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Hallo... ich habe folgendes Problem.
Im Buch wir erklärt, was ein Modul-Homomorphismus $f$ ist. Soweit klar... dann wird bemerkt, dass der kanonische additive Gruppenhomomorphismus
$f:M [mm] \rightarrow [/mm] M/N$
A-linear ist. Auch klar. Aber nun kommt es:
"Equally trivially, one verifies that f is universal in the categorie of homomorphisms of M whose kernel contains N."
Bei diesem Satz steigen mir Tränen in die Augen! Ich habe noch nichtmal wirklich Ahnung wie er zu übersetzen ist... Kann mir ihn bitte jemand ausfühlich erklären und den Ansatz???
Gute Nacht, dancingestrella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:08 Di 25.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Dancingstrella, hallo an alle!
Wie sind denn die Morphismen in der besagten Kategorie der Homomorphismen mit Kern [mm] $\supset$ [/mm] N definiert? Ich habe leider nichts gefunden.
Zu zeigen ist ja, dass es jeweils genau einen Morphismus der Projektion zu jedem der besagten Homomorphismen gibt.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 So 06.11.2005 | | Autor: | Gnometech |
Hallo Hanno!
Das ist gar nicht schwer: gegeben sind die Moduln $N$ und $M$, wobei $N$ ein Untermodul von $M$ ist. Die Objekte Deiner neuen Kategorie sind Morphismen $f' : M [mm] \to [/mm] M'$ mit $N [mm] \subseteq \ker [/mm] f'$. Sind zwei solche gegeben, z.B. $f': M [mm] \to [/mm] M'$ und $g': M [mm] \to \tilde{M}$, [/mm] so ist ein Morphismus dieser Objekte ein Modul-Morphismus $F: M' [mm] \to \tilde{M}$ [/mm] mit der Bedingung $g' = F [mm] \circ [/mm] f'$.
Die Aussage die da steht ist nun einfach: der Morphismus $f: M [mm] \to [/mm] M/N$ ist ein Initialobjekt in dieser Kategorie, d.h. zu jedem Objekt gibt es einen Morphismus.
Schöne Grüße,
Lars
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:59 Di 25.10.2005 | | Autor: | statler |
Einen schönen guten Morgen!
Tränen müssen deswegen nicht sein, weil das einfach nur generalized abstract nonsense, also abgekürzt GANS ist.
> Im Buch wir erklärt, was ein Modul-Homomorphismus [mm]f[/mm] ist.
> Soweit klar... dann wird bemerkt, dass der kanonische
> additive Gruppenhomomorphismus
> [mm]f:M \rightarrow M/N[/mm]
> A-linear ist. Auch klar. Aber nun
> kommt es:
> "Equally trivially, one verifies that f is universal in
> the categorie of homomorphisms of M whose kernel contains
> N."
> Bei diesem Satz steigen mir Tränen in die Augen!
Nee, um Gotteswillen!
Das heißt, zu einem beliebigen Modul-Homomorphismus
f': M [mm] \to [/mm] M'
mit N [mm] \subset [/mm] ker(f') = N'
gibt es genau ein g: M/N [mm] \to [/mm] M' mit f' = g [mm] \circ [/mm] f
Es gibt dann glaube ich auch die Sprechweise: f' faktorisiert durch M/N
Du kannst dir ja mal überlegen, wie man g definieren müßte und ob das alles paßt (sonst habe ich Mist geschrieben); zu diesem Kram gibt es tausendundein Buch.
Einen schönen Tach noch
Dieter
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Hallo.
Mir ist da der Homomorphiesatz eingefallen, womit das evt. tatsächlich (böses Wort:) trivial werden würde.
Also wir wissen, dass
$f:M -> M/N$
R-linear ist. Außerdem fordern wir, dass
$f':M -> M'$
R-linear ist.
Nach dem Homomorphiesatz existiert doch nun genau ein
$g':M/N->M'$ und $g'$ ist injektiv (bis hierhin richtig?).
Nun ist aber [mm] $\ker [/mm] f [mm] \subset [/mm] N$. Kann man nun einfach sagen, dass
$g:M/ [mm] \ker [/mm] f -> M'$ existiert?
Viele Grüße, dancingestrella
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Grüße!
Naja, man kann das auch zu Fuß verifizieren.  Also, gegeben ist der Morphismus $f: M [mm] \to [/mm] M'$ und wir wissen, dass für den Untermodul $N [mm] \subseteq [/mm] M$ gilt: $N [mm] \subseteq \ker [/mm] f'$. Wir wollen zeigen: es gibt einen Morphismus $g: M / N [mm] \to [/mm] M'$, so dass $f' = g [mm] \circ [/mm] f$, wo $f: M [mm] \to [/mm] M/N$ ist. Habe ich die Ausgangslage soweit erfasst?
Naja, wenn ich mir eine beliebige Klasse in $M/N$ hernehme, meinetwegen repräsentiert durch $m [mm] \in [/mm] N$, dann definiere ich einfach $g(m + N) := f'(m)$. Es fehlt die Wohldefiniertheit: ist $m' [mm] \in [/mm] M$ ein weiterer Repräsentant, dann muss ich zeigen, dass gilt $f'(m) = f'(m')$.
Aber $m$ und $m'$ repräsentieren genau dann die gleiche Klasse modulo $N$, falls $m - m' [mm] \in [/mm] N$. Es folgt:
$f'(m) - f'(m') = f'(m - m') = 0$, da $N$ im Kern liegt und das zeigt das Gewünschte.
Natürlich habe ich im Prinzip nur den Beweis für den Homomorphiesatz imitiert, es ist also im Grunde nichts Spannendes geschehen.
Abstract Nonsense ist oft sehr nützlich und es schadet nicht, sich an solche Sätze zu gewöhnen... die werden oft schon klarer, wenn man sich das richtige Diagramm aufmalt. Viele Objekte können durch "universelle Eigenschaften" wie diese wunderbar beschrieben werden, z.B. Pushouts und Pullbacks, das Tensorprodukt, Limiten und Colimiten, etc.
Lars
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