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(Übungsaufgabe) Aktuelle Übungsaufgabe  (unbefristet) | | Datum: | 18:05 Di 28.03.2006 | | Autor: | informix |
| Aufgabe | Zu jedem a>0 ist eine Funktion [mm] f_a [/mm] gegeben durch [mm] $f_a(x)=ax [/mm] - [mm] \ln [/mm] x ; x>0$
Ihr Schaubild sei [mm] K_a.
[/mm]
1. Untersuchen Sie [mm] K_a [/mm] auf Asymptoten, Hoch-, Tief- und Wendepunkte.
Zeichnen Sie [mm] K_1 [/mm] für 0 < x [mm] \le [/mm] 6.
Bestimmen Sie die Gleichung der Ortslinie aller Extrempunkte.
Für welchen Wert von a liegt der Extrempunkt auf der x-Achse?
2. Für a = [mm] \bruch{1}{e} [/mm] schließen das Schaubild [mm] K_a, [/mm] die x-Achse und die Gerade x=u mit 0<u<e eine Fläche mit dem Inhalt A(u) ein. Bestimmen Sie [mm] $\lim_{u \rightarrow 0}{A(u)}$.
[/mm]
3. Vom Punkt A(0|1) aus wird an jede Kurve [mm] K_a [/mm] die Tangente gelegt.
Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunkts [mm] B_a [/mm] dieser Tagente.
Geben Sie die Ortslinie aller Berührpunkte [mm] B_a [/mm] an.
Die Gerade x=z mit z>0 schneidet die Kurve [mm] K_a [/mm] im Punkt [mm] P(z|f_a(z)).
[/mm]
In P wird die Tangente [mm] t_a [/mm] an die Kurve [mm] K_a [/mm] gelegt.
Zeigen Sie, dass für alle a>0 diese Tangeten [mm] t_A [/mm] durch einen gemeinsamen Punkt [mm] Q_z [/mm] gehen. Geben Sie die Koordinaten von [mm] Q_z [/mm] an.
Für welches z ist [mm] Q_z [/mm] der Punkt A(0|1) ?
4. Bestimmen Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte von [mm] K_a [/mm] mit der x-Achse in Abhängigkeit von a.
5. Bestimmen Sie den Teil der Halbebene x>0, in dem kein Punkt einer Kurve [mm] K_a [/mm] (für alle a>0) liegt.
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Hallo,
Dies ist eine "echte" Abituraufgabe zum Üben. Bearbeitungszeit: ca. 90 min.
Daher hoffe ich auf eine rege Diskussion unter angehenden Abiturienten (und nicht älteren Semestern) über mögliche Lösungen.
Die älteren Semester bitte ich, nur dann korrigierend einzugreifen, wenn sich eine Diskussion festläuft.
Gruß informix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Mi 05.04.2006 | | Autor: | Blacky |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Gleichung der Ortslinie aller Extrempunkte. |
Gutentag,
was versteht man unter einer Ortslinie? Ist es eine Gerade die durch all diese Extrempunkte geht? Oder sind es 2 Geraden die durch ihren Schnittpunkt einen Punkt definieren?
mfg blacky
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Do 13.04.2006 | | Autor: | Blacky |
Gutentag, ich habe mal soweit gerechnet, wie ich es konnte :|
1.
[mm]x=0[/mm] ist die einzige Asymptote der Graphen von [mm] f_a
[/mm]
[mm]T=(\bruch{1}{a} | 1+ln(a))[/mm] sind die Tiefpunkte der Graphen von [mm] f_a.
[/mm]
Da [mm] \bruch{1}{x^2} \not=0 [/mm] ist, haben die Graphen von [mm] f_a [/mm] keinen Wendepunkt.
Die Ortskurve der Extrempunkte lautet: [mm] y=1+ln(\bruch{1}{x})
[/mm]
Für [mm] a=\bruch{1}{e} [/mm] liegt T auf der x-Achse.
2.
[mm] A=|\limes_{u\rightarrow0} \integral_{u}^{e}{\bruch{1}{e}x-ln(x) dx}|=\bruch{1}{2}e
[/mm]
3.
So hier haperts schon. In Aufgabe 1 sollte ich ja [mm] f_1 [/mm] zeichnen. Dadurch bin ich dann darauf gekommen, das [mm] t_a(x)=(a-1)x+1 [/mm] die Tangente sein könnte! Aberrr woher weiß ich denn, dass das für alle Graphen gilt?!?! Mit Funkyplot siehts so aus, als ob meine Tangente die richtige wäre, aber ohne Zeichenprogramm wär ich mir da sehr unsicher.
