Überprüfung von Skalarprodukte < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Mi 11.04.2007 | | Autor: | jura28 |
| Aufgabe | | Stelle fest, ob die folgende Abbildung < , > : R²xR² -> R ein Skalarprodukt ist:< [mm] \vektor{x1 \\ y1} ,\vektor{x2\\y2}> [/mm] = (x1 - x2)² + (y1 - y2)² |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also mir ist soweit klar, damit es ein Skalarprodukt ist, muss es bilinear, symmetrisch und positiv definit sein. Aber wie kann ich das nachweisen, ich habe da so gar keine Ahnung wo ich anfangen soll. Es wäre sehr nett wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.
Ich sag jetzt schon mal Danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Mi 11.04.2007 | | Autor: | Vreni |
Hallo Jura28,
du musst einfach für dein Skalarprodukt die Eigenschaften "durchrechnen", d.h. überprüfen, ob sie gelten. Das geht mit folgenden Gleichungen:
Bilinearität: [mm] <(c_{1} a_{1} [/mm] + [mm] c_{2} a_{2} [/mm] ),b> = [mm] c_{1} [/mm] + [mm] c_{2} [/mm]
< [mm] a,(c_{1} b_{1} [/mm] + [mm] c_{2} b_{2} [/mm] )> = [mm] c_{1} [/mm] + [mm] c_{2}
[/mm]
a, b, [mm] a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} \in R^{2} [/mm] , [mm] c_{1}, c_{2} \in [/mm] R
Symmetrie: <a,b>=<b,a> , a,b [mm] \in R^{2}
[/mm]
Definitheit: <a,a> [mm] \ge [/mm] 0 für alle a [mm] \in R^{2}
[/mm]
<a,a>=0 [mm] \gdw a=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Ich hoffe, ich habe dir weiterhelfen können,
Vreni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Mi 11.04.2007 | | Autor: | jura28 |
Die Eigenschaften waren mir soweit schon klar sorry das ich das nicht so geschrieben habe, mein Problem liegt in dem wie ich das "durchrechne", denn da hab ich keine Ahnung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Mi 11.04.2007 | | Autor: | Vreni |
kein Problem, ich schreib mal hin, wie ichs machen würde. Grundsätzlich fange ich normalerweise mit der Symmetrie an, wenn die vorliegt, kann man sich nämlich die eine Hälfte der Bilinearität sparen, und die ist meist am meisten Schreibarbeit. Also:
[mm] =<\vektor{x_{1} \\ y_{1}} ,\vektor{x_{2}\\y_{2}}> [/mm] = [mm] (x_{1} [/mm] - [mm] x_{2})² [/mm] + [mm] (y_{1} [/mm] - [mm] y_{2})²= (y_{1} [/mm] - [mm] y_{2})² [/mm] + [mm] (x_{1} [/mm] - [mm] x_{2})²= >=<\vektor{x_{2} \\ y_{2}} ,\vektor{x_{1}\\y_{1}}>=
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Symmetrie stimmt
Ich mach jetzt mal weiter mit der Definitheit:
a)z.Z.: <a,a> [mm] \ge [/mm] 0
[mm] =<\vektor{x_{1} \\ y_{1}} ,\vektor{x_{1} \\ y_{1}}> [/mm] = [mm] (x_{1} [/mm] - [mm] x_{1})² [/mm] + [mm] (y_{1} [/mm] - [mm] y_{1})² [/mm] =0+0=0
b) z.Z.: <a,a>=0 [mm] \gdw a=\vektor{0 \\ 0} [/mm]
[mm] "\Rightarrow" [/mm] Aus <a,a>=0 kann man nicht folgern, dass [mm] a=\vektor{0 \\ 0}, [/mm] da wie bei a) gezeigt für alle Vektoren a [mm] \in R^{2} [/mm] gilt: <a,a>=0
[mm] \Rightarrow [/mm] deine Abbildung ist nicht definit und damit auch kein Skalarprodukt
Wenn du die Bilinearität auch noch gerechnet haben willst, sag bescheid, grad ist es mir einfach zu viel zu schreiben (geht eigentlich ähnlich wie Symmetrie, nur mit mehr umordnen)
Gruß,
Vreni
|
|
|
|
