört eine Fallunterscheidung der Art [mm]\,f(x,y)=...[/mm]
> > > > für [mm](x,y)=(0,0)\,[/mm]
> > > > und [mm]f(x,y)=...\,[/mm] für [mm](x,y) \not=(0,0)[/mm] (genauer:
> > für
> > > > [mm](x,y) \in \IR^2 \setminus \{(0,0)\}[/mm])
> > > > hin
> (kannst
> > Du
> > > > natürlich schöner mit den "begin{cases} end{cases}" wie
> > > > oben
> > > > schreiben). Oder was soll das [mm]f^\alpha[/mm]? Meinst Du
> > > [mm]f^\alpha (x,y)[/mm]?
> > > > Für welche(s) [mm]\alpha[/mm]?
> > > >
> > > [mm]f^\alpha[/mm] soll lediglich Notation sein um die stetige
> > > Fortsetzung von f zu unterscheiden, also [mm]f^\alpha[/mm]
> > > bezeichnet die auf ganz [mm]R^2[/mm] stetig fortgesetzte Funktion.
> >
> > okay, das ist allerdings eine wirklich "unschöne" Wahl.
> > (Man interpretiert
> > etwa für reellwertige Funktion [mm]f^2:=f \cdot f\,,[/mm] und
> > unter entsprechenden
> > Voraussetzungen schreibt man auch [mm]f^{(2)}[/mm] für die
> zweite
> > Ableitung...)
> > Dann nenne sie meinetwegen lieber [mm]\underline{f}\,.[/mm] Oben
> > fragt man sich, was dieses
> > [mm]\alpha[/mm] soll - und ob es einen festen Wert hat oder oder
> > oder...
>
> Ja ich kenne die Notation bzgl [mm]f^{(2)}[/mm] udgl. Du hast
> natürlich recht, dass die Bezeichnung ungünstig gewählt
> ist - es wäre etwas wie [mm]f^{*}[/mm] natürlich besser gewesen.
> Der Stern bei dem f war/ ist aber fast nicht zu lesen daher
> habe ich [mm]\alpha[/mm] gewählt.
ah, okay. Wobei [mm] $f^{\*}$ [/mm] evtl. wieder an "konjugiert komplexes" erinnert.
Es ginge auch [mm] $f^{\star}$ ($\star$ [/mm] anstatt [mm] $\*$) [/mm] oder [mm] $f^{\bullet}$ [/mm] (klick' einfach die Formeln
an, dann weißt Du, wie man [mm] $\star$, $\*$ [/mm] (geht hier so, in Latex, i.a., nicht
- glaube ich) etc. schreiben kann).
Gruß,
Marcel
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Hallo,
Ich habe mir die Kritik gut angesehen und will nun das Beispiel neu ausführen.
Aufgabe:
Man betrachte die Funktion f(x,y) = [mm] \frac{x^{2}y^{3}}{x^{2}+2y^{2}} [/mm] und
a) gebe die stetige Fortsetzung an
b) überprüfe auf 2malige Diffbarkeit.
Behauptung 1: Die Funktion ist als Zusammensetzung von stetigen, sogar von beliebig oft diffbaren Funktionen auf ganz [mm] \IR^{2} \backslash [/mm] {(0,0)} stetig bzw beliebig oft diffbar.
Dies werde ich natürlich nicht prüfen. Es bleibt zz. dass die Funktion für (x,y) = (0,0) stetig ist und in weiterer Folge dort auch differenzierbar.
Beh 2: Die Funktion ist im Punkt (0,0) stetig.
Bw: Um das einzusehen betrachte ich [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y) [/mm] , um die Einsicht zu erleichtern will ich die Funktion in ihrer Polarkoord. Darstellung angeben
setze : x = [mm] rCos\phi [/mm] und y = [mm] rSin\phi [/mm] .
Nun ist der Übergang von (x,y) -> (0,0) gleichbedeutend mit r -> 0.
