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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Lovella |
| Aufgabe | guten morgen  . bei mir sind V, W vektorräume und [mm] f:V\to{W} [/mm] eine injektive lineare abbildung.
Behauptung: [mm] \exists [/mm] eine lineare Abbildung [mm] g:W\to{V}, [/mm] so dass [mm] g\circ f=id_V [/mm] |
meine lösung sieht so aus, es wär supi wenn jemand mir sagen könnte pb dies so stimmt:
f ist injektiv, d.h. [mm] \forall\; v,v'\in{V} [/mm] mit [mm] v\neq{v'} [/mm] gilt [mm] f(v)\neq{f(v')}.
[/mm]
für [mm] g:W\to{V},\; [/mm] w= [mm] \begin{cases}
f(v), & \text{wenn } w=f(v),\; v\in{V};\;f(v)\mapsto{v} \\
\omega & \text{sonst};\;\omega \mapsto{o}
\end{cases} \qquad [/mm] gilt die behauptung
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> guten morgen . bei mir sind V, W vektorräume und
> [mm]f:V\to{W}[/mm] eine injektive lineare abbildung.
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> Behauptung: [mm]\exists[/mm] eine lineare Abbildung [mm]g:W\to{V},[/mm] so
> dass [mm]g\circ f=id_V[/mm]
> meine lösung sieht so aus, es wär
> supi wenn jemand mir sagen könnte pb dies so stimmt:
>
> f ist injektiv, d.h. [mm]\forall\; v,v'\in{V}[/mm] mit [mm]v\neq{v'}[/mm]
> gilt [mm]f(v)\neq{f(v')}.[/mm]
>
> für [mm]g:W\to{V},\;[/mm] w= [mm]\begin{cases} f(v), & \text{wenn } w=f(v),\; v\in{V};\;f(v)\mapsto{v} \\
\omega & \text{sonst};\;\omega \mapsto{o} \end{cases} \qquad[/mm]
> gilt die behauptung
Hallo,
es ist fatal aufgeschrieben, aber Du meinst es richtig:
für [mm] g:W\to [/mm] V mit
g(w):=[mm]\begin{cases} v, & \mbox{mit}\quad f(v)=w\mbox\quad{fuer } \quad w\in f(V) \\
0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
gilt die Behauptung.
Du mußt vorrechnen, daß die Behauptung wirklich gilt, und Du mußt daraufhinweisen, daß die Abbildung wegen der Injektivität von f wohldefiniert ist. (Wär ja blöd, wenn es zwei verschiedene [mm] v_1, v_2 [/mm] gäbe mit [mm] f(v_1)=w=f(v_2). [/mm] Was sollte dann g(w) sein? Aber das Problem gibt's hier nicht.)
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Lovella |
vielen lieben dank auch Angela
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