Übungsserie 3, Aufgabe 4 < VK 60: Ana < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | III-4: Beweisen Sie: Für [mm] z\in \IC [/mm] gilt: |z+1|>|z-1| genau dann, wenn Re(z)>0 ist.
Zeigen Sie weiterhin für [mm] z\neq [/mm] 0: es gilt [mm] Re(z+\bruch{1}{z})=0 [/mm] genau dann, wenn Re(z)=0 ist und es gilt [mm] Im(z+\bruch{1}{z})=0 [/mm] genau dann, wenn Im(z)=0 oder |z|=1 ist. |
Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Analysis" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Sa 03.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Behauptung: $| z + 1 | > | z - 1 | [mm] \Rightarrow [/mm] Re(z) > 0$
Beweis?:
Sei $z = x + yi$, wobei $x = Re(z)$ und $y = Im(z)$
[mm] \begin{matrix}
|z+1|&>& |z-1| \\ \\
\ \sqrt{(z+1)\overline{(z+1)}}&>& \sqrt{(z-1)\overline{(z-1)}} \\ \\
\ \sqrt{z \overline{z} + z + \overline{z} + 1} &>&
\sqrt{z \overline{z} - z - \overline{z} + 1} \\ \\
\ \sqrt{x^2+y^2 + x + iy + x - iy + 1} &>&
\sqrt{x^2+y^2 - x - iy - x + iy + 1} \\ \\
\ \sqrt{x^2 + y^2 + 2x + 1} &>& \sqrt{x^2 + y^2 - 2x + 1}
\end{matrix}
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] 2x > -2x$
[mm] $\Rightarrow [/mm] x > 0$, also $Re(z) > 0$
Behauptung: $Re(z) > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] | z + 1 | > | z - 1 |$
Beweis?:
Sei $z = x + yi$, wobei $x = Re(z)$ und $y = Im(z)$
[mm] \begin{matrix}
|z+1|&?& |z-1| \\ \\
\ \sqrt{(z+1)\overline{(z+1)}}&?& \sqrt{(z-1)\overline{(z-1)}} \\ \\
\ \sqrt{z \overline{z} + z + \overline{z} + 1} &?&
\sqrt{z \overline{z} - z - \overline{z} + 1} \\ \\
\ \sqrt{x^2+y^2 + x + iy + x - iy + 1} &?&
\sqrt{x^2+y^2 - x - iy - x + iy + 1} \\ \\
\ \sqrt{x^2 + y^2 + 2x + 1} &?& \sqrt{x^2 + y^2 - 2x + 1}
\end{matrix}
[/mm]
Da Re(z) bzw. x > 0 ist, gilt:
[mm] $\sqrt{x^2 + y^2 + 2x + 1} [/mm] &>& [mm] \sqrt{x^2 + y^2 - 2x + 1}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] |z+1|&>& |z-1|$
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 So 04.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Rechnung ist richtig, aber wenn du siehst, dass |z-1| der Abstand von z zu +1, |z+1| der abstand zu -1 ist, dann ist direkt klar, dass alle Punkte der Halbebene x>0 einen größeren abstand zu -1 als zu +1 haben.