So, nächstes Problem. Ich soll die Berührpunkte von Tangente und Funktionsgraphen bestimmen. ;ein Ansatz lautet
[mm]
f_a(x)=t_a(x) [/mm]
[mm] \gdw ax-lnx=(a-1)x+1[/mm]
[mm]\gdw ax-lnx=ax-x+1[/mm]
[mm]\gdw -lnx=-x+1[/mm]
[mm]\gdw x=1+lnx[/mm]
Ich hoffe mal meine Umformung stimmt bis hier. Nun komme ich aber nicht an das x ran, und mein a ist schon weg, obwohl der Berührpunkt doch von a abhängen sollte ?! Hüüülfe.
mfg blacky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:25 Fr 14.04.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Blacky,
> Gutentag, ich habe mal soweit gerechnet, wie ich es konnte
> :|
>
> 1.
> [mm]x=0[/mm] ist die einzige Asymptote der Graphen von [mm]f_a[/mm]
>
> [mm]T=(\bruch{1}{a} | 1+ln(a))[/mm] sind die Tiefpunkte der Graphen
> von [mm]f_a.[/mm]
>
> Da [mm]\bruch{1}{x^2} \not=0[/mm] ist, haben die Graphen von [mm]f_a[/mm]
> keinen Wendepunkt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Die Ortskurve der Extrempunkte lautet:
> [mm]y=1+ln(\bruch{1}{x})[/mm]
bzw. [mm] y= 1 - \ln x [/mm]
>
> Für [mm]a=\bruch{1}{e}[/mm] liegt T auf der x-Achse.
>
> 2.
> [mm]A=|\limes_{u\rightarrow0} \integral_{u}^{e}{\bruch{1}{e}x-ln(x) dx}|=\bruch{1}{2}e[/mm]
>
> 3.
> So hier haperts schon. In Aufgabe 1 sollte ich ja [mm]f_1[/mm]
> zeichnen. Dadurch bin ich dann darauf gekommen, das
> [mm]t_a(x)=(a-1)x+1[/mm] die Tangente sein könnte! Aberrr woher weiß
> ich denn, dass das für alle Graphen gilt?!?! Mit Funkyplot
> siehts so aus, als ob meine Tangente die richtige wäre,
> aber ohne Zeichenprogramm wär ich mir da sehr unsicher.
Hier sollst du schon rechnen.
Tipp:
Nenne den Berührpunkt B(b|f(b)).
Die Gleichung der Tangente hat die Form [mm] y = m\ x + 1 [/mm] mit [mm] m= f'(b) [/mm].
Außerdem ist B gemeinsamer Punkt von Tangente und Graph.
Ich denke, jetzt kommst du alleine klar. Sonst melde dich.
>
> So, nächstes Problem. Ich soll die Berührpunkte von
> Tangente und Funktionsgraphen bestimmen. ;ein Ansatz lautet
>
> [mm]
f_a(x)=t_a(x)[/mm]
> [mm]\gdw ax-lnx=(a-1)x+1[/mm]
> [mm]\gdw ax-lnx=ax-x+1[/mm]
> [mm]\gdw -lnx=-x+1[/mm]
>
> [mm]\gdw x=1+lnx[/mm]
>
>
> Ich hoffe mal meine Umformung stimmt bis hier. Nun komme
> ich aber nicht an das x ran,
Deine Umformung ist richtig. Die Gleichung kannst du aber nur durch Probieren lösen. Einfacher wäre hier, die Tatsache, dass die Steigung der Tangente gleich der Steigung der Kurve im Berührpunkt ist, zu benutzen.
Aber mit der Rechnung, die ich oben angedeutet habe, ergibt sich auch der Berührpunkt.
> und mein a ist schon weg,
> obwohl der Berührpunkt doch von a abhängen sollte ?!
Nicht unbedingt. Die Ortslinie kann auch eine Parallele zur y-Achse sein.
Viel Erfolg beim weiteren Rechnen.
Gruß
Sigrid
>
> mfg blacky
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Fr 14.04.2006 | | Autor: | Blacky |
Hallo Sigrid, mit deiner Hilfe, habe ich nun die 3 einigermaßen lösen können :):
[mm] t_a'(b)=f_a'(b) [/mm]
[mm] \gdw m=a-\bruch{1}{b}
[/mm]
[mm] t_a(b)=f_a(b) [/mm]
[mm] \gdw (a-\bruch{1}{b})b+1=ab-ln(b) [/mm]
[mm]\gdw b=1[/mm]
[mm] f_a(1)=a
[/mm]
Also lautet der Berührpunkt [mm]B_a=(1 | a)[/mm], die Ortslinie ist x=1.
So, nun der nächste Teil der 3.