Ich bilde also:
[mm] \limes_{r\rightarrow0}f(rCos\phi,rSin\phi) [/mm] = [mm] \limes_{r\rightarrow0}\frac{r^{5}Cos^{2}(\phi)Sin^{2}(\phi)}{r^{2}*(Cos^{2}(\phi)+2Sin^{2}(\phi)} [/mm] = 0 da natürlich [mm] r^{3} [/mm] nach kürzen im Zähler verbleibt.
Somit ist gezeigt dass die Funktion für r [mm] \to [/mm] 0 oder auch (x,y) [mm] \to [/mm] (0,0) einen existierenden GW = 0 hat und damit im Punkt U = (0,0) stetig ist.
Ich gebe die stetige Fortsetzung an mit:
[mm] f^{\star}(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \\ f(x,y), & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Ich betrachte im folgenden Aufgabenstellung b) und untersuche auf Diffbarkeit:
Beh 3: Die Funktion [mm] f^{\star} [/mm] ist in allen Komponenten auf ganz [mm] \IR^{2} [/mm] zumindest 1mal diffbar. Hierzu betrachte ich wieder nur die Stelle (x,y) = (0,0) da sonst - siehe Beh 1 beliebig oft diffbar.
Bw:
Ich bilde die partiellen Ableitungen 1 Ordnung: (um es nicht unnötig lang zu machen differenziere ich hier nur nach x , da das Vorgehen nach y ident wäre)
[mm] \frac{df^{\star}}{dx} [/mm] = [mm] \frac{2xy^{5}}{(x^{2}+2y^{2})^{2}} [/mm] nun kann ich f'(x,y) wieder angeben als [mm] f'(rCos\phi,rSin\phi) [/mm] und r [mm] \to [/mm] 0 laufen lassen da dies wieder (x,y) [mm] \to [/mm] (0,0) gleichkommt.
[mm] \limes_{r\rightarrow0}\frac{r^{6}Cos(\phi)Sin^{5}(\phi)}{r^{4}*(Cos^{4}(\phi)+4Sin^{2}(\phi)Cos^{2}(\phi)+4Sin^{4}(\phi)} [/mm] = 0 , da wie schon bei Stetigkeit r im Zähler nach kürzen bestehen bleibt.
Ergebnis ident für y Komponente:
Conclusio zur Mitte: Die Funktion [mm] f^{\star} [/mm] ist auf ganz [mm] \IR^{2} [/mm] zumindest 1x stetig diffbar!
Beh 4: Die Funktion ist 2x diffbar.
Bw: Ich will an dieser Stelle die Bedingung für Gateaux Diffbarkeit bemühen um zu betrachten ob diese im Punkt (0,0) vorliegt.
Ich betrachte die 2 Ableitung nach x und werde dies mit [mm] (f_{1})'' [/mm] (2 Ableitung in 1 Komponente) bezeichnen.
[mm] (f_{1})''_{h,k}(0,0)=\limes_{a\rightarrow0}\frac{f^{\star}(0+ah,0+ak)-f^{\star}(0,0)}{a}=\frac{a^{6}hk^{5}}{a^{4}*(h^{4}+4h^{2}k^{2}+4k^{4}} [/mm] = 0 . klar.
Wir sehen also dass das Ergebnis im Punkt (0,0) linear ist und somit ist die Bedingung für Frechet Diffbarkeit erfüllt.
Es folgt die 2malige Diffbarkeit in x - Komponente
Selbiges für y Komp.
Abschließende Betrachtung: Die Funktion ist auf ganz [mm] \IR^{2} [/mm] stetig , sie ist auf ganz [mm] \IR^{2} [/mm] zumindest 2xmal diffbar.
Dies war zu zeigen.
Ich hoffe, das wäre klausurreif.. was meint ihr? ( natürlich sind einige Zwischenschritte Kürzen, oder auch die Ableitung in y - Komp. hier ausgelassen um den Aufwand etwas geringer zu halten)
Ich möchte noch anmerken, dass ich sehr dankbar bin für alle Rückmeldungen bisweilen und die Unterstützung und Hilfsbereitschaft in diesem Forum wirklich großartig finde.
Gruß
Thomas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mo 08.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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