In mathe hilft nachdenken oft gegen lange Rechnereien.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Sa 03.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Behauptung: [mm] $Re(z+\frac{1}{z})=0 \Rightarrow [/mm] Re(z)=0$
Beweis?:
Sei wieder $z = x + yi$ mit $x = Re(z)$, $y = Im(z)$
[mm] $Re(z+\frac{1}{z})= [/mm] Re(z) + [mm] Re(\frac{1}{z})$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{z} [/mm] = [mm] \frac{1}{x+yi} [/mm] = [mm] \frac{x-yi}{x^2+y^2} [/mm] = [mm] \frac{x}{x^2+y^2} [/mm] - [mm] \frac{y}{x^2+y^2}i$
[/mm]
[mm] $Re(\frac{1}{z}) [/mm] = [mm] \frac{x}{x^2+y^2}$
[/mm]
$Re(z) + [mm] Re(\frac{1}{z}) [/mm] = x + [mm] \frac{x}{x^2+y^2} [/mm] = 0$
[mm] $\gdw x^3 +xy^2+x [/mm] = 0$
[mm] $\gdw x(x^2+y^2+1) [/mm] = 0$
1.Fall:
$x = 0$
2.Fall:
[mm] $x^2+y^2+1 [/mm] = 0$
[mm] $\gdw x^2+y^2 [/mm] = -1$
Keine Lösung in [mm] $\IR$
[/mm]
Daher ist $x = 0$
[mm] $\Rightarrow [/mm] Re(z) = 0$
Behauptung: $Re(z) = 0 [mm] \Rightarrow Re(z+\frac{1}{z})=0$
[/mm]
Beweis?:
$Re(z) + [mm] Re(\frac{1}{z}) [/mm] = x + [mm] \frac{x}{x^2+y^2} [/mm] $
$Re(z) = x = 0$
$ [mm] \Rightarrow Re(z+\frac{1}{z}) [/mm] = 0 + [mm] \frac{0}{0^2+y^2} [/mm] = 0 $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 So 04.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
auch hier die richtige Rechnung, aber mit [mm] z=r(cos\phi+isin\phi), 1/z=1/r*(cos(-\phi)+isin(-\phi)=1/r(cos\phi-1/r*sin\phi)
[/mm]
kann man beide falle, Im und Re und hin und rückrichtung in 2 zeilen machen.
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:36 So 04.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Das hatten wir in Ana 1 noch nicht behandelt
(also die trigonometrische Darstellung).
Daher kann ich damit noch nicht hantieren...
Und danke, dass du trotz der unnötigen Rechnungen drüberschaust.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Sa 03.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Behauptung: [mm] $Im(z+\frac{1}{z})=0 \Rightarrow [/mm] Im(z)=0$ oder $|z| = 1$
Beweis?:
Sei wieder $z = x + yi$ mit $x = Re(z)$, $y = Im(z)$
[mm] $Im(z+\frac{1}{z})= [/mm] Im(z) + [mm] Im(\frac{1}{z})$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{z} [/mm] = [mm] \frac{1}{x+yi} [/mm] = [mm] \frac{x-yi}{x^2+y^2} [/mm] = [mm] \frac{x}{x^2+y^2} [/mm] - [mm] \frac{y}{x^2+y^2}i$
[/mm]
[mm] $Im(\frac{1}{z}) [/mm] = [mm] -\frac{y}{x^2+y^2}$
[/mm]
$Im(z) + [mm] Im(\frac{1}{z}) [/mm] = y - [mm] \frac{y}{x^2+y^2} [/mm] = 0$
[mm] $\gdw yx^2 [/mm] + [mm] y^3 [/mm] - y = 0$
[mm] $\gdw y(x^2+y^2-1) [/mm] = 0$
1.Fall:
$y = 0$
2.Fall:
[mm] $x^2+y^2-1 [/mm] = 0$
[mm] $\gdw x^2+y^2 [/mm] = -1$
[mm] $\gdw x^2+y^2 [/mm] = 1$
[mm] $\gdw \sqrt{x^2+y^2} [/mm] = 1 $
[mm] $\gdw [/mm] |z| = 1$
Behauptung: [mm]Im(z)= 0 [/mm] oder [mm]|z| = 1[/mm] [mm] \Rightarrow Im(z+\frac{1}{z})=0$
[/mm]
Beweis?:
[mm] $Im(z+\frac{1}{z})= [/mm] Im(z) + [mm] Im(\frac{1}{z})$
[/mm]
$Im(z + [mm] \frac{1}{z}) [/mm] = y [mm] -\frac{y}{x^2+y^2}$
[/mm]
1.Fall:
$Im(z) = y = 0$
$ [mm] \Rightarrow Im(z+\frac{1}{z}) [/mm] = 0 - [mm] \frac{0}{0^2+x^2} [/mm] = 0 $
2.Fall:
[mm] |z| = 1 [/mm]
$ [mm] \Rightarrow [/mm] y - [mm] \frac{y}{1} [/mm] = 0$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 So 04.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
rechnungen richtig.
Gruss leduart
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