[mm]P_z=(z | az-ln(z))[/mm]
Die Steigung m ist analog zum ersten Teil gerechnet: [mm] m=a-\bruch{1}{z}
[/mm]
Nach [mm]y=mx+b[/mm] erhält man mit der Steigung und dem Punkt [mm] P_z [/mm] den y-Achsenabschnitt [mm]b=1-ln(z)[/mm]
[mm] \Rightarrow t_A(x)=(a-\bruch{1}{z})x+1-ln(z)
[/mm]
Aufgrund der weiteren Fragestellung (für welches z wird der gemeinsame Punkt [mm]A=(0 | 1)[/mm]) bin ich darauf gekommen, dass alle gemeinsamen Punkte die Koordinate [mm](0 | 1-ln(z))[/mm] haben müssen. Nur wie kommt man rein logisch darauf? Muss das a aus der Tangentengleichung wegfallen, also x=0 sein?
Damit die y-Koordinate 1 ergibt, muss z=1 sein.
4.
Hier bin ich mithilfe der Aufgabe 1 auf folgendes Ergebnis gekommen:
keine Nullstellen für [mm] a>\bruch{1}{e}
[/mm]
eine Nullstelle / Berührpunkt für [mm] a=\bruch{1}{e}
[/mm]
und zwei Nullstellen für [mm] a<\bruch{1}{e} [/mm]
Aber wie kriegt man das über [mm] f_a(x)=0
[/mm]
[mm]\gdw ax-ln(x)=0[/mm]raus?
Mit der 5 möchte ich mich glaube ich lieber nicht beschäftigen :D
Vielen Dank für die Hilfe
mfg blacky
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Fr 14.04.2006 | | Autor: | DerVogel |
Meine Lösung:
1.)
Asymptoten:
Es gibt kein Asymptote, für die gilt: [mm] \limes_{x \rightarrow \infty} [/mm] f(x)-a(x) = 0.
Extrempunkte:
f'(x)=0 setzen. x = [mm] \bruch{1}{a}
[/mm]
Die 2. Ableitung von [mm] \bruch{1}{a} [/mm] berechnen. Da dort [mm] a^{2} [/mm] rauskommt, und dieses immer positiv ist, ist an der Stelle [mm] \bruch{1}{a} [/mm] ein Tiefpunkt.
T = [mm] (\bruch{1}{a} [/mm] | 1 - LN(1 - LN(1/a))).
Wendepunkte:
f''(x) = 0 hat keine Lösung. Es gibt keine Wendepunkte.
Die Ortslinie ist 1-LN(x).
Wenn man nun 1-LN(x) = 0 setzt, und nach x löst, erhält man das a, für das der Tiefpunkt auf der x-Achse liegt, nämlich a = [mm] e^{-1}.
[/mm]
2.)
Funktion bestimmen, die den Flächeninhalt angibt:
A(u) = [mm] \integral_{u}^{e}{\bruch{1}{e} - LN(x) dx}
[/mm]
Dann den Grenzwert bestimmen. Der ist:
[mm] \limes_{u \rightarrow 0}A(u) [/mm] = [mm] \bruch{e}{2}
[/mm]
Der gesuchte Grenzwert ist [mm] \bruch{e}{2}.
[/mm]
3.)
Die Koordinaten des Berührpunktes sind: B = (1 | a).
Die Ortslinie ist demnach: x = 1.
Beim zweiten Teil habe ich keine Ahnung, wie ich das lösen soll. Ich habe versucht, eine Funktion t(x) = mx + b zu machen, um die mit f gleichzusetzen. Aber das hat nicht funktioniert. Hier bin ich auf kein befriedigendes Ergebnis gekommen.
4.)
Für a = [mm] \bruch{1}{e} [/mm] gibt es einen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse (siehe 1.)).
Für a > [mm] \bruch{1}{e} [/mm] gibt es keinen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse.
Für 0 < a < [mm] \bruch{1}{e} [/mm] gibt es zwei gemeinsame Punkte mit der x-Achse.
5.)
Was ist eine Halbebene und wie kann ich den Teil bestimmen? Sowas haben wir im Unterricht nie gemacht. Vielleicht kommt sowas dann in der Prüfung. Hoffentlich nicht. 
Vielen Dank für die Korrektur!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:04 Sa 15.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo DerVogel!
> 1.) Asymptoten:
> Es gibt kein Asymptote, für die gilt: [mm]\limes_{x \rightarrow \infty}[/mm] f(x)-a(x) = 0.
Hast Du Dir mal eine der Kurven aufgezeichnet?
Da kann man dann noch erkennen, dass es an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ eine vertikale Asymptote vorliegt.
> Extrempunkte:
> f'(x)=0 setzen. x = [mm]\bruch{1}{a}[/mm]
> Die 2. Ableitung von [mm]\bruch{1}{a}[/mm] berechnen. Da dort [mm]a^{2}[/mm]
> rauskommt, und dieses immer positiv ist, ist an der Stelle [mm]\bruch{1}{a}[/mm] ein Tiefpunkt.
> T = [mm](\bruch{1}{a}[/mm] | 1 - LN(1 - LN(1/a))).
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Beim Funktionswert des Tiefpunktes hast Du Dich verrechnet:
[mm] $y_T [/mm] \ = \ [mm] f_a(x_T) [/mm] \ = \ [mm] a*\bruch{1}{a}-\ln\left(\bruch{1}{a}\right) [/mm] \ = \ [mm] 1-\ln\left(\bruch{1}{a}\right) [/mm] \ = \ [mm] 1-[\ln(1)-\ln(a)] [/mm] \ = \ [mm] 1-0+\ln(a) [/mm] \ = \ [mm] 1+\ln(a)$
[/mm]
> Wendepunkte:
> f''(x) = 0 hat keine Lösung. Es gibt keine Wendepunkte.
> Die Ortslinie ist 1-LN(x).
> Wenn man nun 1-LN(x) = 0 setzt, und nach x löst, erhält
> man das a, für das der Tiefpunkt auf der x-Achse liegt,
> nämlich a = [mm]e^{-1}.[/mm]
> 2.) Funktion bestimmen, die den Flächeninhalt angibt:
> A(u) = [mm]\integral_{u}^{e}{\bruch{1}{e} - LN(x) dx}[/mm]
> Dann den Grenzwert bestimmen. Der ist:
> [mm]\limes_{u \rightarrow 0}A(u)[/mm] = [mm]\bruch{e}{2}[/mm]
> Der gesuchte Grenzwert ist [mm]\bruch{e}{2}.[/mm]
Das Ergebnis ist richtig. hier wären aber ein paar Zwischenschritte schön gewesen  ... vor allem zur Grenzwertbestimmung von [mm] $\limes_{u\rightarrow 0\downarrow}u*\ln(u)$ [/mm] .
> 3.) Die Koordinaten des Berührpunktes sind: B = (1 | a).
Wie kommst denn hierauf? Auch hier wären einige Zwischenschritte schön ...
> Die Ortslinie ist demnach: x = 1.
> Beim zweiten Teil habe ich keine Ahnung, wie ich das lösen
> soll. Ich habe versucht, eine Funktion t(x) = mx + b zu
> machen, um die mit f gleichzusetzen. Aber das hat nicht
> funktioniert. Hier bin ich auf kein befriedigendes Ergebnis
> gekommen.
Lies Dir mal Sigrid's und meine Antworten in diesem Thread durch. Da haben wir schon etwas zu geschrieben.
Stichwort: Punkt-Steigungs-Form $m \ = \ [mm] \bruch{y-y_0}{x-x_0}$
[/mm]
Dabei gilt:
$m \ = \ [mm] f_a'(z)$
[/mm]
[mm] $x_0 [/mm] \ = \ z$
[mm] $y_0 [/mm] \ = \ [mm] f_a(x_0) [/mm] \ = \ [mm] f_a(z) [/mm] \ = \ [mm] a*z-\ln(z)$
[/mm]
> 4.) Für a = [mm]\bruch{1}{e}[/mm] gibt es einen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse (siehe 1.)).
> Für a > [mm]\bruch{1}{e}[/mm] gibt es keinen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse.
> Für 0 < a < [mm]\bruch{1}{e}[/mm] gibt es zwei gemeinsame Punkte mit der x-Achse.
> 5.) Was ist eine Halbebene und wie kann ich den Teil
> bestimmen?
Eine Halbebene entsteht durch die Unterteilung einer Ebene mit Hilfe einer Geraden. Hier ist also diese Gerade gesucht, die nie durch die Kurve [mm] $K_a$ [/mm] geschnitten wird. Zum Beispiel wäre die oben ermittelte Tangente eine solche Gerade.
Ich würde hier die Aufgabenstellung so verstehen, dass nun eine Ursprungsgerade [mm] $\blue{y \ = \ m*x}$ [/mm] gesucht ist, welche die Kurve [mm] $\blue{K_a}$ [/mm] berührt; also ähnliche Aufgabe wie die vorige - nur mit dem vorgegebenen Punkt [mm] $\blue{O \ ( \ 0 \ | \ 0 \ )}$.
[/mm]
Auch hier gilt dann z.B. [mm] $\blue{m \ = \ f_a'(z)}$.
[/mm]
Kontrollergebnis für diese Ursprungsgerade: [mm] $\blue{y_a \ = \ \left(a-\bruch{1}{e}\right)*x}$
[/mm]
Damit wird die Halbebene, in der nie Punkte von [mm] $\blue{K_a}$ [/mm] liegen, beschrieben durch die Zahlenmenge:
[mm] $\blue{\left\{ \ (x|y) \ \in \ \IR \times \IR \ \left| \ y} \ \red{<} \ \blue{\left(a-\bruch{1}{e}\right)*x \ \right\}}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
Ortskurve![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
